3.2.2 奇偶性-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

3.2.2奇偶性【考点梳理】重难点：奇偶性的概念考点一：函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．重难点：奇偶性的应用考点四：用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．考点五：奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．【题型归纳】题型一：函数奇偶函数的判断1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．奇函数的图象关于原点对称，且B．偶函数的图象关于y轴对称，且C．存在既是奇函数又是偶函数的函数D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称2．（2022·全国·高一课时练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数3．（2022·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．(1)； (2)；(3)； (4)．题型二：利用奇偶性求函数的解析式4．（2022·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．6．（2022·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求时，函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．题型三：抽象函数的奇偶性问题7．（2022·浙江丽水·高一期末）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（

）A． B．C． D．8．（2022·四川雅安·高一期末）若和都是定义在上的奇函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．39．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断奇偶性题型四：奇偶性函数的应用10．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．11．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（

）A． B．C． D．12．（2022·全国·高一单元测试）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型五：函数的奇偶性与单调性解综合问题13．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高一阶段练习）已知是奇函数，且.(1)求实数的值．(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．(3)求的最大值．14．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数.(1)若，判断的奇偶性并加以证明.(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.15．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数．(1)若，判断的奇偶性并加以证明．(2)当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．【双基达标】一、单选题16．（2022·全国·高一课时练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣117．（2022·全国·高一课时练习）对于函数，下列说法正确的是（

）A．若，．则函数的最小值为B．若，，则函数的单调递增区间C．若，，则函数是单调函数D．若，，则函数是奇函数18．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．19．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．20．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．21．（2022·全国·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）.22．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）【高分突破】23．（2022·全国·高一课时练习）已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（

）A． B．C． D．24．（2022·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．25．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．26．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象大致为（

）A．B．C． D．27．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．28．（2022·全国·高一课时练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为上的奇函数 B．为上的奇函数C．为上的偶函数 D．为上的偶函数29．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．二、多选题30．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，则使得成立的充分条件是（

）A．在上单调 B．为偶函数C．为偶函数 D．31．（2022·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D．若的定义域为，则的定义域为32．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数33．（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．为奇函数C．在区间上有最大值D．的解集为34．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，下列判断正确的是（

）A．是偶函数B．若，则当时，取得最小值C．当时，的值域是D．当时，在上单调递增35．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（

）A．B．若，则C．若，则D．，，使得三、填空题36．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____.37．（2022·江苏·高一单元测试）若为奇函数，则__________．38．（2022·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.39．（2022·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．40．（2022·全国·高一单元测试）设函数的定义域为R，则下列命题：①若是偶函数，则的图像关于轴对称；②若是偶函数，则的图像关于直线对称；③若，则函数的图像关于直线对称；④与的图像关于直线对称．其中正确命题的序号为________．四、解答题41．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）已知函数．(1)证明函数为奇函数；(2)若，求函数的最大值和最小值．42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.43．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；(3)求函数在区间上的最小值．44．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．（1）求函数的解析式．（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．45．（2022·湖南·湘阴县教育科学研究室高一期末）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．46．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，且.(1)求实数的值；(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；(3)当时，解关于的不等式：.【答案详解】1．C【分析】根据奇偶性的定义判断．【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误；偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误；函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.故选：C.2．C【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可.【详解】A选项：设，，则为偶函数，A错误；B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；C选项：设，则，则为奇函数，C正确；D选项：设，则，则为偶函数，D错误．故选：C.3．(1)奇函数(2)既不是奇函数也不是偶函数(3)既是奇函数又是偶函数(4)偶函数【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.（1）的定义域是，关于原点对称，又，所以是奇函数．（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．（3）因为的定义域为，所以，则既是奇函数又是偶函数．（4）方法一（定义法）

因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．①当x＞1时，，所以；②当时，；③当时，，所以．综上，可知函数为偶函数．方法二（图象法）

作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．4．D【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，因为，所以，当时，；因为当时，，所以所以.故选：D.5．A【分析】根据奇函数性质即可解决此类问题.【详解】∵函数是奇函数，∴，∵时，，设时，则，∴，∴，即时，.故选：A.6．(1)；(2).【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.（1）设，则，所以又为奇函数，所以，所以当时，.（2）作函数的图像如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知，所以，所以的取值范围是.7．D【分析】根据函数的奇偶性推得，然后采用赋值法可得到，进而求得，说明D正确，再举一例，求值可说明A,B,C错误.【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，所以，即，故令，则，所以，令，则，故D正确；取函数，则，故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数，而，，说明A,B,C错误，故选：D.8．A【分析】根据题意可知是周期为的周期函数，以及，，由此即可求出结果.【详解】因为和都是定义在上的奇函数，所以，，所以，所以，所以是周期为的周期函数，所以因为是定义在上的奇函数，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，即，所以.故选：A.9．A【分析】分析可得，令可求得，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论.【详解】因为，，所以，，则，函数的定义域为，令，可得，所以，，令，则，所以，，故函数为奇函数.故选：A.10．D【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．11．D【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，则，，，因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，故函数在区间上为增函数，所以，即.故选：D.12．B【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，由可得，∴，解得.故选：B.13．(1)，；(2)在上为减函数，证明见解析；(3)．【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用单调性的定义即可证明；（3）根据奇偶性与单调性即可求解.（1）是奇函数，．，，，又，解得：.所以.（2）在上为减函数，证明如下：由（1）知，令，则的单调性和的单调性相反，设，则，，，，，即，在上为增函数，则在上为减函数；（3）由（1）（2）结合计算可知：在上递减，在上递增，在上递增，在上递减．又当时，，且，．14．(1)为奇函数，证明过程见解析；(2)【分析】（1）分与两种情况，先求定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；（2）参变分离，整理为恒成立问题，求出的最大值，从而求出实数的取值范围.（1），当时，，定义域为R，此时，所以为奇函数，当时，定义域为，且，所以为奇函数，综上：为奇函数.（2）,即，在上恒成立，整理为在上恒成立，令，当时，，所以，故实数的取值范围为.15．(1)奇函数；证明见解析(2)证明见解析；最小值为(3)【分析】（1）证得，即可得到为奇函数.（2）将代入，由定义法证明在[1，）上的单调性即可，再由单调性即可求得最小值.（3）首先参变分离，然后将题目转化为大于函数在上的最大值即可.（1）因为，定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数.（2）当时，，且，有．所以，函数在上单调递增，函数在上的最小值为．（3）若对任意恒成立，则，所以，问题转化为大于函数在上的最大值．且函数在上单调递减，所以最大值为，故实数的取值范围是16．B【分析】由f（x）＝xln（x）为偶函数，则设g（x）＝ln（x）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.【详解】解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，则g（0）＝0，即ln0，则1，则a＝1．故选：B．17．D【分析】A选项，举出反例；B选项，单调区间不能用；C选项，函数在，上分别单调递增，但在定义域上不单调；D选项，根据奇函数定义可得到是奇函数.【详解】对于A，若，，则当时，，故A中说法错误；对于B，的单调递增区间应为，，故B中说法错误；对于C，的定义域为，当，时，在，上分别单调递增，但在定义域上不单调，故C中说法错误；对于D，的定义域为，关于原点对称，且，故是奇函数，故D中说法正确，故选：D．18．B【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.【详解】因为，所以，为奇函数，所以C错误；当时，，所以A，D错误，B正确.故选：B.19．A【分析】由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果.【详解】因为满足，对任意的有，所以在上单调递减且为偶函数，则由可得，即故选:A20．A【分析】根据函数解析式和奇偶性可确定的单调性，结合可得自变量的大小关系，由此可解不等式求得结果.【详解】当时，，在上单调递增；又是定义在上的偶函数，在上单调递减；，由得：，则，解得：，的解集为.故选：A.21．（1）奇函数（2）既不是奇函数也不是偶函数（3）既是奇函数又是偶函数（4）奇函数【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.【详解】（1）由，得，且，所以的定义域为，关于原点对称，所以.又，所以是奇函数.（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有，所以，，所以既是奇函数又是偶函数.（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.①当时，，所以，，所以；②当时，，所以；③当时，，所以.综上，可知函数为奇函数.22．B【分析】根据区间单调性、对称性及奇函数性质，判断目标区间的单调性、函数值符号，进而求不等式的解集.【详解】由题意，在上单调递增，又是R上的奇函数，∴，且在上单调递增，∴当时，，当时，．∵，∴的图象关于直线x＝1对称，∴，且在上单调递减，∴在上单调递减，且．∴当时，不等式的解集为.故选：B23．(1)0(2)最大值8，最小值0(3)【分析】(1)根据奇函数的性质求的值；(2)化简函数解析式，结合二次函数性质求其最值；(3)化简函数解析式，结合函数图象确定的取值范围.（1）因为在上是奇函数，所以恒成立，即恒成立.所以恒成立，所以.（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上的值得范围为，其中时，，函数在上单调递增，所以函数在上的值域为，其中当时，；所以当时，，当时，.（3）因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，当时，当时，令，可得因为当，时，函数既有最大值又有最小值，所以.24．B【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.【详解】由，得函数图象的对称轴是直线，又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，则，解得．故选：B.25．C【分析】构造函数，利用函数的奇偶性、单调性解不等式.【详解】令，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，即是定义在R上奇函数．又，，且，都有成立，所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，所以，即，所以，解得．故A，B，D错误.故选：C．26．D【分析】求定义域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论．【详解】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；当时，，易知在上是增函数，排除A．故选：D．27．C【分析】先由奇函数得到上单调递减且，再由单调性解不等式即可求得的取值范围.【详解】由题意知，在上单调递减且；由可得或，则或，解得或.故选：C.28．D【分析】利用函数的奇偶性定义逐项判断可得答案.【详解】因为为上的奇函数，为上的偶函数，所以，，对于A，，设，则，故错误；

对于B，，设，则，故错误；对于C，，，设，，故错误；对于D，，设，，所以为偶函数，故正确.故选：D.29．D【分析】根据题意可得在区间上单调递减，构造，可得为偶函数且在上递增，在上递减，且，即可求解.【详解】解：由题可知，在区间上单调递减，又为奇函数，则，且，故，设，则，故为偶函数，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，所以的解集为，即的解集为.故选：D.30．BD【分析】利用奇函数的定义，求出关于点对称，得到，利用充分条件的定义结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及恒等式，运用赋值法对四个选项逐一分析判断即可.【详解】函数的定义域为，是奇函数，则，所以，故函数关于中心对称，所以，对于A，在上单调，由不能确定，故错误；对于B，为偶函数，又，所以，故正确；对于C，为偶函数，则，可知函数关于轴对称，不能确定，故错误；对于D，因为关于成中心对称，所以，令则，因为，令，则，解得，令则，解得，令，则，综上可得，所以是使得成立的充分条件.故选：BD31．ABC【分析】A选项，单调区间不能用号连接，即在定义域不是单调递减函数，A错误；B选项，可举出反例；C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.【详解】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；因为是增函数，所以，解得，故C不正确；因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故D正确.故选：ABC.32．ABC【分析】根据题意，函数，均为定义在上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.【详解】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；对于C选项，设，则，所以为偶函数，故C正确；对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.故选：ABC.33．ABD【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，x2∈R，且，则，，根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.故选：ABD．34．ACD【分析】由奇偶性定义判断A，由基本不等式判断BC，按分类讨论判断D．【详解】，则定义域为，且，即，故函数为偶函数，故A正确；当时，，当且仅当时取到等号，故的值域是，故B不正确，C正确．当时，，当时，，在上单调递增；当时，时，，设，则，，，，单调递增；当，时，，首先在上单调递增，又由得（负值舍去），因此时，，所以是增函数，综上所述，当时，在上单调递增，故D正确．故选：ACD．35．BCD【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.【详解】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，所以，故A错误；对选项B，若，则，得，故B正确；对选项C，若，则或，因为，所以或，故C正确；对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以只需即可，故D正确．故选：BCD．36．4【分析】先由对称性和奇偶性求得函数的周期，再利用函数的周期结合函数在上的解析式求值即可.【详解】∵的图象关于直线对称，∴，又为奇函数，∴，故，则，∴函数的周期，又∵，∴.故答案为：4.37．【分析】由奇函数的性质可得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可.【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，解得，此时，则，即函数为奇函数，合乎题意.因此，.故答案为：.38．或【分析】利用奇函数的性质将不等式转化为，进而得到或，再利用函数的单调性即可求解.【详解】因为为奇函数，且在上是增函数，，所以，且在上也是增函数，因为，即或，∴或，即或，所所以不等式的解集为或.故答案为：或.39．【分析】首先利用函数是奇函数，不等式变形为，判断函数的单调性，再根据函数的最大值求函数的最小值.【详解】∵是定义在上的奇函数，∴对任意，，，且，等价于，∴在上单调递增．∵，∴．故答案为：40．②④【分析】利用函数的奇偶性、对称性和平移变换分析各命题即可.【详解】若是偶函数，则，所以的图象关于对称，①错误，②正确；，令即，所以是偶函数，图象关于轴对称，③错误；是将的图象向右平移2个单位而得，是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得，因此与的图象关于对称，④正确.故答案为：②④41．(1)证明见解析(2)最小值；最大值【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义进行判断；（2）先利用定义法判断函数的单调性，进而求出区间上的最值.（1）证明：的定义域为，关于原点对称，，所以在定义域上为奇函数；（2）（2）在上任取，且，则∵，∴，，，∴，∴，∴在上单调递增，∴最小值为，最大值为42．(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因