1.5数学归纳法检测B卷综合提升-2021-2022学年高二上学期北师大版（2019）数学选择性必修第二册

1.5数学归纳法检测B卷(综合提升）一、单选题1．用数学归纳法证明时，第二步应假设（）A．时， B．时，C．时， D．时，2．若，则对于，（）A． B．C． D．3．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A． B． C． D．4．用数学归纳法证明关于的命题时，___________，为正整数，则空格处应填（）A． B． C． D．5．现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题6．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．设，那么等于（）A． B．C． D．8．已知数列，满足，，则（）A． B．C． D．二、多选题9．对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（）A．过程全部正确 B．时证明正确C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确10．一个与正整数有关的命题，当时命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则下列说法正确的是（）A．该命题对于时命题成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与取值无关D．以上答案都不对11．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立12．以下四个命题，其中满足“假设当（，）时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数三、填空题13．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________.14．用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．15．已知各项均为正数的数列，前项和，则通项______.16．函数，满足，，，则___________.四、解答题17．在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？18．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*).（1）求x2，x3，x4的值；（2）归纳数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.19．已知数列满足，．（1）求，，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．（2）记数列的前项和为，证明：．20．已知数列的前n项和分别为，且，．（1）求；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．21．已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为．22．已知数列满足，，它与数列形成的新数列的前项和为．（1）求、：（2）记集合，为集合中所有元素的和，试比较与的大小．参考答案1．C【分析】根据数学归纳法的证明步骤即可选出正确答案.【详解】根据数学归纳法得证明步骤，可知第二步归纳假设正确写法：假设时，故选：C2．D【分析】由的表达式直接计算即可.【详解】，，所以，故选：D.3．C【分析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可．【详解】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选：C4．B【分析】根据已知条件，写出时的表达式及时的表达式即可求解.【详解】解：因为时，，时，，所以从到时，，故选：B.5．B【分析】直接用数学归纳法证明即可．【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立．综上，对任意，等式恒成立，故选：B．6．B【分析】分别令，计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出正确答案.【详解】当时，左边，右边，不成立；

当时，左边，右边，不成立；

当时，左边，右边，成立；即左边大于右边，不等式成立，

则对任意的自然数都成立，则的最小值为，

故选：B．7．C【分析】根据题意，写出，作差即可.【详解】由题意，，则，所以，即.故选：C.【点睛】本题考查数学归纳法，正确弄清由到时增加和减少的项是解题的关键，属于基础题.8．B【分析】转化条件为，令，通过导数可得单调递增，通过数学归纳法可证明如果，则，再令，通过导数证明后，适当放缩可得，进而可证明，即可得解.【详解】因为，所以，令，则，当时，，单调递增，由题意，，如果，则，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，因为，所以，所以，所以对于任意的，均有，所以.故选：B.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式研究数列的性质、数学归纳法及导数的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.9．BD【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.10．AB【分析】利用数学归纳法原理可判断各选项的正误.【详解】命题对于时成立，那么它对于也成立，若当时命题成立，则对时命题成立，从而对时命题成立，假设当时命题成立，则当时命题也成立，因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当为奇数时，无法确定该命题的真假.故选：AB.11．AD【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD12．BC【分析】按照数学归纳法的解题步骤逐一分析即可得结果.【详解】对于命题入，，当时有，故当n等于给定的初始值时命题成立，故不满足条件；对于命题B，，假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足条件；对于命题C，凸n边形的内角和为，假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为，命题不成立，故满足条件；对于命题D，凸n边形的对角线条数，假设当时命题成立，即，当时有，故不满足条件．故选：BC.13．n＝3时是否成立【分析】根据数学归纳法的方法与步骤即可得出答案.【详解】n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立.故答案为：n＝3时是否成立14．【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解】假设时成立，即成立，当时，，故只需证明“”成立即可．故答案为：.15．【分析】通过计算出数列前几项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可．【详解】，，解得：或(舍)，，即，整理得：，解得：或(舍)，，即，整理得：，解得：或(舍)，猜想：.下面用数学归纳法来证明：①当n=1时，命题显然成立；②假设当n=k(k⩾2)时,有，则整理得：，解得：或(舍)，即当n=k+1时，命题也成立；由①、②可知数列的通项公式.故答案为：.【点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式，考查了归纳推理的应用，同时考查了利用数学归纳法证明，属于中档题.16．【分析】结合数学归纳法以及反正法证得，进而可以求出结果.【详解】由知，用数学归纳法证对于任意的整数，可由的值唯一确定，且，①当时，，结论成立，假设对于任意整数，，的值唯一确定，且，则，进而，故由归纳法假设知与的值唯一确定，从而可由②的值唯一确定，又，则，故由②知：，因此结论对也成立，由数学归纳法知存在唯一函数，满足，接下来证明，对任意正整数，有③，当时，③式成立，假设③式在时成立，由②知④由归纳假设知，若，由于，故由④及归纳假设知，若，则，故由④及归纳假设知，因此③在时，也成立，因此由数学归纳法知③式对一切成立，最后证明对于任意正整数有，当时，结论成立，假设当时结论成立，即，当时，假如，由①式知，而为整数，故，又因为，故由③式知存在一个最小的正整数，使得，进而由的最小性得，再由，故矛盾，因此，即时成立，所以对于任意正整数有，令，则，所以，故答案为：.17．；【分析】观察首项，末项，中间的变化规律，并写出当和时的式子，对比得到左边增加的部分，右边增加的部分.【详解】时，左边为，时，变为，故由到的变化过程中，左边增加的都分是；时，右边为，时，变为，右边增加的部分是.故答案为：；.【点睛】本题考查了数学归纳法中由到时式子的变化规律，观察首项，末项，中间的变化规律,并分别写出和时的式子是解题的关键.18．（1）x2＝，x3＝，x4＝；（2）xn＝，证明见解析.【分析】（1）由f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)可依次求出x2，x3，x4的值；（2）由x1，x2，x3，x4的值可归纳出xn＝，然后利用数学归纳法证明即可【详解】（1）x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，x4＝f(x3)＝＝.（2）根据计算结果，可以归纳出xn＝.证明：①当n＝1时，x1＝＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立.②假设当n＝k(k∈N*)时，公式成立，即xk＝，那么，xk＋1＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，公式也成立.由①②知，当n∈N*时，xn＝.19．（1），，，，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）依题意可得，再一一代入计算可得，即可猜想，再利用数学归纳法证明；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法计算可得；【详解】证明：（）因为，所以．当时，；当时，；当时，；猜想．①当时，，猜想显然成立.②假设时，猜想成立，即．则当时，，即当时猜想也成立.由①②可知，猜想成立，即．（）由（）知.因为．所以．20．（1）；（2）猜想；证明见解析．【分析】（1）分别令即可求解；（2）猜想，根据数学归纳法证明即可.【详解】（1）当时，，解得（舍）或，当时，，解得（舍）或，当时，，解得（舍）或，；（2）猜想证明：①当时，左边，右边，符合要求．②假设当时，成立，当时，即，∵，即．∴当时，也成立．根据①②可知，．21．证明见解析.【分析】按照数学归纳法证明步骤证明即可.【详解】证明：（1）当时，两条直线的交点只有1个，又，所以时，命题成立；（2）假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数，那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为，因为任意两条直线不平行，所以直线l与其他k条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点，所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不同，从而k+1条直线共有个