3.3 幂函数-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

3．3幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2022·全国·高一单元测试）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·全国·高一专题练习）下列结论中正确的个数有（

）（1）幂函数的图像一定过原点；（2）当时，幂函数在其定义域上是严格减函数；（3）当时，幂函数在其定义域上是严格增函数；（4）函数既是二次函数，又是幂函数.A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·全国·高一专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个题型二：幂函数的值域问题4．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（

）A．1 B． C． D．5．（2018·江苏·南京市第三高级中学高一期中）以下函数，，，中，值域为的函数共（

）个A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·河北·石家庄市第四中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（

）A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数C．的值域为 D．在定义域内有最大值题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2022·全国·高一单元测试）下列命题正确的是（

）A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点8．（2020·广东·广州市天河中学高一阶段练习）已知幂函数（是常数），则（

）A．的图象一定经过点B．在上单调递增C．的定义域为D．的图象有可能经过点9．（2020·四川凉山·高一期末）若函数与图象关于对称，且，则必过定点（

）A． B． C． D．题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2022·全国·高一专题练习）已知函数幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（

）A． B．C．或 D．11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知函数的图象经过点，则下列答案错误的是（

）A．函数在定义域内为增函数B．函数为偶函数C．当时，D．当时，题型五：幂函数的奇偶性问题13．（2022·全国·高一课时练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要14．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且15．（2021·江西宜春·高一阶段练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（

）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6题型六：幂函数的综合性问题16．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数为奇函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围.17．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.18．（2022·全国·高一）已知幂函数，且在区间上单调递减，(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，求证：在上单调递减．【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高一单元测试）若函数的图象经过点，则（）A． B．3 C．9 D．820．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，321．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，(1)求函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.23．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.(1)求的值，并确定的解析式；(2)令，求在的值域.【答案详解】24．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，若函数在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D．幂函数的图象不可能是直线27．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数在上单调递增，则（

）A．1 B．6 C．2 D．28．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．为偶函数 D．为减函数29．（2022·全国·高一专题练习）已知，若，则（

）A．－2 B．－1 C． D．230．（2021·安徽·高一阶段练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（

）A． B．0或2 C．0 D．231．（2022·全国·高一专题练习）函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是（

）.A．①④ B．① C．①② D．①③④二、多选题32．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，33．（2022·辽宁·高一期末）已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于原点对称C．单调递减区间是 D．在内的值域为34．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称35．（2022·全国·高一）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（

）A． B．C． D．36．（2021·全国·高一期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（

）A． B． C． D．37．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．幂函数为奇函数C．的单调减区间为D．函数的图象与y轴的交点至多有1个三、填空题38．（2022·全国·高一单元测试）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．39．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．40．（2022·全国·高一课时练习）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.41．（2022·全国·高一课时练习）函数是幂函数，对任意，且，满足，若函数（其中且）在上单调递增，则的取值范围是_______42．（2022·全国·高一专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．四、解答题43．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数为偶函数(1)求幂函数的解析式；(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.44．（2022·广东汕头·高一期末）已知幂函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)设，（i）利用定义证明函数在区间上单调递增．（ii）若在上恒成立，求t的取值范围．45．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数，且在区间上单调递减.(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，求证：在上单调递减.46．（2022·上海市大同中学高一期末）已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B2．A【分析】根据幂函数的概念，及图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于幂函数，其图象不过原点，且在上为减函数，所以（1）、（2）都不正确；对于幂函数，在是减函数，所以（3）不正确；由幂函数概念，幂函数，可得系数必为1，所以（4）不正确.故选：A.3．B【解析】由幂函数的定义即可判断.【详解】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.故选；B.4．C【分析】由代入法可得，求出在区间上单调递增，即可得到最小值.【详解】由幂函数的图像过点，可得，解得，所以，函数，则，所以在区间上单调递增，所以的最小值.故选：5．C【分析】根据四个函数的定义域结合函数的解析式，分别求出四个幂函数的值域即可得答案．【详解】函数，其定义域为，值域为；函数的定义域为，值域为；函数，，函数值域为；函数，值域为．值域为的函数共3个．故选C.【点睛】本题考查对幂函数简单性质的考查，即函数的三要素，考查基本运算求解能力.6．B【解析】先求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质即可判断.【详解】设，则，解得，，的定义域为，故A错误；可得在定义域上是单调递增函数，故B正确；值域为，故C错误；故在定义域内没有最大值，故D错误.故选：B.7．D【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．故选：D．8．A【分析】根据幂函数的定义与性质，判断选项中的命题是否正确即可.【详解】解：幂函数（是常数），其函数图象一定经过点（1，1），所以A正确；当时，在上单调递减，所以B错误；当时，的定义域不是，所以C错误；幂函数的图象不过第四象限，即不过点，所以D错误.故选：A.【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题.9．D【解析】求出函数的解析式，利用求出函数的图象所过的定点坐标，然后利用两函数图象的对称关系可求出函数所过定点的坐标.【详解】，，，所以，函数的图象过定点，又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点.故选：D.【点睛】本题考查函数图象所过定点坐标的计算，在解题时要熟悉指数、对数以及幂函数所过定点的坐标，考查计算能力，属于基础题.10．A【分析】由幂函数的定义可得出关于的等式，求出的值，然后再将的值代入函数解析式进行检验，可得结果.【详解】因为函数为幂函数，则，即，解得或.若，函数解析式为，该函数在定义域上不单调，舍去；若，函数解析式为，该函数在定义域上为增函数，合乎题意.综上所述，.故选：A.11．A【分析】构造函数，容易判断为奇函数，且在R上单调递增，进而将原不等式转化为，最后根据单调性求得答案.【详解】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a>1－2a，∴a>．故选：A.12．B【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.【详解】∵函数的图象经过点，∴，∴，解之得:.∴，.对于A.因为，所以函数在上为增函数.故A正确；对于B.因为函数的定义域为，并不关于原点对称，所以函数不是偶函数.故B错误；对于C.因为函数在上为增函数，所以当时,.故C正确；对于D.当若时，==.即成立，所以D正确.故选：B.13．A【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．14．C【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.15．B【分析】由题意可得，，且为偶数，由此求得m的值．【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴，且为偶数或当时，满足条件；当时，，舍去因此：m＝1故选：B16．(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.（1）解：由题意，幂函数，可得，即，解得或，当时，函数为奇函数，当时，为非奇非偶函数，因为为奇函数，所以.（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，因为，所以，解得，所以的取值范围为.17．(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．（1）∵是幂函数，∴，∴或2.当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函数在上的最小值大于0.∵图象的对称轴为，故在上单调递减，∴，由，得，∴实数k的取值范围是.18．(1)，定义域为；(2)证明见解析【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；（2）求出利用单调性定义证明即可（1）因为函数为幂函数，所以，解得或，若时，在上单调递增，不满足题意，所以，，定义域为；（2）由（1）知函数，设，则．因为，所以，，，所以，即，所以在上单调递减19．B【分析】将代入函数解析式，即可求出，即可得解函数解析式，再代入求值即可.【详解】解：由题意知，所以，即，所以，所以，所以.故选：B20．D【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.【详解】由题图知：，，，所以，，依次可以是，，3．故选：D21．B【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解.【详解】解法一：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以．因为，所以．因为，所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．22．(1)(2)或【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.（1）因为为幂函数

所以

因为为偶函数

所以故的解析式.（2）由（1）知，

当即时，，即

当即时，即

综上所述：或23．(1),；(2).【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；（2）由（1），得，利用换元法得到，，再根据二次函数的性质即可求解.(1)因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数是奇函数，符合题意，当时，函数是偶函数，不符合题意，综上所述，的值为，函数的解析式为.(2)由（1）知，，所以，令，则，，所以，，根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；所以，所以函数在的值域为.24．B【分析】根据幂函数的特征和性质可得，代入，根据二次函数的单调性即可列出不等关系求解.【详解】依题意有，解得或．又函数为偶函数，故为偶数，则，所以，，若单调递增，则，若单调递减，则，故或，解得或．故选：B．25．A【分析】由分段函数是减函数及幂函数的单调性，可得，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数是减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：A.26．C【分析】利用幂函数y＝x－1的图象可排除A，B；幂函数y＝x可排除D；当x>0时，f（x）＝xα>0必成立，可判断C【详解】幂函数y＝x－1的图象不过点（0，0），它在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，于是A，B都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，D不正确．当x>0时，f（x）＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确故选：C．27．D【分析】根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解.【详解】∵幂函数在上单调递增，∴，解得，故选：D．28．C【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；故选：C29．A【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可.【详解】设，由，当且时，即时，等式显然成立，当时，则有，因为，所以，当时，则有，即，因为函数是实数集上的增函数，由，而与矛盾，所以不成立，当时，则有，即，因为函数是实数集上的增函数，由，而与矛盾，所以不成立，综上所述：，故选：A【点睛】关键点睛：利用幂函数的单调性是解题的关键.30．D【分析】根据函数为幂函数求出，再验证单调性可得.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，当时，在上为减函数，不符合题意，当时，在上为增函数，符合题意，所以.故选：D.31．A【分析】结合函数和的图象，逐项判定，即可求解.【详解】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得，所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或，所以，若，可得，所以②错误；由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系，所以③错误；当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，，所以，若时，可得，所以④正确.故选；A．32．ACD【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.33．BD【分析】由题意得，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解.【详解】将点代入，可得，则，因为，故的图象不经过点(2，4)，A错误；根据反比例函数的图象与性质可得：的图象关于原点对称,单调递减区间是和，在内的值域为，故BD正确，C错误.故选：BD.34．ABD【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得，即可得到，从而判断可得；【详解】解：因为幂函数在上是增函数，所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD35．CD【分析】通过已知三个条件，分别奇偶性、值域和单调性即可排除选项.【详解】由已知可得，此函数为奇函数，而A选项为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B，的值域为，且该函数在R上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C、D同时满足三个条件.故选：CD.36．BD【分析】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，其中选项ABC可直接判断单调性和奇偶性，选项D通过画图判断单调性和奇偶性.【详解】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，对于A.，函数不为奇函数，故不为“理想函数”；对于B.为定义域上的单调递减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；对于C.为定义域上的单调递增函数，故不为“理想函数”；对于D.的图像如下：由图像可得该函数为定义域上的单调减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；故选：BD.37．ABD【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；对于C项，由可知，C错误；对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.故选：ABD.38．【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-339．4【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值，进而即得.【详解】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，符合题意.当时，，图象关于原点对称，不符合题意.所以的值为，∴.，.故答案为：4.40．（答案不唯一）