3.3.1 抛物线及其标准方程-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.1抛物线及其标准方程知识储备1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形典例剖析考点一抛物线的定义及应用[典例精析](1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A. B．1C. D．2(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【答案】(1)B(2)4【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.eq\a\vs4\al([变式发散])1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【答案】2【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2.2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．【答案】【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.[解题技法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.[过关训练]1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．【答案】(2,2)【解析】过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．2．(2020·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.【答案】【解析】如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.能力检测姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．（2020·湖南雨湖区·湘潭一中高二期中）动圆经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的左焦点为，动圆经过且与直线相切，则圆心到点的距离和到直线的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是焦点为，准线为的抛物线，其方程为.故选：B．2．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解析】因为点在抛物线上,设，抛物线的准线方程为，根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，所以.故选:A3．（2020·任丘市第一中学高二开学考试）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A．4 B．8 C． D．【答案】A【解析】双曲线的标准方程为：，右焦点为，抛物线的焦点也是，，所以，所以.故选：A.4．（2020·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）.A． B．C． D．【答案】C【解析】抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，则，且该双曲线的焦点在轴上，，解得，所以，双曲线的标准方程为，该双曲线的渐近线方程为.故选：C.5．（2020·江西东湖区·南昌十中高二期中（文））若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由题意，，，则，解得故选：D6．（2020·黑龙江高二学业考试（文））已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则（）．A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由题意知：抛物线准线为，，又，∴，又为等边三角形，即边长为，∴，而，整理得，解得或（舍去），故选：A7．（2020·黑龙江高二学业考试（文））已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为（）A． B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】根据已知条件出图示如下，过作准线，且准线方程，所以，所以当三点共线时，此时有最小值，即有最小值，所以，且，，所以，故答案为：D.8．（2020·江苏如皋市·高二期中）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点到焦点F的距离为.则实数p值为（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】抛物线，焦点，准线方程由抛物线定义可得，解得：故选：C.二、多选题9．（2020·江苏南京市·高三月考）已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是（）A．双曲线的离心率为 B．抛物线的准线方程是C．双曲线的渐近线方程为 D．【答案】BC【解析】由双曲线：的实轴长为2，可得，又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，则，可知双曲线：，所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是，双曲线的渐近线方程为，所以A不正确；B、C正确，联立方程组，解得，所以，所以D不正确.故选：BC.10．（2020·全国高三专题练习）已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，交圆于、两点，其中、位于第一象限，则的值可能为（）.A．B．C．D．【答案】CD【解析】将圆的方程化为标准方程得：，设,∴圆心为，半径为，又抛物线的焦点，∴焦点恰为圆的圆心，易知，，∵，∴，当直线斜率存在时，设方程为，与联立，整理得，即；当直线斜率不存在时，此时，∴，当且仅当时，等号成立，故的值可能为、，故选:CD.11．（2020·全国高三其他模拟）已知点为圆锥曲线的焦点，则的方程可能为（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，的焦点坐标为(2，0)，不满足题意；对于B，的焦点坐标为(0，2)，满足题意；对于C，可化为，其为焦点在轴上的双曲线方程，且该双曲线的半焦距，满足题意；对于D，为焦点在轴上的双曲线方程，不满足题意．故选：BC．12．（2020·全国高三其他模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点，若点在上，点为抛物线上第一象限内一点，直线与抛物线交于另一点，是正三角形，且四边形的面积是，则（）A．的方程为 B．C． D．的面积是【答案】ABD【解析】如图，因为为正三角形，所以，则由抛物线的定义可知，又，所以．因为，所以，，又四边形的面积为，所以，所以，所以，的方程为，故A正确．易知直线的方程为，代入抛物线的方程，得，解得或，则，，所以，故B正确．又，所以，又，所以，所以，不垂直，故C错误．的面积，故D正确.故答案为：ABD三、填空题13．（2020·常德市淮阳中学高二期中）设是抛物线上的一个动点，是抛物线的焦点，若，则的最小值为______．【答案】4【解析】因为，所以点在抛物线的内部，如图，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，根据抛物线的定义可得，，又是抛物线上的一个动点，所以，当且仅当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为4.故答案为：.14．（2020·江苏海安市·高三期中）已知抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为，则______.【答案】3【解析】由抛物线定义可得，，解得，故答案为：315．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为_________.【答案】3【解析】易见，抛物线的准线方程为，设，则到准线的距离为，等于到焦点的距离为4，即，故，即点的横坐标为3.故答案为：3.16．（2020·全国高三专题练习）设抛物线：()的焦点为，准线为，点为抛物