高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修1

【创新设计】(浙江专用)2016-2017学年高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1第1课时集合的含义(1)“属于”:如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A.(2)“不属于”:如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作aA.数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NZQR温馨提示：注意正整数集比自然数集中少一个元素“0”.(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集(2)一个集合可以表示成{a,a,b,c,}.(),。,。只有元素1,2,3,4,5,6,没有-1和0.正确.2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点0距离等于5的点A.1解析②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.答案B解析①正确，∵0是自然数，∴0∈N;②不正确，∵√2是无理数，∴√2年Q;③不正确，④不正确，-2是整数，∴-2∈Z.答案D4.若1∈A,且集合A与集合B相等，则1--_---B(填“∈”“年”).答案∈类型一集合的含义【例1】下列各组对象不能组成集合的是()B.北京四中2015级新生C.全体奇数解析根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B,C,D中所给的对象都是确定答案A规律方法判断一组对象组成集合的依据及切入点性和无序性.【训练1】判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；解(1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.(3)方程x-4=0在实数范围内的解有两个，即±2,故能组成一个集合.类型二元素与集合的关系(2)(2016·连云港高一检测)集中A中的元素x满x∈N,则集合A中的元素为则6是3-x的正整数倍，所以3-x=1,2,3,6.又x∈N,∴x=0,1,2.规律方法(1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“年”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.【训练2】设不等式2x-3>0的解集为M,下列表示正确的是()A.0∈M,2∈MB.0EM,2∈MC.0∈M,2∈M解析因为2×0-3=-3<0,所以0不是M的元素，0年M又2×2-3=1>0.所以2是不等答案B类型三集合中元素的特性及应用(互动探究)提示根据集合元素的互异性，a+1≠a²-1.提示根据元素与集合间的从属关系，应有a+1=0或a-1=0.规律方法(1)由于A中含有两个元素，0∈A,本题以0是否等于a+1为标准分类，从而做【迁移探究1】(变换条件)本例若将集合A中元素“a+1”“a²-1”改为“a-3和2a-1”,“0∈A”改为“-3∈A”,若-3=a-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或-1.取值.所以a²-a-2≠0,即(a-2)(因此a≠2且a≠-1.集合.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A,要么满足adA,两者必居其一.2.对符号(和4的两点说明关系.D.美国NBA的篮球明星解析因为方程x-2x-3=0的解是x=-1,x₂=3,方程x-x-2=0的解是x₃=-1,X₄=2.所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为-1,2,3,共有3个元素.3.已知集合A中只含有一个元素1,若|b|∈A,则b=-------.解析由题意可知|b|=1,∴b=±1.即实数a的值为3.B.感动中国2016十大人物2.由x,2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是()A.0B解析根据集合中元素的互异性，验证可知x的取值可以是8.答案C解析∵1是自然数，∴1∈N,故①正确；····是整数，故⑤不正确.答案B4.方程x-3x-4=0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a,b,则a+b=_-------.解析方程x-3x-3=0的两根分别是-1和4,答案36.设集合A中含有三个元素3,x,x-2x.(2)若-2∈A,求实数x.解得x≠-1且x≠0且x≠3.(2)若-2∈A,则x=-2或x-2x=-2.由于x-2x=(x-1)²-1≥-1,则x-2x≠-2,所以x=-2.7.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个.8.已知集合A是由三个元素a-2,2a+5a,12组成的，且-3∈A,求实数a的值.9.由a²,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A.1B答案C10.集合A中的元素为全部小于1的数，则有()解析由于集合A中的元素为全部小于1的数，故3年A,14A,0∈A,-3∈A,故只有C答案C中含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a²,若集合P与集合Q相等，则a=--.解析∵P中含有两元素1,2;集合Q含有两个元素1,a,又P=Q,12.集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为--_---若a=6,则6-6=04A.解当k=0时，原方程变为-8x+16=0,所以x=2,此时集合A中只有一个元素2.需△=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x₁=x₂=4,集合A中只有一个元素4.14.设A为实数集，且满足条件：若a∈A,则证明(1)若a∈A,则又因为2∈A,所所以A中必有另外两个元素，分别为-1,(2)若A为单元素集，则所以所以A不可能为单元素集.第2课时集合的表示目标定位1.理解集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语用.(3)集合A={(1,2),(0,3)}中共有4个元素.()(3)集合A是由坐标平面上的点构成的集合，A中只有2个元素.2.已知A={x|3-3x>0},则有()解析A={x|3-3x>0}={x|x<1},所以0∈A.A.{1,1}B.{1}C.{x=1}D.{x-2x+1=0}答案B解析平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0,即x>0,y>0,故第一象限类型一用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(3)一次函数y=x-1与的图象的交点组成的集解(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12};(2)方程(x-4)²(x-2)=0的根是4,2,所求集合为{4,2};规律方法1.本例(2)在求解中易出现{4,4,2}的错误表示；本例(3)在求解时易出的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(x,y)},而非数【训练1】用列举法表示下列集合：(1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x(x-1)=0的所有实数根组成的集合；(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.解(1)小于10的正偶数有2,4,6,8,所求集合为{2,4,6,8}.(2)方程x(x-1)=0的根为0,±1,所求集合为{0,-1,1}.(3)方程的解所求集合为{(1,1)}.类型二用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(2)函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象上所有点的集合；(3)方程x+(m+2)x+m+1=0(m∈Z)的解集.解(1)要使有意义，则x+x-6≠0,即x≠2且x≠-3,故可写成{x∈R|x≠2k∈Z};②不能出现未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范【训练2】用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x+2>2x+1的实数x组成的集(2){(x,y)|xy>0,且x,y∈(3){xlx=2k-1,k∈N'}.类型三集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f(x)=x-ax+b(a,b∈R),A={x∈R|f(x)-x=0},B={x∈R|f(x)-ax=0},若A={1,-3},试用列举法表示集合B.探究点一如何利用条件首先确定函数f(x)的解析式?探究点二怎样用列举法表示出集合B?提示解出方程f(x)-ax=0的实根，确定集合B.解∵f(x)-x=0,即x-(a+1)x+b=0,又集合A={1,-3},所所以f(x)=x+3x-3.【训练3】已知集合A={x∈R|ax-3x+2=0},若集合A中有两个元素，求实数a取值范围的集合.解若A中有两个元素，则一元二次方程ax-3x+2=0有两个不等的实根，因此实数a取值范围的集合[课堂小结]1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是()答案B2.集合{(x,y)|y=2x+3}表示()C.函数y=2x+3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析集合{(x,y)ly=2x+3}的代表元素是(x,y),x,y满足的关系式为y=2x+3,因此集合表示的是满足关系式y=2x-1的点组成的集合.解析由于{4,a}={2,ab},所以a=2且ab=4,从而a=2,且b=2,所以a+b=4.(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P={0,2,4}.(2)可用列举法表示为{6,9,12};也可用描述法表示为{x|x=3n,4<x<15,且n∈N}.1.方程的解集是()A.{x=1,y=1}B.{1}C.{(1,1)}解析方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A,B,而D不是集合的形式，排除D.2.下列各组集合中，表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}解析A中集合M,N表示的都是点集，而(3,2)与(2,3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C中集合M表示直而集合N表示直线x+y=1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合.3.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是()解析{x|x=2k,k∈Z)表示所有偶数组成的集合.由-3<x<11及x=2k,k∈Z,可限定集合中元素.答案D4.点(2,11)与集合{(x,y)ly=x+9}之间的关系为---答案(2,11)∈{(x,y)ly=x+9}5.下列集合中，不同于另外三个集合的是---_---_.解析由集合的含义知{x|x=1}={yl(y-1)²=0}={1},而集合{x=1}表示由方程x=1组成的集合，所以答案为③.(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.解(1)用描述法表示为{x|x(x-2x-3)=0}.(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}.(3)用描述法表示该集合为{(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N}.7.用列举法表示集合A={(x,y)|y=x,-1≤x≤1,且x∈Z}.8.设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},若a∈A,b∈B,试判断a+b与集合A,B的关系.又k+k₂为整数，2(k+k₂)为偶数，9.集合A={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N}中元素的个数是()答案C10.(2016·德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤<0}阴影部分点的集合.答案B11.已知集合A={(x,y)ly=2a是直线y=x+3上的点，所以a是直线y=2x+1与y=x+3的交点，即a为(2,5).12.下列命题中正确的是--_----_(只填序号).①0与{0}表示同一集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)²(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|2<x<5}可以用列举法表解析对于①,0表示元素与{0}不同，对于③不满足集合中元素的互异性，故不正确，对于④无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；解(1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为：{3,5,7}.③当a>0,b<0或a<0,b>0时，故所有的值组成的集合为{-2,0,2}.①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).解若只有①对，即a=1,则b≠1不正确，所以b=1,与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有②对，则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③对，则有序数组为(3,1,2,4);若只有④对，则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).目标定位1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定类别文字语言图形语言符号表示子集的子集真子集如果集合ACB,但存在元素x∈B,且难A,称集合A是集合B的真子集关系.3.空集温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而{0},o,{o}都为集合，其中{0}是包个元素0的集合，为不含任何元素的集合，{o}为含有一个元素a的集合.(2)集合{0,1}的子集是{0},{1},{0,1}.()(3)已知A=B,A={1,2,3},B={x,y,3},(2)错，②也是集合{0,1}的子集.2.集合{1,2}的真子集有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析集合{1,2}的真子集有0,{1},{2}共3个.答案B3.设集合M={x|x>-1},则下列选项正确的是()符号错误.答案A4.已知集合A={2,9},集合B={1-m,9},且A=B,则实数m=------.答案-1类型一有限集合的子集问题【例1】已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.规律方法1.本题在求解中，常因没把握住集合A的含义而把集合A表达为{0,1,2},究其原因是没有看清集合A的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素……依次类推，按规子集有2”-2个.【训练1】已知集合A={1,2},B={x|xA,求集合B解由题意可知，集合B的元素是集合A的所有真子集，故B={o,{1},{2}}.类型二集合间关系的判断【例2】(1)下列关系中，正确的个数是()(2)设a,b∈R,集合{1,则b-a等于()A.1B.解析(1)对于①,集合{0}中含有1个元素0,所以0∈{0}正确；对于②,由于空集是任何非空集合的真子集，所以②{0}正确；对于③,{0,1}是数集，{(0,1)}是点集，所以③错误；对于④,{(a,b)}与{(b,a)}是不同的点集，所以④错误.所以b=1,a=-1.故b-a=2.故选C.规律方法(1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：①判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是，则ACB,否则A不是B的子集；②判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是，则BEA,否则B不是A的子集；③若既有ACB,【训练2】集合A={x|x+x-6=0},B={x|2x+7>0},试判断集合A和B的关系.事●事●又0∈B,但04A,∴AB.【例3】已知集合A={xl-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若BEA,求实数m的取值范围.探究点一BSA,集合B是否满足B≠必?提示不能，因为集合B中的元素不确定，有B=0和B≠0两种情况.提示根据子集定义，m应满;不等式组解集为0.由(1)(2)知，实数m的取值范围是{m|规律方法1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.【迁移探究1】(变换条件)本例中若将“BEA”改为“ACB',其他条件不变，求m的取值范围.解由ACB题设条件，所解故3≤m≤4.所以m的取值范围是{ml3≤m≤4}.【迁移探究2】(变换条件)本例中若将“A={xl-2≤x≤5}”改为“A={x|x<2或x>5}”,其余条件不变，求实数m的取值范围.则mK-5,此时满足条件BA.则解之得或m>11.综合(1),(2)知，实数m取值的范围1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A,能推出x∈B,这是判断ACB的常用方法.(2)不能简单地把“ACB”理解成“A是B中部分元素组成中不含任何元素；若A=B,则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，AB首先要满足ACB,其次至少有一个x∈B,但砷A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集中元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2"个子集，有2"-1个真子集，有2"-2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.课堂达标自主反馈区1.已知M={-1,0,1},N={x|x-x=0},则能表示M,N之间关系的Venn图是()答案C2.下列四个集合中，是空集的是()A.{x|x+3=3}B.{(x,y)ly=-x,x,y∈R}C.{xlx≤0}答案D3.集合A={x|1≤x<4,x∈N}的真子集的个数为--------.其真子集为：@,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共4.设集合A={x|x-x+a=0},若aA,求实数a的取值范围.即x-x+a=0有实根.∴△=(-1)²-4a≥0,得所以实数a的取值范围1.下列集合中，不是集合{0,1}的真子集的是()解析任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集答案D2.集合P={xlx²-1=0},T={-2,-1,0,1,2},则P与T的关系为()A.P=TB.PTC.P2TD.PT解析由x-1=0,得x=±1,所以P={-1,1}.因此PT.答案DA.6解析集合{0,1,2}的子集为：0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶数的集合有6个.4.设a∈R,若集合{3,5}={1-a,5},则a=-_------.答案-2围是----------.6.若集合{1,2}CM{1,2,3,4},试写出满足条件的所有集合M中可以有2个或3个元素，故满足条件的M可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.解所以实数a的取值范围解∵BEA,A≠0,∴B=0或B≠0.当B=0时，方程ax+1=0=@时，此时a≠0,;9.下列说法中正确的是()解析②不正确，如{1,2}E{1,2},但{1,2}{1,2}不成立；④不正确，如{1}ε{1,2},但二者不相等.①③正确.答案C10.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m,若集合M有4个子集，则实数m=()解析由于M有4个子集，所以M中一定有2个元素，又M={x∈Z|1≤x≤m,所以m=2,此时M={1,2}恰好有4个子集.答案B11.设集合M={x|2x-5x-3=0},N={xlmx=1},若MEM,则实数m的取值集合为--------12.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合C满足：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，其各元素都减2后，就变为B的一个子集，则集合C=解析本题可逆向操作，A中元素都减2,得{0,2,4,6,7},B中的元素都加2,得{3,4,5,7,10},因为C中的元素同时在这两个集合中，所以C={4}或{7}或{4,7}.答案{4}或{7}或{4,7}13.设集合A={xl-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且BEA,求实数m的取值范围，解BEA,分为两种情况：①当B=0时，满足BEA,此时m+1≤2m-1,解得m≥2.综上可得m的取值范围是{m|m≥-1}.14.已知集合A={xl(a-1)x²-2x+1=0},且集合A有且仅有两个子集，求实数a的值以及对应的两个子集.解根据题意可知集合A中只含有一个元素.(1)当a=1时，此时集合A的两个子集,;解得a=2,此时集合A的两个子集为{1},.故实数a的值为1或2.当a=1时，集合A的两个子集,;当a=2时，集合A的两个子集为{1},x.1.1.3集合的基本运算目标定位1.理解两个集合并集和交集的含义，掌握有关术语和符号.2.会求两个简单集合的并集和交集.3.能用Venn图表达集合的并集与交集，体会数形结合思想.1.集合的并集自然语言符号语言图形语吉2.集合的交集AB符号语言图形语言自然语言温馨提示：当集合A、B没有公共元素时，A与B有交集，此时ANB=0.3.集合的并集、交集的常用运算性质1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)集合AUB的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和.()(2)当集合A与B没有公共元素时，则集合A与B没有交集.()(3)已知A={1,2,3},(AUBCA,则B中最多有3个元素，最少有1个元素.()提示(1)错，AUB的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.(2)错，当集合A与B没有公共元素时，集合A与B的交集为0,即ANB=0.(3)错，B中最多有3个元素，也可能B=0.2.设集合A={2,3},集合B={0,1},则AUB等于()C.{0,1,2}答案D3.已知集合M={-1,-2,-3,-4},N={-3,3},下列结论成立的是()C.MNN=ND.MNN是单元素集合答案D4.设集合M={1,2,m-2},N={-1,3},且MNN={3},则m=-- 类型一集合并集的运算【例1】(1)已知集合A={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则AUB=------;(2)若集合A={xl-1≤x<2},B={x|0<x≤3},则AUB=---_.规律方法(1)用描述法表示的数集，如果直接观察不出并集的运算结果，那么就要借助于数轴写出结果，此时要注意：①并集是所有部分；②当端点不在集合中时，用“空心圆圈”表示.(2)用列举法表示的数集，依据并集的含义，直接观察或用Venn图写出集合运算的结果.【训练1】(1)已知集合A={xl(x-1)(x+2)=0};B={xl(x+2)(x-3)=0},则集合AUBA.{-1,2,3}C.{1,-2,3}-1}.类型二集合交集的简单运算【例2】(1)已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x|x<-1或x>3},求A∩B.(2)若A={xl-2≤x≤3},B={x|x>a,所以又B={x|x<-1或x>3}.规律方法(1)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集【训练2】已知M={1,2,a²-3a-1},N={-1,a,3},MNN={3},求实数a的值.解得a=-1或4.类型三并集、交集的性质及应用(互动探究)【例3】已知集合A={x|x-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且AUB=A,求实数a组成的集合C.探究点一你能由AUB=A,判定集合A、B间的包含关系吗?探究点二集合B中一定有一个元素吗?提示不一定，由BEA分两种情况，B=0或B中只有一个元素.(1)若B=0,即方程ax-2=0无解，此时a=0.当B={2}时，有2a-2=0,即a=1.综上可知，适合题意的实数a所组成的集合C={0,1,2}.规律方法1.在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到ANB=A,AUB=B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B=A⇔ACB,AUB=B=ACB【训练3】已知集合A={xl-2<x<3},B={x|2m+1<x<m+7},若ANB=B,求实数m的取值范围.(1)当B=0时，即2m+1≥m+7,所以m≥6.此时满足ANB=B.合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是ANB=02.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.1.(2014·广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2),则MUN=()A.{0,1}C.{-1,0,1,2}2.(2016·绍兴一中月考)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则PNQ等于()A.{x|3≤x<4}C.{x|2≤x<3}D.{x|2≤x≤3}3.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},满足A∩B={2},则实数a=-_---4.已知集合A={x|3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k+3},且AUB=B,试求k的取值范结合数轴可解1.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知集合A={-2,A.{xl-1<x<3}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<2}D.{x|2<x<3}C.a≥2点a应在2处或其右侧，因此a≥2.解析由于MU{-1}={-1,0,1},所以ME{-1,0,1},且0∈M,1∈M,因此M={0,5.已知集合P={x|x≤1},M={a},若PUM=P,则a的取值范围为-------.3},C={3,4,5,6}.解(1)A={-2,-1,0,1,2},共5个元素，所以A的非空真子集的个数为2³-2=30.={-2,-1,0,1,2,3}.此时A={0,1,-3},B={-3,-1,1},则A∩B={1,-3},这与已知矛盾.此时A={0,1,-3},B={-3,-4,2},ANB={-3},符合题意.因此AUB={-3,-4,2,0,1}.8.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若ANB=0,求a的取值范围.(1)若A=0,(2)若A≠0,如图所示，综上所述，a的取值范围9.若集合A={1,3,x},B={1,x},AUB={1,3,x},则满足条件的实数x有()10.设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)ly=x+b},且ANB={(2,5)},则()A.a=3,b=2B.a=2,b=3C.a=-3,b=-2解析由题意知点(2,5)在一次函数y=ax+1和y=x+b上，所以5=2a+1且5=2+b,答案B11.设集合A={xl-1<x<2},B={x|x<a},若ANB≠0,则a的取值范围是-_---_解析利用数轴分析可知，a>-1.的取值范围是----.13.已知集合A={x|x-3x+2=0},C={x|x-x+2m=0}.若ANC=C,求实数m的取值范因此其判别式△=1-8mK0,即②当C≠2时，方程x-x+2m=0有相同的实数根，即x=1或x=2,因此其判别式△=1-8m=0,解得代入方程x-x+2m=0,解得③当C={1,2}时，方程x-x+2m=0有两个不相等的实数根1,2,而1+2≠1,不符合一AUB={x|x≤1或x≥5}.②若B≠,题.文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合符号语言[A={x|x∈U且排A图形语言AAAA(1)([A)UA=U,(2)([A∩A=0.答案(1)×(2)×(3)√2.设全集U={0,1,2,3,4},A={1,2},则[pA等于()A.{3,4}B.{1,2}C.{0,1,2}A.{x|x<-1}C.{x|x>-1}D.{x|x≥-1}解析∵全集U=R,集合A={x|x>-1},4.设U=R,A={x|a≤x≤b},[A={x|x>5或x<1},则a+b=_【例1】设全集U={x|-2≤x≤2,x∈Z},A={x|x-2x=0},B={-2,0}.求[gA,[B.∴x的值为-2,-1,0,1,2;又方程x-2x=0的解为0,2;法二由题意，可用Venn图表示：则(A={-2,-1,1},[B={2,-1,1}.U([A)=U.A.0B.{2}C.{5}(2)设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},A.{xl0≤x<1}B.{x|0<x≤C.{x|x<0}D.{x|x>1}解析(1)U={x∈N|x≥2},A={x(2)∵U=R,∴[B={x|x类型二补集的简单应用【例2】已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<X<a+3}范围.解由题意得[aA={x|x≥-1}.综上可得a的取值范围规律方法(1)解答此类问题的关键在于合理使用补集运算的性质，必要时对含有参数的集合进行分类讨论，转化为与之等价的不等式(组)求解.(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，注意检验.【训练2】设全集U={2,3,a+2a-3},A={|2a-1|,2}.若[A={5},求实数a的值.解得a=-4或a=2.此时A={2,3},符合题意；此时A={9,2},不符合题意.故实数a的值为2.类型三交集、并集、补集的综合运算【例3】设A={x|2x+ax+2=0},B={x|x+3x+2a=0},ANB={2}.(1)求a的值及A、B;(3)写出(CA)U([B)的所有子集.B={x|x+3x-10=0}={-5,2}.甲(3)由(2)可知([;A)U([;B)的所有子集为0,{-5},,规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的解如图所示.∴[A={x|x≤-2或3≤x≤4},[B={x|(1)AU([A=U,AN([A)=2.(2)[(CyA)=A,[,U=0,[C(AUB)=([yA)∩(CyB).3.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U,求子集A,若直接求A困难，1.设全集为U,M={0,2,4},[M={6},则U等于()解析U=MU[M={0,2,4,6}.答案A2.已知集合A={x∈RI-2<x<6},B={x∈R|x<2},C.{x|x>-2}答案C3.已知全集U={6,7,8},且[A={6},则集合A的真子集有-------_个.解析因为U={6,7,8},[A={6},所以A={7,8},A的真子集为{7},{8},,共34.已知全集U=R,A=(x|2≤<4},B={x|3x-7≥8-2x},解析∵全集M={x|x>2},N={x|x>3},∴[N={x|2<x≤3}.答案D3,4,6},则集合AN[B=()A.{3}C.{1,4,6}5}.答案B4,5},B={x∈R|x≥2},则右图中阴影部分所表示的集合为()A.{1}C.{1,2}解析题图中阴影部分所表示的集合为AN[aB,因为A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},答案A解析A=[B=l(;D=D答案A=D5.设U={0,1,2,3},A={x∈U]x+mx=0},若[A={1,2},答案-36.设全集U={x|x是小于等于20的素数},AN(C(CA)∩([B)={2,17},求集合A,B.∴集合A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.7.已知集合A={1,3,-x},B={1,x+2},是否存在实数x,使得BU(AB)=A?实数x(1)若x+2=3,则x=1符合题意.(2)若x+2=-x,则x=-1不符合题意.此时A={1,3,-1},B={1,3}.8.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集R.解(1)因为A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以AUB={x|2<x<10}.从而([RA)∩B={x|x<3或x≥7}∩{x|2<x<10}={x|2<x<3或7≤x<10}.又因为a²+2≥2,所以a+答案A10.设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},若点P(2,3)∈AN([pB),则下列选项正确的是()A.m>-1,n<5B.mK-1,n<5C.m>-1,n>5D.mK-1,n>5P∈A且RB,i解得m>-1,n<5.答案A0,则实数k的取值范围是--_-----.解析由题意得[A={x|1<x<3},又BN[A≠0,故B≠0,结合图形可知解得0<k<2.13.已知全集U={1,2,3,4,5},A={x|x+px+4=0}.此时△=p-16<0,解得-4<p<4,当A≠0时，方程x+px+4=0的两个根x,x₂必须都属于全集U.因为xx₂=4,所以只可此时A={1,4},[A={2,3,5}.14.设全集U=R,集合A={x|-5<x<4}.集合B={x|x<-6或x>1},集合C={x|x-nK0},件①,②的实数m的取值范围为{mlm>4}.习题课集合的概念与运算目标定位1.巩固和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算.1.设集合A={x|x≤4},m=sin30°,则下列关系中正确的是()错误，集合与集合关系不能使用“∈或中”答案DA.{xl-3<x<2}BC.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}答案A3.已知全集U={1,2,3,4,5},且集合A={2,3,4},B={4,5},则AN([B)等于()A.{4}C.{1,2,3,4}D.{答案D4.已知集合A={(x,y)|x,y为实数，且x+y=1},B={(x,y)|x,y为实数，且x+y=1},则A∩B的元素个数为()解析联立两集合中的函数关系式得：解有两解.答案C子集个数有----.子集有0,{4},{5},{4,5},共4个.答案4-答案{x|0<x<1}题型一元素与集合的关系【例1】设集合(1)试判断1和2与集合B的关系；(2)令x=0,1,2,3,4,代是否成立，规律方法(1)判断所给元素a是否属于给定集合时，若a在集合内，用符号“∈”;若a不在集合内，用符号“年”【训练1】已知集合M含有两个元素a-3和2a+1,若-2∈M,求实数(1)若a-3=-2,则a=1,此时集合M中含有两个元素-2、3,符合题意.(2)若2a+1=-2,则此时集合M中含有两个元素-2、符合题意.所以实数a的值是1、则a的取值集合题型二集合的子集、真子集问题【例2】若集合A={xlax+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围.a>1.②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：当a=0时，方程化为2x+1=0,解得综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a=0或a≥1}.规律方法1.由集合A至多有一个子集，判定A=2或A是单元素集，这是解题的切入点和关键，此类问题忽视“空集”是常见的错误，对于集合中含有字母参数时，要注意运用分类讨论思想.2.若题目涉及不等式的解集，常利用数轴分析法将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.【训练2】已知集合A={xl-2≤x≤5},B={x|p+1≤x≤2p-1}.若BEA,求实数p的取值范围.(2)若B≠2,且BEA,则借助数轴可知.解得2≤p≤3.由(1)(2)知，实数p的取值范围是{plp≤3}.题型三集合的综合运算【例3】(2016·温州高一检测)已知集合A={x|0<2x+a≤3},(1)当a=1时，求([kB)UA.(2)若[;BE[kA,求实数a的取值范围.因为则当A=2时，所以0≥3不成立，所以A≠0,则所以a的取值范围是{al-1<a≤1}.【训练3】设集合A={x|x+m≥0},B={xl-2<x<4},全集U=R,且([A)∩B=0,求实数m的取值范围.1.若全集M={-1,0,1,2,3},N={x|x²=1,x∈Z},则[N=()C.{-1,1}解析因为M={-1,0,1,2,3},N={x|x=1,x∈Z}={-1,1},根据补集的定义，得答案BC.ABD.BA答案C3.图中的阴影部分表示的集合是()A.AN(CB)B.BN([;A)解析阴影部分的元素属于集合B而不属于集合A,故阴影部分可表示为BN([A).答案B解析由题可知[aM={x|x<-2或x>2},故([aM∩N={x|x<-2}.5.设U=R,A={xla≤x≤b},[A={x|x<3或x>4},则a+b=6.设集合A={xl-2<x≤m-3},B={x|3n+4<x≤2}.若A=B,求实数m,n的值.即实数m,n的值分别为5,-2.7.已知集合A={x|x-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且[xAC[xB,求实数a的取值集合.又[AClaB,所以BEA,所以有B=0,B={2},B={3}三种情形.时，有a=0.所以实数a的取值集合为{0,2,3}.8.已知集合A={x∈R|x<-1或x>4},B={x∈R|2a≤x≤a+3}.若AUB=A,求实数a的取值范围.①当B≠0时，结合数轴可或解得a<-4或2<a≤3;②当B=0时，2a>a+3,解得a>3.9.(2015·湖南长郡中学模块检测)已知S={x|x是平行四边形或梯形},A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形}.下列式子不成立的是()A.BNC={x|x是正方形}B.[₄B={x|x是邻边不相等的平行四边形}C.[sA={x|x是梯形}D.A=BUC解析根据平行四边形和梯形的概念知，选项D错误.答案D10.设M,P是两个非空集合，规定M-P={x|x∈M,且肆P,根据这一规定，M-(M-P等于()A.MB.PC.MUPD.MNP答案D11.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项.若参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为-----.解析设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人.∵(30-x)+x+(25-x)=50,∴x=5.故只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，仅参加一项的有45人.的子集有0,{1},{3},{1,3}.答案4(1)求A∩B;(2)若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}CA,求实数k的取值范围.解(1)因为B={x|-3≤x-1≤2}={x|-2≤x≤3},所以A∩B={x|1≤x≤3}.解得k≥1或故实数k的取值范围14.设全集U=R,A={x|3m-1<x<2m,B={xl-1<x<3}.①当A=⊗时，3m-1≥2m,即m≥1;或又mK1,综上，实数m的取值范围1.2函数及其表示1.2.1函数的概念目标定位1.理解函数的概念，理解构成函数的三要素.2.掌握区间的表示方法.3.能根据给定的函数解析式及自变量计算函数值，会求一些简单函数的定义域、值域.1.函数的有关概念函数的概念设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域温馨提示：如果函数的值域记为C,定义中集合B、C满足CCB.2.区间的概念及表示定义名称符号数轴表示闭区间aa开区间 半开半闭区间半开半闭区间 3.函数相等(1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系.()(2)对于一个函数y=f(x),在定义域内任取一个x值，至少有一个函数值与之对应.()(3)f(x)与f(a)的意思是不一样的.()(4)数集都能用区间表示.()提示(1)错，只有非空数集之间才能建立函数关系.(2)错，根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x,只有一个函数值与其对应.(3)对，f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，(4)错，区间是数集的一种表示方法，并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4},就不能用区间表示.2.函数的定义域是()A.x≠0B解析当x=0时，意义，∴函数的定义域为{x|x≠0}.答案C3.已知函数解析答案B4.集合{x|x>2}用区间表示为--_-----.类型一函数概念的理解②中x=1时，有y=±1与之对应，不表示函数.③中对任意x∈R,有唯一的y值对应，表示函数.④中，找不到x使根式有意义，不表示函数.(2)在四个曲线中，只有C中，每一个x值有唯一的y值与之对应.规律方法1.判断所给对应是否为函数的方法：①首先观察两个数集A,B是否非空；②其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，即不能没有数y对应数x,也不能有多于一个的数y对应x.2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤：①任取一条垂直于x轴的直线I;②在定义域内平行移动直线I;③若1与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】(1)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()A.x=y+1B.y=2x+1C.x-2y=6(2)下列函数中与函数y=x相等的是-----.不是函数.其余三个都可以表示为函数y=f(x).与函数y=x的对应关系相同且定义域也都相同，所以两函数相等.它的对应关系与函数y=x不相同，所以两函数不相等.类型二求函数的定义域【例2】(1)函数的定义域是-----_;(2)函数的定义域是-______解析(1)要使函数有意义，需满(2)要使函数有意义，必须满足|xl-x≠0,即|x|≠x,所以x<0.所以函数的定义域为规律方法1.求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为准则，其原则有：①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负；③对于y=x要求x≠0.④实际问题中函数定义域，要考虑实际意义.分都有意义的公共部分的集合.②函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示.(2)函数的定义域是--------解析(1)函数有意义，当且仅解得1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.(2)函数有意义，当且仅解得x>-1,且x≠1.x≠1}.类型三求函数值和值域(互动探究)【例3】已知;且x≠-1),g(x)=x+2(x∈R).(2)求f[g(2)]的值；(3)求f(x)、g(x)的值域.探究点一已知函数的表达式，如何求函数值?求f[g(a)]应遵循什么原则?提示求f(a)只需用a替换表达式中自变量x,即可求f(a)的值，求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则.探究点二对于有理分式函数且x≠-1)如何求值域?提示采用分离常数法，转化为“反比例函数”的形式求值域.易知f(x)的定义域为{x|x≠-1},∴f(x)≠1,所以函数f(x)的值域是(-0,g(x)=x+2的定义域是R,最小值为2,所以值域是[2,+0].规律方法1.①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则；③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.2.求函数的值域要根据函数的定义域，函数的具体形式及运算确定值域，主要方法有：①观察法：对于一些比较简单的函数，常用观察法.②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.便于求值域.【训练3】求下列函数的值域：∴y≠5,∴函数的值域是(yly≠5}.由图象可知，当u≥0时，∴函数的值域(3)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集体的数，因此用“”作为区间的端点时，要用开区间符号.1.下列各式中，函数的个数是()