3.3.2 抛物线的几何性质（七大题型）（原卷版）

3．3．2抛物线的几何性质课程标准学习目标能通过抛物线的方程推出它的简单几何性质，进一步体会数形结合思想.（1）掌握抛物线的几何性质.（2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点01抛物线的简单几何性质抛物线标准方程的几何性质范围：，，抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．对称性：关于x轴对称抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．顶点：坐标原点抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是．离心率：．抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，．抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．【即学即练1】（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（）A．焦点在y轴上B．焦点在x轴上C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为知识点02抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程顶点范围，，，，对称轴x轴y轴焦点离心率准线方程焦半径知识点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．【即学即练2】（多选题）（2023·广东佛山·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作的准线的垂线，垂足分别为、，则（

）A．B．若，则A的纵坐标为4C．若，则直线AB的斜率为D．以为直径的圆与直线AB相切于F知识点03焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为．1、抛物线，．2、抛物线，．3、抛物线，．4、抛物线，．【注意】【即学即练3】（2023·云南昭通·高二校考期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（

）A．-4 B． C． D．-32知识点04直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点．（2）直线的斜率存在．设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程（或）解的个数．①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点．②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．【即学即练4】（2023·全国·高二课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程.（2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合.知识点05直线与抛物线相交弦长问题1、弦长设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．（2），（3）直线的方程为．【即学即练5】（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（

）A． B．3 C． D．2【方法技巧与总结】1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为7、参数方程的参数方程为（参数）8、切线方程和切点弦方程抛物线的切线方程为，为切点切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：11、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上题型一：抛物线的几何性质例1．（多选题）（2023·山东聊城·高二校考期末）已知抛物线的焦点坐标为，斜率为2的直线与抛物线交于两点，则（

）A．抛物线的准线方程为B．若经过点，则线段的长为10.C．线段的中点在直线上D．以线段为直径的圆一定与轴相交例2．（多选题）（2023·高二校考课时练习）下列关于抛物线的说法正确的是（

）A．焦点在x轴上B．焦点到准线的距离等于10C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为例3．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（

）A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离变式1．（多选题）（2023·甘肃兰州·高二校考期末）关于抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴变式2．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（

）A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称C．当点在曲线上时，D．当点在曲线上时，点到直线的距离变式3．（多选题）（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（

）A． B．C． D．的坐标为题型二：直线与抛物线的位置关系例4．（2023·全国·高二随堂练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程．例6．（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知曲线C：y=x2-2x+3，直线l：x-y-4=0，在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最短，并求出最短距离.变式4．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.(1)求轨迹为的方程(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.变式5．（2023·高二课时练习）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？题型三：中点弦问题例7．（2023·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.例8．（2023·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．例9．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.变式6．（2023·高二单元测试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．变式7．（2023·高二课时练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．(1)求抛物线的方程；(2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．变式9．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程．变式10．（2023·四川乐山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.题型四：焦半径问题例10．（2023·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7例11．（2023·高二课时练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（

）A．4 B． C．8 D．例12．（2023·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（

）A． B． C． D．变式11．（2023·福建福州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（

）A． B． C． D．变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（

）A．4 B． C． D．变式13．（2023·全国·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式14．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式15．（2023·高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5变式16．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（

）A． B． C． D．变式17．（2023·河北邢台·高二统考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．12变式18．（2023·浙江宁波·高二统考期末）已知抛物线，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若的面积为，则（

）A．3 B． C．2 D．变式19．（2023·四川广安·高二广安二中校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（

）A． B．3 C．6 D．12题型五：弦长问题例13．（2023·全国·高二专题练习）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2例14．（2023·河南三门峡·高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．例15．（2023·云南昭通·高二校考期中）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（

）

A．2 B． C．5 D．变式20．（2023·广东广州·高二执信中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的所有公共点从左到右分别为点，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10变式21．（2023·高二课时练习）过抛物线的焦点F作倾斜角是的直线，交抛物线于A，B两点，则（

）A．8 B． C． D．16变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则（

）A．1 B． C．3 D．4变式23．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于、两点，且点到的距离为，则（

）A． B． C． D．变式24．（2023·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考期中）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（

）A．9 B．7 C．6 D．5变式25．（2023·高二课时练习）已知直线与拋物线交于A，B两点，若（为坐标原点）的面积为，则（

）A． B．1 C．2 D．变式26．（2023·云南昆明·高二校考阶段练习）已知抛物线，直线经过焦点交于两点，其中点的坐标为，则（

）A． B． C． D．题型六：定点定值问题例16．（2023·全国·高二课堂例题）过的直线与抛物线交于，两点，，则与的数量关系如何?并证明你的结论．例17．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．例18．（2023·宁夏银川·高二银川九中校考阶段练习）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程；(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.变式27．（2023·河南濮阳·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．变式28．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点．(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别于y轴交于M，N两点，且，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式29．（2023·高二课时练习）已知点在抛物线上.(1)求抛物线C的方程；(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.变式30．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线的方程.(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.变式31．（2023·高二课时练习）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．题型七：最值问题例19．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，(1)求的方程；(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．例20．（2023·湖南株洲·高二校考期末）已知抛物线C：（）与圆O：交于A，B两点，且，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点.(1)抛物线C的方程；(2)求的最小值.例21．（2023·高二课时练习）已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．变式32．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值.变式33．（2023·广东佛山·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．(1)求E的标准方程；(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为．（i）证明：直线过定点；（ii）求的最小值．变式34．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离为.(1)求；(2)设圆，点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，求的面积的最大值.变式35．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.(1)求抛物线的方程；(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.变式36．（2023·甘肃·统考一模）已知动圆过定点，且与直线相切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)过点且斜率为的两条直线分别交曲线于点，点分别是线段的中点，若，求点到直线的距离的最大值．一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（

）A． B． C．8 D．2．（2023·高二课时练习）已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A． B． C．8 D．23．（2023·高二课时练习）过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．（2023·高二课时练习）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．5．（2023·云南楚雄·高二校考阶段练习）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·高二课时练习）过抛物线：上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，若直线的斜率为2，直线，的斜率倒数之和为3，则（

）A． B．5 C． D．157．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．8．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（

）A． B．64 C． D．80二、多选题9．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（

）A．直线l的方程为B．原点到直线l的距离为C．D．以AB为直径的圆过原点10．（2023·高二课时练习）以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（

）A． B． C． D．11．（2023·高二课时练习）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（

）A． B．C．