2.3 二次函数与一元二次方程、不等式透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)

2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式【知识导学】一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数二二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系设，判别式，按照，，该函数图象(抛物线)与轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同.如下表所示：函数的图象方程的解有两相异实根有两相等实根无实根不等式的解集不等式的解集三：解一元二次不等式1.解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.规律与方法：穿针引线法①等价转化：将不等式化为的形式（各因式的系数化“+”）；②求根，比方设，并在数轴上将表示出来；③由数轴最右端的右上方出发，画出曲线依次经过表示各根的点；④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在轴下方的区间.四：分式不等式1.分式不等式的概念形如或（其中为整式，且），分子分母还未知数的不等式叫分式不等式，2.分式不等式的解法对这种分式不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而化繁为简.（1）整理：移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；（2）等价转化：转化为整式不等式；（3）穿针引线法：借助数轴，把对应整式的根从右上方起标出；（4）看不等号：大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域；（5）注意关键点.【考题透析】透析题组一：一元二次不等式的解法1．（2021·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）已知集合，，则（）A． B．C． D．2．（2021·贵州省思南中学高一期中）不等式的解集为（）A． B．C． D．3．（2021·全国高一课时练习）不等式－3x2＋7x－2<0的解集为（）A． B．或C． D．{x|x>2}透析题型二：分式不等式的解法4．（2021·江苏高一专题练习）不等式的解是（）A． B．C． D．5．（2021·四川）已知，，则（）A． B．C． D．6．（2021·全国高一专题练习）不等式的解集为（）A．或 B． C．或 D．透析题组三：含参数的一元二次不等式的解法7．（2021·全国）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A．或 B．C． D．或8．（2021·全国高一课时练习）若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为（）A． B．或C．或 D．9．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．透析题组四：由一元二次不等式来确定参数的范围10．（2021·全国高一课时练习）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．（2021·全国高一课时练习）已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．{a|a≠2}12．（2021·四川自贡·高一期末（理））已知不等式的解集为，则实数的值是（）．A． B． C．1 D．透析题组五：一元二次不等式恒成立问题13．（2021·昭通市昭阳区第二中学高一期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A．或 B．C．或 D．14．（2021·江西丰城九中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．15．（2021·全国高一课时练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．透析题组六：一元二次不等式的应用16．（2021·全国）某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）的关系为p=300-2x；生产x件的成本r=500+30x（元），为使月获利不少于8600元，则月产量x满足（）A．55≤x≤60 B．60≤x≤65 C．65≤x≤70 D．70≤x≤7517．（2021·全国高一专题练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（）A． B．C． D．18．（2021·全国高一专题练习）一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为A． B．C． D．【考点同练】一、单选题19．（2020·铜山启星中学高一月考）不等式的解集是（）A．或 B．或C． D．20．（2020·山东高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（）A． B． C． D．21．（2020·南京市燕子矶中学高一月考）不等式的解集可能是（）A．或 B．RC． D．22．（2020·浙江省淳安县汾口中学高一月考）若关于的不等式的解集为，则实数的值为（）A．2 B．3C．5 D．823．（2021·四川成都·高二开学考试（文））已知关于的不等式的解集为，则的值为（）A． B． C． D．或24．（2021·全国高一课时练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A． B．C．或 D．25．（2020·上海闵行·古美高中高一期中）关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件26．（2020·江苏省震泽中学）已知不等式的解集是，则不等式的解集为（）A． B． C． D．27．（2021·全国高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（）A． B．C． D．28．（2021·全国高一单元测试）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．，， C． D．二、多选题29．（2021·浙江高一单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．30．（2020·淮北市树人高级中学高一期中）不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是（）A．或 B．RC． D．∅31．（2021·全国高一专题练习）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以为（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0}C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1}32．（2021·全国高一专题练习）下列结论错误的是（）A．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为RB．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C．若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-D．不等式>1的解集为x<133．（2021·全国高一课时练习）已知集合有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则三、填空题34．（2021·山东高二期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______；35．（2022·全国高三专题练习）已知命题p：∃x∈R，（m+1）（x2+1）≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为___________.36．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）不等式的解集是____________.37．（2021·重庆复旦中学高一开学考试）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．38．（2019·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一月考）关于的不等式：的解集为R，则实数的取值范围是________.39．（2020·江苏吴江中学）关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．四、解答题40．（2021·全国高三专题练习（文））已知二次函数.若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.41．（2020·浙江省淳安县汾口中学高一月考）（1）解关于的不等式.（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.42．（2021·池州市江南中学高一期末）已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，成立，求实数的取值范围.43．（2020·江苏高一期中）某单位在对一个长800m、宽600m的草坪进行绿化时，是这样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少?当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小?44．（2021·云南砚山县第三高级中学）已知函数.（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围.45．（2020·江苏高一月考）设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式：【答案精讲】1．C【详解】，所以.故选：C.2．A【详解】，即，解得：，解得：.故选：A3．B【详解】解析不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2>0，即，解得或故选：B．4．C【详解】解：∵，∴，∴，即，等价于，解得：，故不等式的解集是，故选：C.5．D【详解】，或，所以或，故选：D.6．D【详解】不等式等价于，即，且，解得，故不等式的解集为，故选：D．7．A【详解】因为不等式的解集是，所以，，所以关于的不等式，即，即，解得或，故不等式的解集是或.故选：A.8．D【详解】∵0<m<1，∴>1>m，故原不等式的解集为，故选：D．9．C【详解】一元二次不等式的解集为，所以，是方程的两个根，所以，，即，，则，可知其解集为，故选：C．10．B【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根，则，解得，则，由得，当时，，故.故选：B.11．C【详解】若a2-4=0，则a=±2.当a=2时，不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0，其解集为空集，因此a=2满足题意;当a=-2时，不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0，即x≤-，其解集不为空集，因此a=-2不满足题意，应舍去.若a2-4≠0，则a≠±2.因为关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集，所以解得<a<2.综上，a的取值范围是.故选C.12．C【详解】解：因为，即，即不等式的解集为，所以，且，所以.故选：C.13．B【详解】关于的一元二次不等式的解集为，所以，解得，故选：B.14．B【详解】解：关于的不等式在内有解，等价于在内，令，因为抛物线的对称轴为，所以当时，取最大值，所以，故选：B15．B【详解】不等式对任意的恒成立，转化为不等式对任意的恒成立，记，其图像开口向上，对称轴为，当时，该函数单调递增，要想在时恒成立，只需，故选：B.16．C【详解】由题意可得，即，则，故，故选：C17．B【详解】由题意可得，，整理可得解得故选：B18．D【详解】设日利润为元，则，由，解得，即的取值范围为.故选D．19．B【详解】即，解得或故选：B20．A【详解】结合图像易知，不等式的解集，故选：A.21．A【详解】对于A：当m=3时，不等式为，解得：或，即解集为或.故A正确；记.因为m>0,所以图像开口向上，对于B：由，所以不等式的解集不可能是R.故B错误；对于C：图像开口向上，所以不等式的解集可能表示为两根之外，不可能为两根之间.故选项C错误；对于D：图像开口向上，所以不等式的解集不可能为，故选项D错误；故选：A22．A【详解】由得，即，因为关于的不等式的解集为，所以.故选：A.23．B【详解】由题设，的解集为，∴，当，则，此时，即，有，当，无解，当，则，此时，无解，综上，.故选：B24．A【详解】因为关于的不等式在上有解，即在上有解，只需的图象与轴有公共点，所以，即，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选：A.25．D【详解】由，若异号，则一元二次不等式与的解集不同，则“”不是“”的充分条件，反之当，如和，此时不成立，则“”不是“”的必要条件，故“”是“”既不充分也不必要条件，故选：D26．A【详解】∵不等式的解集为，∴，即，∴不等式变形得：x2x+1＞0，即，整理得：，即，解得：，则的解集为．故选：A．27．C【详解】结合题意易知，，即，解得，因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是，故选：C.28．C【详解】解：对一切恒成立，等价于，对一切实数恒成立，当时不合题意，所以，则，解得：.所以实数的取值范围是.故选：.29．AC【详解】关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；方程的两根为、，由韦达定理得，解得.对于B，，由于，所以，所以不等式的解集为，故B不正确；对于C，由的分析过程可知，所以或，所以不等式的解集为或，故C正确；对于D，，故D不正确.故选：AC.30．BCD【详解】解：不等式中，，，关于的不等式对应的方程有两个不等的实数根，不妨设为，，且；关于的不等式的解集为或；故该不等式的解集可能是A，不可能是BCD.故选：BCD.31．BC【详解】因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，所以方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和2，且a＜0，由根与系数的关系知，，解得b＝﹣a，c＝﹣2a，所以不等式ax2+(b﹣2a)x+a﹣b+c＜0可化为ax2﹣3ax＜0，且a＜0，化简得x2﹣3x＞0，解得x＜0或x＞3，所以x的取值范围是{x|x＜0或x＞3}．故选：BC．32．ABD【详解】A选项中，只有a>0时才成立；B选项当a=b=0，c≤0时也成立；C选项x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则，得a≤-，正确；D选项>1的解集为．故选：ABD33．AB【详解】解：由题意，方程有且只有一个根，所以，即，对A：等价于，显然，所以A选项正确；对B：，故B选项正确；对C：因为不等式的解集为，所以，所以C选项错误；对D：因为不等式的解集为，且，则方程的两根为，所以，所以，故D选项错误.故选：AB.34．【详解】∵关于的不等式的解集是，∴的两根为1，2.∴,解得，∴为，即，即，解得,故答案为：.35．或【详解】当p∧q为真命题时，p与q都是真命题，由p是真命题得：，解得；由q是真命题得：，解得，因此，当p∧q为假命题时，或故答案为：或.36．【详解】原不等式等价于，解得：或，故答案为：.37．【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得，解得.故答案为：38．【详解】当时，不等式化为恒成立，满足题意；当时，要使解集为，则满足，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.39．【详解】关于x的不等式可化为，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，当时，不等式化为，此时无解，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，综上，实数a的取值范围是.故答案为：.40．.【详解】因为的解集为，所以，对恒成立,由二次函数知