3.3幂函数 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

3.3幂函数一、幂函数（powerfunction）：函数（是自变量，是常数）二、幂函数的性质对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.和共同性质：图像都过点（1,1）不同性质：α为奇数时幂函数为奇函数；α为偶数时幂函数为偶函数。

课后练习（2021·安阳模拟）已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16)，若a=f(log42)，b=f(ln2)，c=f(A.

a>c>b

B.

a>b>c

C.

b>a>c

D.

b>c>a（2019高一上·盘山期中）已知函数f(x)=(m2−A.

3

B.

2

C.

−1D.

−若幂函数y=mA.

m=−2

B.

C.

m=−2或m=（2017高一上·乌鲁木齐期中）幂函数y=f(x)的图象经过点(−2,−18A.

13

B.

−13C.

3

D.

−3（2020高一上·宝安期末）幂函数f(x)=xm2−5m+4(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，则m=（2020高一上·江西月考）已知幂函数y=xa，当x=2时，y=8，那么a的值为（2018高二下·无锡月考）已知幂函数f(x)的图像过点(12，22)，则f(4)＝（2020高一上·上海月考）幂函数f(x)=xa的图像经过点(2,12)（2020高一上·晋州月考）已知幂函数f(x)的图象经过点A(4（1）求f(x)的解析式；（2）若f(3a−（2019高一上·海林期中）已知幂函数y=f(x)的图象过点(2求（1）f(x)解析式；（2）f(3)的值.（2020高一上·清远期末）已知幂函数y=f(x)的图象经过点P(5,25).（1）求f(x)的解析式；（2）用定义法证明函数g(x)=f(x)+4x在区间

练习答案1.【答案】C【考点】对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点，幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由2f(2)=f(16)可得2⋅2α=2∴α=13，即f(x)=x13而由换底公式可得log42=log22∵1<log2e<2，∴log又∵15<12，∴5−12<log故答案为：C.【分析】根据题意求出幂函数f(x)的解析式，判断f(x)是定义域上的单调增函数，再比较出a、b、c的大小，即可得出结论.2.【答案】B【考点】偶函数，幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意，函数f(x)=(m2−m−解得m=−1或当m=−1时，函数f(x)=x−1当m=2时，函数f(x)=x2，此时f(−综上，可得m=2.故答案为：B.【分析】由函数f(x)=(m2−m−3.【答案】A【考点】幂函数图象及其与指数的关系，幂函数的性质【解析】因为幂函数图像不过原点，故

当时，则，显然过原点，不符合题意舍去。

当，图像不过原点,且关于原点对称,故符合题意，选A.

【分析】解决该试题的关键是准确运用幂函数的定义，保证x的系数为1，得到m的值，进而分类讨论得到参数m的值。4.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数y=∵函数的图象经过点(∴−∴a=∴幂函数的解析式为y=∵f(x)=27∴x∴x=故答案为：A【分析】根据幂函数上的一点可得出f(x)的具体公式，再代入函数值，就可解出自变量。5.【答案】m=2或3；4【考点】函数奇偶性的性质，函数的值，幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象【解析】∵f(x)区间(0,+∞)上单调递减，∴m2∵m∈Z⇒m=2当m=2或3时，都有m2∴f(x)=x−2，∴故答案为：m=2或3;4.【分析】根据题意由幂函数的解析式以及函数的单调性，即可求出关于m的不等式求解出m的取值范围，由此计算出m的取值，代入验证由此得到函数的解析式，再把数值代入计算出函数的值即可。6.【答案】3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】因为幂函数y=xa，当x=2时，y=8，所以8=2故答案为：3.

【分析】根据题意把数值代入幂函数的解析式计算出a的值即可。7.【答案】2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数y=f(x)=xa∵图像过点(1∴(1【分析】采用待定系数法，设出幂函数的表达式，将点的坐标代入，即可求出幂函数的表达式，将x=4代入即可.8.【答案】13【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】幂函数f(x)=xa的图像经过点代入可得1解得a=所以幂函数解析式为f(x)=则f(3)=故答案为:13

【分析】根据幂函数所过的点，代入可求得幂函数解析式，即可求得f(3)9.【答案】（1）解：设f(x)=xa．因为f(x)的图象经过点A(4,2故f(x)=x12=x

因为f(3a−2)>f(故a的取值范围为[6【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象，幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】（1）利用幂函数f(x)的图象经过点A(4,2)结合代入法，从而求出函数的解析式。10.【答案】（1）解：设幂函数y=f(x)=xn,因为该函数图像经过点(2,4),所以f(2)=2n=4,解得n=4,则函数解析式为【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的值，幂函数的图象【解析】(1)设幂函数y=f(x)=xn,由函数过定点代入可求得参数n,进而求得函数解析式;(2)利用(1)中求的函数解析式,令x=3,即可求得11.【答案】（1）解：设f(x)=xα，则5α所以f(x)=x2

（2）证明：由（1）可得任取x1,xg(x=(x=(x因为2<x1<x2，所以x所以g(x1