3.4.2 求距离 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版(2020)选择性必修第一册

学生版第3章空间向量及其应用3.4空间向量在立体几何中的应用3.4.2求距离本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升；因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、掌握向量长度计算公式．(重点)2、会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．(重点、难点)1、逻辑推理：空间距离的求解；2、数学运算：空间距离的求解；【自主学习】问题导学：预习教材P109－P111的内容，思考以下问题：1、平面、空间的距离概念及其等价；2、利用向量求点到平面的距离的方法与公式；【知识梳理】1、距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离；2、点到平面的距离（1）连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，最短；（2）一点到它在一个平面内的距离，叫做点到这个平面的距离；3、直线与它的平行平面的距离（1）如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等；（2）一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离；4、两个平行平面的距离（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段；（2）两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离；5、点到直线的距离及其求法图示计算公式点到直线的距离(是l的单位方向向量)利用向量求点到直线l的距离步骤：（1）找到直线l的方向向量，并求；（2）在直线l上任取一点；（3）计算点到点的距离；（4）计算在向量上的投影；（或）；（5）计算点到直线l的距离；6、点到平面的距离及其求法图示计算公式点到平面的距离是的单位向量（称为平面的单位法向量）利用向量求点到平面的距离步骤：（1）找到平面的法向量；（2）在平面内任取一点；（3）计算在向量上的投影·n0；（4）计算点到平面的距离；【思考】1、线面距、面面距与点面距有什么关系？【提示】如图，P是平面α外一点，PO⊥α于O，PA，PB是α的两条斜线段.eq\o(PA,\s\up8(→))与eq\o(PB,\s\up8(→))在eq\o(PO,\s\up8(→))上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？【提示】．【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）①平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量eq\o(AB,\s\up8(→))的长度；（）②直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离；（）③若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离；（）④可以用：|eq\o(AB,\s\up8(→))|2=eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))，求空间两点A、B的距离；（）⑤设是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为； ()【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题主要考查各种距离的几何特征与对应向量的运算；2、已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(2)3、已知平面α的一个法向量＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为4、已知直线AB∥平面α，平面α的法向量＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．【题型探究】题型一、利用向量求空间两点间的距离例1、如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小？【说明】计算两点间的距离的两种方法（1）利用，通过向量运算求||，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up15(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→))))求解．（2）用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．题型二、利用向量求点到直线的距离例2、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离：（1）直线AC；（2）直线BD..【说明】1、本题(1)利用基本定义直接求解距离．2、点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图．题型三、利用向量求点到平面的距离例3、如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a；求点A到平面A1BD的距离；【说明】用向量法求点面距的方法与步骤1、建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；2、求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量eq\o(AB,\s\up15(→))；3、求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；4、得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)求得答案.提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量；题型四、利用向量求线面距离与面面距离例4、已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A．eq\r(2)aB．eq\r(3)aC．eq\f(\r(2),3)aD．eq\f(\r(3),3)a【说明】1、求直线与平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡；2、求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离；【素养提升】1、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：（1）不必找点在直线上的垂足以及垂线段；（2）在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；（3）直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性；2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：（1）不必找点在直线上的垂足以及垂线段；（2）在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；（3）直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性.【理解】1、如何理解与认识点到直线的距离？[提示]点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．2、如何用向量法求点到直线的距离？[提示]设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量eq\o(PA,\s\up15(→))在向量s上的射影的大小为|eq\o(PA,\s\up15(→))·s0|，则点A到直线l的距离d＝eq\r(\o(|\o(PA,\s\up15(→))|2－|\o(PA,\s\up15(→))·s0|2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中s0＝\f(s,|s|))).3、线面距离与面面距离的求法1、求直线与平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡；2、求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离；【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A．eq\f(6\r(5),5)B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)2、已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up15(→))，则点P到AB的距离为()A．eq\f(5,6)B．eq\f(\r(181),12)C．eq\f(10\r(30),6)D．eq\f(\r(5),6)3、已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为4、已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．5、如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．B级：“四能”提升训练6、如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(5),3)7、已知平面α的一个法向量＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为eq\f(10,3)，则x＝8、如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．9、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离；10、如图所示，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．【教师版】第3章空间向量及其应用3.4空间向量在立体几何中的应用3.4.2求距离本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升；因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、掌握向量长度计算公式．(重点)2、会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．(重点、难点)1、逻辑推理：空间距离的求解；2、数学运算：空间距离的求解；【自主学习】问题导学：预习教材P109－P111的内容，思考以下问题：1、平面、空间的距离概念及其等价；2、利用向量求点到平面的距离的方法与公式；【知识梳理】1、距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离；2、点到平面的距离（1）连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短；（2）一点到它在一个平面内投影的距离，叫做点到这个平面的距离；3、直线与它的平行平面的距离（1）如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等；（2）一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离；4、两个平行平面的距离（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段；（2）两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离；5、点到直线的距离及其求法图示计算公式点到直线的距离(是l的单位方向向量)利用向量求点到直线l的距离步骤：（1）找到直线l的方向向量，并求；（2）在直线l上任取一点；（3）计算点到点的距离；（4）计算在向量上的投影；（或）；（5）计算点到直线l的距离；6、点到平面的距离及其求法图示计算公式点到平面的距离是的单位向量（称为平面的单位法向量）利用向量求点到平面的距离步骤：（1）找到平面的法向量；（2）在平面内任取一点；（3）计算在向量上的投影·n0；（4）计算点到平面的距离；【思考】1、线面距、面面距与点面距有什么关系？【提示】都可以等价转化为点到平面的距离；如图，P是平面α外一点，PO⊥α于O，PA，PB是α的两条斜线段.eq\o(PA,\s\up8(→))与eq\o(PB,\s\up8(→))在eq\o(PO,\s\up8(→))上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？【提示】相等，都等于|eq\o(PO,\s\up8(→))|，即P到平面α的距离．【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）①平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量eq\o(AB,\s\up8(→))的长度；（）②直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离；（）③若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离；（）④可以用：|eq\o(AB,\s\up8(→))|2=eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))，求空间两点A、B的距离；（）⑤设是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为； ()【提示】理解距离的概念分类与向量的关联；【答案】①×；②√；③√；④√；⑤√；【解析】对于①，应该是点A到平面α的垂线段的长度，所以，①是假命题； ()对于②，由线面平行性质定理可以证明②是真命题；对于③，由面面平行性质定理可以证明③是真命题；|eq\o(AB,\s\up8(→))|2=eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))对于④，由向量模的定义，④是真命题；对于⑤，由向量运算，⑤是真命题【说明】本题主要考查各种距离的几何特征与对应向量的运算；2、已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(2)【答案】A；【解析】eq\o(PA,\s\up8(→))＝(－2，0，－1)，|eq\o(PA,\s\up8(→))|＝eq\r(5)，eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\f(n,|n|)＝eq\f(－1,\r(2))，则点P到直线l的距离d＝eq\r(|\o(PA,\s\up8(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up8(→))·\f(n,|n|)))\s\up16(2))＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)；3、已知平面α的一个法向量＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为【答案】eq\f(10,3)；【解析】∵A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，－2，4)，∵n＝(－2，－2，1)，∴n0＝eq\f(n,|n|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)，\f(1,3)))，∴d＝|eq\o(AP,\s\up8(→))·n0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（－1）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋（－2）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋4×\f(1,3)))＝eq\f(10,3)；4、已知直线AB∥平面α，平面α的法向量＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．【答案】eq\f(\r(2),2)；【解析】eq\o(CA,\s\up8(→))＝(1，2，0)，直线AB到平面α的距离d＝|eq\o(CA,\s\up8(→))·n0|＝eq\f(\r(2),2)；【题型探究】题型一、利用向量求空间两点间的距离例1、如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小？【提示】建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解；【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)．因为CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，且四边形ABCD，ABEF为正方形，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，所以eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a－1))，所以|eq\o(MN,\s\up15(→))|＝eq\r(a2－\r(2)a＋1).（2）由(1)知MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))，所以，当a＝eq\f(\r(2),2)时，MN＝eq\f(\r(2),2).即当a＝eq\f(\r(2),2)时，MN的长最小，最小值为eq\f(\r(2),2)；【说明】计算两点间的距离的两种方法（1）利用，通过向量运算求||，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up15(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→))))求解．（2）用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．题型二、利用向量求点到直线的距离例2、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离：（1）直线AC；（2）直线BD.【提示】注意点到直线距离的几何特征与对应向量的表示；【解析】（1）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC，所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离．（2）如图建立空间直角坐标系，则有B(4，3，0)，A1(4，0，5)．eq\o(DB,\s\up8(→))＝(4，3，0)，eq\o(DA1,\s\up8(→))＝(4，0，5)，eq\f(\o(DA1,\s\up8(→))·\o(DB,\s\up8(→)),|\o(DB,\s\up8(→))|)＝eq\f(16,5)，设点A1到直线BD的距离为d，所以，d＝eq\r(|\o(DA1,\s\up8(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA1,\s\up8(→))·\o(DB,\s\up8(→)),|\o(DB,\s\up8(→))|)))\s\up16(2))＝eq\r(41－\f(256,25))＝eq\f(\r(769),5).【说明】1、本题(1)利用基本定义直接求解距离．2、点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图．题型三、利用向量求点到平面的距离例3、如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a；求点A到平面A1BD的距离；【提示】本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解；【解析】方法1、设点A到平面A1BD的距离为h，则VB­AA1D＝eq\f(1,3)×a×eq\f(1,2)×a×a＝eq\f(1,6)a3，VA­A1BD＝eq\f(1,3)×h×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝eq\f(\r(3),6)a2h，∵VA­A1BD＝VB­AA1D，∴h＝eq\f(\r(3),3)a，∴点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r(3),3)a.方法2、如图所示，建立空间直角坐标系B1xyz，则A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，则eq\o(BD,\s\up15(→))＝(a，a,0)，eq\o(A1D,\s\up15(→))＝(0，a，a)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－a,0,0)．设平面A1BD的一个法向量＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up15(→))＝0，,n·\o(A1D,\s\up15(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,ay＋az＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋z＝0.))令y＝－1，则x＝z＝1，∴n＝(1，－1,1)．∴eq\o(AB,\s\up15(→))·n＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a.∴点A到平面A1BD的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－a|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.【说明】用向量法求点面距的方法与步骤1、建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；2、求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量eq\o(AB,\s\up15(→))；3、求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；4、得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)求得答案.提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量；题型四、利用向量求线面距离与面面距离例4、已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A．eq\r(2)aB．eq\r(3)aC．eq\f(\r(2),3)aD．eq\f(\r(3),3)a【提示】注意面面距离与点面距离的转化【答案】D【解析】由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，eq\o(CA1,\s\up15(→))＝(a，－a，a)，eq\o(BA,\s\up15(→))＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝|eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(a,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.；【说明】1、求直线与平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡；2、求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离；【素养提升】1、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：（1）不必找点在直线上的垂足以及垂线段；（2）在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；（3）直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性；2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：（1）不必找点在直线上的垂足以及垂线段；（2）在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；（3）直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性.【理解】1、如何理解与认识点到直线的距离？[提示]点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．2、如何用向量法求点到直线的距离？[提示]设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量eq\o(PA,\s\up15(→))在向量s上的射影的大小为|eq\o(PA,\s\up15(→))·s0|，则点A到直线l的距离d＝eq\r(\o(|\o(PA,\s\up15(→))|2－|\o(PA,\s\up15(→))·s0|2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中s0＝\f(s,|s|))).3、线面距离与面面距离的求法1、求直线与平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡；2、求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离；【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A．eq\f(6\r(5),5)B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)【答案】B；【解析】如图所示，eq\o(BA,\s\up8(→))＝(2，0，0)，eq\o(BE,\s\up8(→))＝(1，0，2)，eq\f(\o(BA,\s\up8(→))·\o(BE,\s\up8(→)),|\o(BE,\s\up8(→))|)＝eq\f(2\r(5),5)A到直线BE的距离d＝eq\r(|\o(BA,\s\up8(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up8(→))·\o(BE,\s\up8(→)),|\o(BE,\s\up8(→))|)))\s\up16(2))＝eq\r(4－\f(4,5))＝eq\f(4\r(5),5).]2、已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up15(→))，则点P到AB的距离为()A．eq\f(5,6)B．eq\f(\r(181),12)C．eq\f(10\r(30),6)D．eq\f(\r(5),6)【答案】A；【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)(1,0,0)＋eq\f(1,2)(0,1,0)＋eq\f(2,3)(0,0,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).又eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(AP,\s\up15(→))在eq\o(AB,\s\up15(→))上的投影为eq\f(\o(AP,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→)),|\o(AB,\s\up15(→))|)＝eq\f(3,4)，∴点P到AB的距离为eq\r(\o(|\o(AP,\s\up15(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→)),|\o(AB,\s\up15(→))|)))2))＝eq\f(5,6).]3、已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为【答案】eq\f(3\r(2),2)；【解析】eq\o(PA,\s\up15(→))＝(－2,0，－1)，|eq\o(PA,\s\up15(→))|＝eq\r(5)，eq\f(|\o(PA,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(2),2)，则点P到直线l的距离d＝eq\r(\o(|\o(PA,\s\up15(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up15(→))·n,|n|)))2))＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)；4、已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．【答案】2eq\r(6)；【解析】设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up15(→))＝c，易得eq\o(AC1,\s\up15(→))＝a＋b＋c，则|eq\o(AC1,\s\up15(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up15(→))·eq\o(AC1,\s\up15(→))＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|eq\o(AC1,\s\up15(→))|＝2eq\r(6)；5、如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．【答案】eq\f(\r(21),7)；【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0,0,1)，则eq\o(C1A,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(C1B1,\s\up15(→))＝(0,1,0)，eq\o(C1B,\s\up15(→))＝(0,1，－1)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(C1A,\s\up15(→))·n＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－1＝0，,\o(C1B,\s\up15(→))·n＝y－1＝0，))解得＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，1))，则所求距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(C1B1,\s\up15(→))·n,|n|)))＝eq\f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq\f(\r(21),7)；B级：“四能”提升训练6、如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(5),3)【答案】C；【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，则PQ＝eq\r(1－μ2＋μ－λ2＋4λ2)＝eq\r(2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,5)μ))2＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))2＋\f(4,9))，当且仅当λ＝eq\f(1,9)，μ＝eq\f(5,9)时，线段PQ的长度取得最小值eq\f(2,3).]7、已知平面α的一个法向量＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为eq\f(10,3)，则x＝【答案】－1或－11；【解析】eq\o(PA,\s\up15(→))＝(x＋2,2，－4)，而d＝eq\b\