1.5 全称量词与存在量词 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

1.5全称量词与存在量词一、全称量词1.（universalquantifier）：所有的、任意一个，用表示2.含有全称量词的命题叫做全称量词命题（universalproposition），3.全称量词的否定是存在量词：二、存在量词1.（existentialquantifier）：存在一个、至少有一个，用表示2.含有存在量词的命题叫做存在量词命题（existentialproposition），记为3.存在量词的否定是全称量词：思考1全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？思考2“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．思考3用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？思考4对省略量词的命题怎样否定？

考点一：全称量词的判断例1(2020·全国高一课时练习)下列命题含有全称量词的是()A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数1.1(2019·全国高一课时练习)下列命题中，全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二(1)班绝大多数同学是团员．A．0 B．1 C．2 D．3考点二：存在量词的判断例2(2019·鱼台县第一中学高一月考)下列语句是存在量词命题的是()A．整数n是2和5的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除C．若,则 D．2.1(2020·全国高一课时练习)下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3考点三：全称量词命题和存在量词命题真假的判断例3(2020·全国高一课时练习)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)函数图象恒过原点.3.1(2020·浙江高一课时练习)下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数，使C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数，使3．2(2020·全国高一)用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；(3)存在整数x，y，使得；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.考点四：命题的否定例4(2020·全国高一课时练习)设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是()A．， B．，C．， D．，4.1(2020·全国高一课时练习)下列命题的否定为假命题的是()A．， B．，C．， D．，4.2(2020·全国高一课时练习)用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假.(1)对所有实数a，b，方程恰有一个解；(2)一定有整数x，y，使得成立；(3)所有的有理数x都能使是有理数考点五：命题求参数例5．(2020·浙江高一课时练习)若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是().A． B． C． D．5.1(2020·全国高一课时练习)命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是()A． B． C． D．5.2(2020·江西省都昌县第一中学高二期中(文))已知命题：，，命题：，恒成立.若为假命题，则实数的取值范围为()A． B．或C．或 D．

课后练习（2020高二下·双流月考）命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（

）A.

所有奇数的立方不是奇数

B.

不存在一个奇数，它的立方是偶数

C.

存在一个奇数，它的立方是偶数

D.

不存在一个奇数，它的立方是奇数（2020高三上·北京月考）命题“∀x≥0,A.

∀x<0,sinx>1

B.

∀C.

∃x<0,sinx>1

命题“对任意的x∈R,xA.

不存在x∈R,xB.

存在x∈R,x3−xD.

对任意的x∈R,（2020高二下·开鲁期中）命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（

）A.

假设至少有一个钝角

B.

假设至少有两个钝角

C.

假设三角形的三个内角中没有一个钝角

D.

假设没有一个钝角或至少有两个钝角（2017·怀化模拟）若命题p：“∀x∈（﹣∞，0），x2≥0”，则￢p为

．（2020高一上·镇江月考）命题P：“∀x∈R,x2（2017高二下·南昌期末）已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x+2x•m+1=0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是

．（2017高一上·上海期中）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是

．（2021高三上·安徽月考）命题“∀x>1，x2+x（2021高三上·泗县开学考）已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2−a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x（2020高一上·云南月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.（Ⅰ）末尾数是偶数的数能被4整除；（Ⅱ）方程x2判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假.（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）p:∀（5）.p:精讲答案思考1答案元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”．思考2答案是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．思考3答案不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．思考4对省略量词的命题怎样否定？答案对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．例1【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.1.1【答案】C【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题②可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题③为存在量词命题④可改写为“高二(1)班有的同学不是团员”，为存在量词命题全称量词命题为：①②本题正确选项：例2【答案】B【解析】对于A，无特称量词．对于B，命题：存在整数n，使n能被11整除，含有特称量词”存在”,故B是特称命题．对于C，无特称量词．对于D，无特称量词．故选：B．2.1【答案】B【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B.例3【答案】见解析【解析】(1)即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题.3.1【答案】B【解析】选项A，C中的命题是全称命题,选项D中的命题是特称命题，但是假命题．只有B既是特称命题又是真命题,选B.3．2【答案】(1).真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；(3)假命题；(4)，真命题.【解析】(1)，是真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；(3)假命题,因为必为偶数；(4).真命题,例如.例4【答案】A【解析】“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A.4.1【答案】D【解析】对A，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由得，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A错误；对B，，，故B为假命题，其否定为真命题，故B错误；对C，，故C为假命题，其否定为真命题，故C错误；对D，存在或，使，故D为真命题，从而D的否定是假命题，故D正确.故选：D.4.2【答案】(1)，恰有一个解；假命题.(2)，；真命题.(3)，是有理数；真命题.【解析】(1)，恰有一个解；假命题.(2)，；真命题.(3)，是有理数；真命题.例5【答案】B【解析】命题“”是真命题，则需满足，解得或.故选：B.5.1【答案】C【解析】由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正确选项为C.5.2【答案】B【解析】当命题为真时，，解得；当命题为真时，，解得，当命题与命题均为真时，则有.命题为假命题，则命题与命题至少有一个为假命题.所以此时或.故选：B.练习答案1.【答案】C【考点】命题的否定【解析】由于命题“所有奇数的立方是奇数”是一个全称命题，所以命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”.故选：C【分析】利用全称命题的否定解答即可.2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】因为全称命题的否定是特称命题，sinx≤1的否定是sin所以命题“∀x≥0,sin故答案为：D【分析】根据全称命题的否定是特称命题，sinx≤1的否定是sin3.【答案】C【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定是特称命题,只需将任意改为存在,并将结论否定,

的否定是,所以命题的否定为:存在，选C.

【分析】全称命题的否定是特称命题。4.【答案】B【考点】命题的否定，反证法【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故答案为：B．

【分析】由反证法结合命题的否定对选项逐一判断即可得出答案5.【答案】∃x0∈（﹣∞，0），x02＜0【考点】命题的否定【解析】解：命题是全称命题，则￢p为：“∃x0∈（﹣∞，0），x02＜0，故答案为：“∃x0∈（﹣∞，0），x02＜0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．6.【答案】∃x∈R,【考点】全称量词命题，命题的否定【解析】命题P：“∀x∈R,x2+2x−7.【答案】（﹣∞，﹣2]【考点】全称量词命题【解析】解：因为p为真命题，即方程4x+2x•m+1=0有实数解，∴﹣m=2x+12∴m≤﹣2，故m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【分析】先将命题p转化为方程4x+2x•m+1=0有实数解，再分离参数，利用基本不等式可得m的取值范围．8.【答案】若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0【考点】全称量词命题，命题的否定【解析】解：原命题为：“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”，否定它的条件和结论，得：否命题为：“若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0”，故答案为：若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．【分析】原命题：若P则q，否命题：若¬P则¬q.9.【答案】∃x0>1【考点】命题的否定【解析】命题“∀x>1，x2+x−1≥0故答案为：∃x0>1，x10.【答案】解：若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1,2]，∴若q为真命题，则方程x2∴Δ=4a2−4(2−a)≥0，即a≥1或a≤−2，由题意，p真【考点】复合命题的真假，全称量词命题，存在量词命题，命题的真假判断与应用【解析】根据复合命题的真假判断，结合全称量词命题与村长量词命题的真假判断，以及一元二次不等式恒成立的解法直接求解即可.11.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：该命题是全称量词命题，该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；该命题的否定是真命题.（Ⅱ）由题意可得：该命题是存在量词命题，该命题的否定是：方程x2该命题的否定是假命题.【考点】全称量词命题，命题的否定【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，直接求命题的否定，再进行判断真假即可.12