2.3 圆与圆的位置关系（七大题型）（解析版）

2.3圆与圆的位置关系课程标准学习目标（1）能将平面几何关于圆与圆位置关系的定性描述，转化为通过圆的方程判断圆与圆位置关系的定量刻画，给出通过圆的方程判断圆与圆位置关系的基本步骤，并能用于解决给定圆的方程判断位置关系的问题.（2）能通过具体实例归纳出坐标法解决圆与圆位置关系问题的基本步骤，并能用于解决简单的数学问题和实际问题.1、了解圆与圆的位置关系.2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点01圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【即学即练1】圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B【解析】由题意得圆的圆心为，半径为6，圆的圆心为，半径为1，则，故两圆内切，故选：B题型一：判断圆与圆的位置关系例1．（2023·新疆·高二校联考期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【答案】C【解析】圆的圆心与圆的圆心，所以两圆的圆心距为3，又圆的半径为1，圆的半径为2，且圆心距等于圆与圆的半径之和，所以圆与圆的位置关系为外切．故选：C.例2．（2023·江苏·高二假期作业）圆和圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交C．相切 D．内含【答案】D【解析】，，所以，，，则，所以两圆内含.故选：D.例3．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知圆，则两圆的位置关系为（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】B【解析】由圆的方程可得圆心，半径，圆的方程化为，得圆心，半径，则，所以两圆外切.故选：B．变式1．（2023·贵州毕节·高二统考阶段练习）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．相交 C．相切 D．内含【答案】D【解析】圆的圆心为原点，半径为1.圆的圆心为，半径为3，因为所以圆与圆的位置关系为内含.故选：D变式2．（2023·全国·高二专题练习）圆O：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】C【解析】圆是以为圆心，半径的圆，圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，则，=3，所以两圆外切，故选：.【方法技巧与总结】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可．题型二：求两圆的交点例4．（2023·全国·高二专题练习）圆与的交点坐标为.【答案】和【解析】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或，所以交点坐标为故答案为：和例5．（2023·高二课时练习）若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程．【解析】联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：.例6．（2023·全国·高二专题练习）求圆与圆的交点的坐标．【解析】由题设，，相减可得，所以，解得或，当时，；当时，；所以交点坐标为、.变式3．（2023·高二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，．【解析】，所以圆心为，半径为；，所以圆心为，半径为；所以两圆心间的距离为，且，因此，故两圆相外切；，解得，故切点为.【方法技巧与总结】直接联立两圆方程求交点．题型三：由圆的位置关系确定参数例7．（2023·全国·高二课堂例题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是．【答案】【解析】设，因为动点满足，所以，化简得．又动点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，解得．故答案为：例8．（2023·高二课时练习）已知与的方程分别为，若两圆相交，则的取值范围是．【答案】【解析】所以，即，所以．故答案为：

.例9．（2023·高二课时练习）若圆与圆内切，则的值是．【答案】1或25【解析】由，得，则圆心为，半径为，由，得，则圆心为，半径，因为圆与圆内切，所以，所以或，解得或，故答案为：25或1变式4．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知圆与圆相交于两点，且满足，则．【答案】【解析】根据题意，圆，则，则或，其圆心为，且的坐标为，即圆，根据表示的是圆，则恒成立，其圆心为，且的坐标为，即，两圆的相交于，两点，则的垂直平分线为，又由，满足，即，点也在直线上，则有，即，解可得，故答案为：.变式5．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）已知圆C：和点M，O为坐标原点，若圆C上存在点P满足，则r的最大值为．【答案】6【解析】设，由，得，整理得，即点在圆上，其圆心为，半径为，又点在圆上，圆心，半径为，因此圆与圆有公共点，即有，且，解得，所以的最大值为.故答案为：6变式6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆内切，则的最小值为【答案】2【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆内切，，可得，所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知圆心在原点的单位圆和圆外切，．【答案】16【解析】圆圆心为，半径为1，圆，圆心为，且，半径为，所以圆心距，因为两圆外切，所以，所以．故答案为：16变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为.（写出满足条件的一个即可）【答案】(答案不唯一)【解析】由题知，圆，即，圆心为，半径，设中点为，因，，则，，以为直径的圆为，因为圆上有且只有一点，使得，则圆与圆相切，又，即有或，解得或.故答案为：题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长例10．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在的直线方程为．【答案】【解析】联立，两式相减得.故答案为：例11．（2023·福建福州·高二福建省福州高级中学校考期中）圆：与圆：的公共弦长为.【答案】【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，圆的标准方程为，其圆心，半径；圆心到公共弦的距离所以公共弦长为.故答案为：例12．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则【答案】【解析】圆的方程为，即①，又圆：②，②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为圆的圆心到直线的距离，所以．故答案为:.变式9．（2023·上海·高二专题练习）已知圆与圆相交，则它们的公共弦所在的直线方程是．【答案】【解析】由题意，圆与圆相交，两圆的方程作差得，即公式弦所在直线方程为.故答案为：.变式10．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在直线方程为.【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，则两圆相交，故将两圆方程相减可得：，即，即圆与圆的公共弦所在直线方程为，故答案为：变式11．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为．【答案】【解析】联立两圆的方程得，两式相减并化简，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为．故答案为：.变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为.【答案】【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径若两圆相交，则，所以，即，又两圆相交弦所在直线方程为：即所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，则弦长，所以，则，所以，若存在，使得，则，即，所以的取值范围为.故答案为：.变式13．（2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）已知圆和圆，则圆与圆的公共弦的弦长．【答案】【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，满足两圆相交有公共弦，两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：，即，所以圆心到直线的距离，则公共弦长为.故答案为：.【方法技巧与总结】求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用．题型五：圆的公切线条数例13．（2023·江西景德镇·高二统考期中）圆与圆的公切线条数为（

）A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，，所以，，即圆与圆相交，故两圆的共有条公切线.故选：C.例14．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆的圆心坐标为，半径为5；圆的圆心坐标为，半径为3，所以两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.例15．（2023·安徽合肥·高二统考开学考试）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，即，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C.变式14．（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知圆：和圆：，则圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】两圆的标准方程分别为和，圆心分别为，，半径分别为，，圆心距，故，所以圆与圆外离，所以圆与圆有4条公切线.故选：D变式15．（2023·福建厦门·高二统考期末）已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆可化为，圆心为，半径为，圆可化为，圆心为，半径为，又与有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得，故选：C变式16．（2023·四川南充·高二统考期末）已知点，，若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的有（

）条A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为点A到直线l的距离为1，所以直线l为以为圆心，为半径的圆的切线，同理直线l还是以为圆心，为半径的圆的切线，即直线l为圆与圆的公切线，由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数，因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线有3条，即满足条件的直线有3条.故选：C.题型六：圆的公切线方程例16．（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）同时与圆和圆都相切的一条直线方程为．【答案】（或或，答案不唯一）【解析】的圆心为，半径为，的圆心为，半径为，故，所以圆与圆两圆外切，将两个圆的方程相减即得，这是内公切线方程．由于两圆的半径相等，故外公切线与直线平行，因为直线的方程为，即，设外公切线方程为，由，得或，即两条外公切线方程分别为和．故答案为：（或或，答案不唯一）例17．（2023·全国·高二专题练习）写出与圆和都相切的一条直线方程．【答案】或中任何一个答案均可【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，所以两圆外离，由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为，即，则有，解得或或或所以公切线方程为或.故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）例18．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程：.【答案】或【解析】圆圆心，半径，圆圆心，半径，由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为，如图所示，则，即，所以，解得，所以，设公切线l︰，所以圆心到切线l的距离，解得，所以公切线方程为，即或.故答案为：或变式17．（2023·全国·高二专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.【答案】或或（三条中任写一条即可）【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；与的距离为，所以两圆外切.过与的直线方程为.由图可知，直线是两圆的公切线，由解得，设，设两圆的一条公切线方程为，到直线的距离为，即，解得，所以两圆的一条公切线方程为，即.由两式相减并化简得，所以两圆的公切线方程为或或.故答案为：或或（三条中任写一条即可）变式18．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是.【答案】【解析】圆，即，圆心为，半径.圆，即，圆心为，半径.圆心角，所以两圆内切，由解得，所以两圆切点的坐标为，，所以公切线的斜率为，所以公切线的方程为，即故答案为：变式19．（2023·广东深圳·高二校考阶段练习）圆与圆的公切线方程为．【答案】【解析】圆，即，得,所以故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，由得所以切点为，故公切线方程为．故答案为：．题型七：圆系问题例19．（2023·高二课时练习）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为．【答案】【解析】由已知可设经过直线和圆的圆系方程为，又因为圆过点，所以，解得：，故所求圆的方程为．故答案为：.例20．（2023·高二课时练习）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是．【答案】【解析】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入，可得，所以所求圆的方程为．故答案为：.例21．（2023·江苏·高二专题练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是．【答案】【解析】根据题意得到：，化简得到答案.，，故，化简整理得到：，即.故答案为：.变式20．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为.【答案】【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为，化简得.故答案为：.变式21．（2023·高二校考课时练习）过两圆与的交点和点的圆的方程是.【答案】【解析】设所求圆的方程为：将代入得：所求圆的方程为：本题正确结果：变式22．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.【答案】【解析】可设圆的方程为,即,此时圆心坐标为,当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小，,解得,则所求圆的方程为，故答案为.变式23．（2023·江西九江·高一统考期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为【答案】【解析】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为；，又圆心在直线上，可得；解得.所以圆的方程为：.故答案为：.【方法技巧与总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：简记为：当时，简记为：（不含）（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系一、单选题1．（2023·高二单元测试）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】由化为标准方程为，即圆心，半径为，由知其圆心为，半径为2，而两圆外切则有：.因为圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值为1＋3＝4.如图所示：此时P、A两点重合.故选：C.2．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【解析】圆：的标准方程为，圆心为，半径为，圆：的标准方程为，圆心为，半径为，所以两圆圆心距为，所以，因此两圆的位置关系为相交.故选：C.3．（2023·江苏·高二假期作业）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.两圆圆心距为，由于两圆有公共点，所以，解得，所以.故选：D4．（2023·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，依题意可知，以原点为圆心，半径为的圆，与圆相交，，所以，即，所以.故选：C5．（2023·全国·高二专题练习）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【解析】当直线的斜率不存在时，直线满足与点距离为，且与点距离为，以点为圆心，为半径的圆的方程为，以点为圆心，为半径的圆的方程为，因为，则两圆相内切，故两圆的公切线有且仅有条，即，故在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有条.故选：A6．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为圆的圆心坐标为，半径为如图所示，两圆相离，有四条公切线.两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，设切线，则圆心到直线的距离，解得或，当时，切线方程为，A正确；当时，切线方程为，即，B正确；另两条切线与直线平行且相距为1，又由，设切线，则，解得，即切线方程分别为，；整理可得两切线方程为和，所以C正确，D不正确.故选：D.7．（2023·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知圆C的方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P做圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意可知，所以，所以最小时，最小，此时，的斜率为，所以此时直线的斜率为，也即此时直线的方程为，由解得，则，以为圆心，半径为的圆的方程为，即，与两式相减并化简得：.故选：A8．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦长的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由，得，圆心，半径；由，得，圆心，半径，所以两圆圆心均在直线上，半径分别为1和，如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.故选：D.二、多选题9．（2023·高二课时练习）圆与圆外切，则的值为（

）A． B． C．2 D．5【答案】AC【解析】圆的圆心为，半径长为3，圆的圆心为，半径长为2．依题意，即，解得或．故选：AC10．（2023·全国·高二专题练习）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（

）A．圆与圆有四条公切线B．的取值范围是C．是圆与圆的一条公切线D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得【答案】ABD【解析】对于选项A，由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，因为两圆圆心距，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，的最大值等于，最小值为，B正确；对于C选项，显然直线与直线平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线，设直线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C不正确；对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确，故选：ABD.11．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（

）

A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆与曲线W有8个交点，则C．与的公切线方程为D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4【答案】ACD【解析】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为，故A选项正确.当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误.设与的公切线方程为，由直线和圆相切的条件可得，解得，（舍去），则其公切线方程为，即，故C选项正确.同理可得，的公切线方程为，则两平行线的距离，故D选项正确.故选：ACD.12．（2023·全国·高二专题练习）点在圆：上，点在圆：上，则（

）A．的最小值为B．的最大值为C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆公共弦所在直线的方程为【答案】AC【解析】根据题意，圆：，其圆心，半径，圆：，即，其圆心，半径，则圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；的最小值为，最大值为，故A正确，B不正确；对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在直线斜率，故C正确，故选：AC.三、填空题13．（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）同时与圆和圆都相切的一条直线方程为．【答案】（或或，答案不唯一）【解析】的圆心为，半径为，的圆心为，半径为，故，所以圆与圆两圆外切，将两个圆的方程相减即得，这是内公切线方程．由于两圆的半径相等，故外公切线与直线平行，因为直线的方程为，即，设外公切线方程为，由，得或，即两条外公切线方程分别为和．故答案为：（或或，答案不唯一）14．（2023·云南保山·高二统考期中）若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为．【答案】【解析】由解得或，不妨设，所以.故答案为：15．（2023·全国·高二课堂例题）圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为．【答案】【解析】因为圆关于直线对称，所以直线过圆的圆心，得，故动点在直线上，设，因为，，所以四点共圆，该圆的圆心坐标为，半径为，所以该圆的方程为，即，又圆，所以两圆公共弦所在直线的方程为，所以直线过定点.故答案为：16．（2023·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为．①轨迹的方程为.②在轴上存在异于的两点，使得.③当三点不共线时，射线是的角平分线.④在上存在点，使得.以上说法正确的序号是．【答案】②③【解析】对于①，在平面直角坐标系中，，，点满足，设，则，化简得，即，所以①错误；对于②，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，设，，则，化简得，由轨迹的方程为，代入上式有，可得，，联立解得，或，（舍去），所以②正确；对于③，当，，三点不共线时，，可得射线是的角平分线，所以③正确；对于④，若在上存在点，使得，可设，则，化简得，与联立，得，解得，代入有，无实数解，则方程组无实数解，故不存在点，所以④错误．故答案为：②③．四、解答题17．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期末）已知圆与圆.(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程.【解析】（1）将圆：化为标准方程为，，，圆的圆心坐标为，半径为，，，两圆相交；（2）由圆与圆，将两圆方程相减，可得，即两圆公共弦所在直线的方程为.18．（2023·全国·高二专题练习）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.【解析】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标