2.2 基本不等式透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)

2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式【知识导学】一：基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．规律与方法：1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论：（1）（同号）；（2）（异号）；（3）或.二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.三：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.规律与方法：1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b取等号，其含义是；仅当a=b取等号，其含义是.综合上述两条，a=b是的充要条件.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.【考题透析】透析题组一：基本不等式的内容及其注意1．（2021·北京一七一中高二月考）若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．2．（2020·上海市松江一中高一期中）三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）A．如果，那么；B．如果，那么；C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；D．如果，，那么．3．（2021·全国高一课时练习）已知，，且，那么（）A． B．C． D．透析题组二：由基本不等式证明或比较不等式的大小4．（2021·广东）若，则下面结论正确的有（）A． B．若，则C．若，则 D．若，则有最大值5．（2020·三亚华侨学校高一期中）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（）A． B． C． D．6．（2021·全国高一专题练习）下列说法中错误的是（）A．不等式恒成立B．若，则C．若，满足，则D．存在，使得成立透析题组三：基本不等式求积的最大值7．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知，，且，则的最大值是（）A．1 B． C．3 D．58．（2021·全国高一专题练习）若，则的最大值是（）A． B． C． D．9．（2021·全国高一专题练习）已知，，且，则下列结论中正确的是（）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值2透析题组四：基本不等式求和的最小值10．（2021·河北张家口·高一期末）已知，，且，则的最小值为（）A．4 B．9 C．10 D．1211．（2020·铜山启星中学高一月考）设则的最大值是（）A．3 B． C． D．12．（2021·广东潮州·）已知实数，且，则的最小值是（）A．6 B． C． D．透析题组五：基本不等式“1”的妙用13．（2021·云南高一期末）已知，.若，则的最小值为（）A． B． C． D．14．（2020·安徽马鞍山·高一月考）已知，，且，则的最小值是（）A．6 B．12 C．18 D．2415．（2021·全国）若，，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．透析题型六：基本不等式的恒成立求参数问题16．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（）A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]17．（2021·四川省绵阳南山中学高一月考）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．18．（2021·全国）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．12 C．16 D．9透析题型七：基本不等式的实际问题的应用19．（2021·全国高一专题练习）某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正确的是（）．A． B．C． D．以上都可能20．（2021·全国高一单元测试）道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力满足，其中为安全距离，为车速（m/s）．若安全距离取40m，则该道路一小时通行能力的最大值约为（）A．98 B．111 C．145 D．18521．（2021·全国）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（）A．60万元 B．160万元 C．200万元 D．240万元【考点同练】一、单选题22．（2021·河北张家口·高二期末）已知，，则“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件23．（2022·全国）已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（）A．1 B．3C．6 D．1224．（2022·全国（文））若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．25．（2021·全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．26．（2021·全国高三月考）若，且，则的最小值为（）A． B． C． D．27．（2021·新疆乌鲁木齐·乌市八中高二月考（文））若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a＞b B．abC．a D．28．（2021·富宁县第一中学）设，，且，则当取最小值时，（）A．8 B．12 C．16 D．29．（2021·江苏苏州·）设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（）A． B．C． D．30．（2021·安徽六安一中）下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是1D．设，则的最小值是231．（2021·沙坪坝·重庆南开中学）若，且，则的最小值为（）A．3 B． C． D．二、多选题32．（2021·河北高一期末）下列选项中正确的是（）A．不等式恒成立 B．若､为正实数，则C．当，不等式恒成立 D．若正实数，满足，则33．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）设，且，那么（）A．有最小值 B．有最大值C．ab有最大值. D．ab有最小值.34．（2021·河北正定中学）下列命题中，正确的有（）A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B．若ab＜0，则C．若b＜a＜0，c＜0，则 D．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b235．（2021·深圳市富源学校高二期中）若、且，则下列不等式中恒成立的是（）．A． B．C． D．36．（2021·广东）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．当时，，故时，的最大值为；B．当时，，当且仅当时取等号，解得或，又由，所以取，故时，的最小值为；C．由于，故的最小值是；D．，，且，由于，则，又，则，，且，的最小值为．三、填空题37．（2021·全国高三专题练习（理））（配凑型）已知，求函数的最小值是________38．（2021·海南高三三模）已知，，，则的最小值为______．39．（2021·广西（理））已知函数，，的最小值为3，则__________．40．（2021·全国高三专题练习）已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是________．四、解答题41．（2021·河北张家口·高一期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.42．（2021·中宁县中宁中学高二月考（文））（1）已知，求的最小值．（2）已知是不全相等的实数，求证：．43．（2021·东莞市光明中学高二月考）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．（1）求的值，并写出2021年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（2）当2021年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？（年利润销售所得投入资金设备改造费）（2021·全国）（1）已知，，，求证：．（2）证明：．【答案精讲】1．D【详解】解：由，令，则，则，故A错误；则，则，故B错误；则，则无意义，故C错误；因为，则，所以.故选：D.2．C【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.故选：C.3．C【详解】因为，，由基本不等式可得，，上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确.故选：C.4．B【详解】对于选项A：若，由基本不等式得，即，当且仅当时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若，，，当且仅当且，即时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由，，即，如时，，所以选项C不正确；对于选项D：，当且仅当时取等则有最大值，所以选项D不正确；故选：B5．A【详解】因为、为互不相等的正实数，则，，因此，.故选：A.6．A【详解】A:当时，不等式不成立，错误；B：由，则，当且仅当时取等号，正确；C：由且，所以，当且仅当时取等号，正确；D：当时，成立，正确.故选：A.7．D【详解】依题意，所以，当且仅当时等号成立.故选：D8．C【详解】因为，当且仅当，即时成立，所以的最大值是1，故选：C.9．A【详解】对于选项A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于选项B，，当且仅当时取等号，故B错误；对于选项C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于选项D，，所以，当且仅当时取等号，故D错误.故选：A.10．B【详解】由，，且得，当且仅当即，时等号成立，的最小值为，故选：B.11．D【详解】因为所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：D12．B【详解】，当且仅当，即，时等号成立故选：B13．C【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故选：C.14．B【详解】∵，，，∴同除得，∴.当且仅当即时取等号．故选：B15．B【详解】解：若，，且，则，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．16．C【详解】由题意可得对任意恒成立，由，可得，当且仅当即时，取得等号，则，解得.故选：C.17．B【详解】当时，由可得，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：B.18．D【详解】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，，当且仅当时取等所以．故选：D．19．A【详解】设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，则，，从而，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以，故选：A.20．B【详解】由题意得，由于，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故选：B21．D【详解】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用和为：(万元)，当且仅当“”即“”时取等号.故选：D.22．B【详解】，时，，取“=”的充要条件是.因为时，不一定有，故选：B.23．B【详解】解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，∴2x+y=2x+2=3，当且仅当，即x=1时取等号.故选：B.24．A【详解】解：，又，，令，则，，即，当且仅当时，取等号，的取值范围是，．故选：A．25．A【详解】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.26．C【详解】解：，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故选：C.27．B【详解】解：因为a＞b＞0，可得2a＞a+b，可得a，并且a＞b＞0，可得，则，∴b，可得：ab．故选：B．28．B【详解】，，当取最小值时，取最小值，，，，，，当且仅当即时取等号，.故选：29．D【详解】对于选项A，因为a､b是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误；对于选项B，因为a､b是正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；对于选项C，，当且仅当时取等号，故选项C错误；对于选项D，，则恒成立，故选项D正确；故选：D.30．A【详解】对于A,当时，，当且仅当取等号，故A对，对于B，当时，为增函数，，没有最小值，B错误,对于C，，，当且仅当时取等号，即最大值是1，没有最小值.错误，对于D,，故D错误.故选：A31．D【详解】因，且，则，即有，同理，由得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：D32．BD【详解】取，，则，，A错，∵､为正实数，∴，∴，当且仅当时等号成立，B对，取，则，C错，∵正实数，满足，∴，当且仅当，时等号成立，D对，故选：BD.33．AD【详解】，，，当时取等号，，解得，，有最小值；，当时取等号，，，，解得，即，有最小值．故选：AD34．BD【详解】解：对于A，，则，故A错误；对于B，即异号，当且仅当时等号成立，故B正确对于C，由得，又，则，故C错误；对于D，由，得，故D正确.故选：BD.35．AD【详解】对于A选项，由基本不等式可得，则，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，当，时，，B错；对于C选项，当，时，，C错；对于D选项，由题意可知，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD.36．BCD【详解】】解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；对于B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，即B的运算方法错误；对于C，取等的条件是，即，显然均不成立，即C的运算方法错误；对于D，第一次使用基本不