2.3 全称量词命题与存在量词命题-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

2.3全称量词命题与存在量词命题【考点梳理】考点一全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”考点二含量词的命题的否定p綈p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【题型归纳】题型一：含全称量词和存在量词命题的判断1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题是全称量词命题的是（

）A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数C．每个三角形的内角和都是 D．，使得2．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（

）A．所有的二次函数的图象都关于y轴对称B．正方形都是平行四边形C．空间中不相交的两条直线相互平行D．存在大于等于9的实数3．（2021·河北·藁城新冀明中学高一阶段练习）已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（

）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题题型二：含量词的命题的否定问题4．（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，5．（2022·全国·高一课时练习）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）已知命题，使得，则为（

）A．，都有 B．，使得C．，都有 D．，使得题型三：根据全称命题的真假求参数问题7．（2022·全国·高一课时练习）若“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2021·安徽宣城·高一期中）“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．9．（2021·河南郑州·高一期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（

）A． B． C． D．题型四：根据存在量词命题的真假求参数问题10．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．11．（2022·江苏·高一）已知命题，是假命题，则的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或12．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高一期中）已知命题P：，若命题P是假命题，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．题型五：全称量词与存在量词的综合问题13．（2020·湖南省邵东市第一中学高一阶段练习）已知a∈R，命题p：∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，命题q：．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．14．（2021·全国·高一单元测试）设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.15．（2021·全国·高一专题练习）设命题，；命题，使．（1）若命题为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题，一真一假，求实数a的取值范围．【双基达标】一、单选题16．（2022·全国·高一单元测试）命题“”的否定是

A． B．C． D．17．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．18．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数19．（2022·全国·高一专题练习）若命题“，”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）20．（2022·全国·高一课时练习）已知命题，，则（

）A．命题，为假命题B．命题，为真命题C．命题，为假命题D．命题，为真命题21．（2022·全国·高一专题练习）命题“”为真，则实数a的范围是__________22．（2021·湖北·武汉中学高一阶段练习）若命题“，使得”为假命题，则实数m的取值范围是A． B． C． D．23．（2020·全国·高一单元测试）已知，命题“存在，使”为假命题，则的取值范围为______.24．（2020·江苏·吴江平望中学高一阶段练习）命题：任意,-成立；命题：存在,+成立.（1）若命题为真命题,求实数的取值范围;（2）若命题为假命题,求实数的取值范围;（3）若命题、至少有一个为真命题,求实数的取值范围;【高分突破】一：单选题25．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期中）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数26．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）下列结论中正确的个数是（

）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A．0 B．1 C．2 D．327．（2022·全国·高一单元测试）已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．28．（2022·全国·高一单元测试）已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．29．（2020·全国·高一课时练习）下列有关命题的说法中错误的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”C．若命题，使得，则，均有D．若为假命题，则、均为假命题30．（2021·全国·高一专题练习）已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题31．（2021·辽宁·大连市第十五中学高一期中）设非空集合P，Q满足，且，则下列选项中错误的是（

）．A．，有 B．，使得C．，使得 D．，有32．（2021·全国·高一单元测试）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．33．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要而不充分条件D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件34．（2022·全国·高一课时练习）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．35．（2021·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）下列命题是真命题的有（

）A．命题“”的否定是“或”B．“至少有一个x使成立”是全称量词命题C．“，”是真命题D．“，”的否定是真命题36．（2022·安徽省六安中学高一期末）下列说法正确的是（

）A．“"是“|”的充分不必要条件B．命题“”的否定是“C．设，则“且”是“”的必要不充分条件D．“"是“关于的方程有实根”的充要条件三、填空题37．（2022·全国·高一单元测试）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____，38．（2020·云南·昆明二十三中高一期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；③“a<5”是“a<3”的必要条件；④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．其中真命题的序号为________．39．（2021·全国·高一）若“，”为假命题，则实数的最小值为___________.40．（2021·全国·高一期末）已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________.41．（2021·全国·高一）若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_________.四、解答题42．（2020·全国·高一）已知，（Ⅰ）写出命题的否定；命题的否定；（Ⅱ）若为真命题，求实数的取值范围.43．（2022·江苏·高一课时练习）已知，设恒成立，命题，使得.（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若为假，为真，求的取值范围.44．（2021·全国·高一）已知命题，，，.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围.45．（2020·广东·汕头市澄海中学高一阶段练习）已知，命题p：，恒成立；命题q：存在，使得.（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围.46．（2022·全国·高一课时练习）设，命题p：，命题q：.（1）若命题p是真命题，求的取值范围；（2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围.47．（2020·全国·高一课时练习）已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立．（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若为真，为假，求的取值范围．【答案详解】1．C【分析】根据全称命题和存在命题的定义判断各选项即可.【详解】对于A，可将命题改写为：，使得为无理数，则命题为存在命题，A错误；对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在命题，B错误；对于C，可将命题改写为：中，，则命题为全称命题，C正确；对于D，命题包含存在量词，则其为存在命题，D错误.故选：C2．D【分析】直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案.【详解】选项A中，“所有的”是全称量词；选项B中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词；选项C中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词；选项D中，“存在”是存在量词.故选：D.3．C【分析】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．【详解】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，因此非p是假命题，A错；命题，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．故选：C．4．B【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.【详解】由特称命题的否定的概念知，“，”的否定为：，．故选：B．5．A【分析】利用定义写出命题的否定即可．【详解】命题的否定是故选：A6．C【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.【详解】因为，使得，所以为：，都有.故选：C.7．B【分析】利用参数分离法得到，，再求出在上的最值即可．【详解】为真命题，∴，，∵在区间上单调递增，，即，∴实数的取值范围为．故选B8．A【分析】利用参数分离法得到，，，再求出在，上的最值，结合充分不必要条件分析即可．【详解】，，为真命题，，，，，当或时，，，，，，，为真命题的一个充分不必要条件是，故选：．9．B【分析】讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解.【详解】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；当时，若对于恒成立，则即可得：，综上所述：实数的取值集合是，故选：B.10．C【分析】由题意，为真命题，进而可得为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可.【详解】命题为假命题，即命题为真命题.首先，时，恒成立，符合题意；其次时，则且，即，综上可知，.结合选项可得，，即：是的一个充分不必要条件.故选：C11．A【分析】根据假命题的否定是真命题，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】因为命题，是假命题，所以，是真命题，于是有：.故选：A.12．C【分析】由题意，是真命题，，解得的取值范围即可．【详解】由于命题是假命题，则是真命题，即，是真命题，，解得，故选：C．13．（1）；（2）【分析】（1）令f(x)＝x2－a，可将问题转化为“当时，”，故求出即可．（2）根据“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题可得p与q一真一假，然后分类讨论可得所求的结果．【详解】(1)令，根据题意，“命题p为真命题”等价于“当时，”．∵，∴，解得.∴实数的取值范围为．(2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数满足．当命题q为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得或．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假①当命题p为真，命题q为假时，得，解得；②当命题p为假，命题q为真时，得，解得．综上可得或．∴实数的取值范围为．【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题p，q的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．14．（1）（2）或【分析】（1）命题为真，只需，根据一次函数的单调性，转化为求关于的一元二次不等式；（2）命题为真，只需，根据二次函数的性质，求出的范围，依题意求出真假，和假真时，实数m的取值范围.【详解】（1）对于命题p：对任意，不等式恒成立，而，有，，，所以p为真时，实数m的取值范围是；（2）命题q：存在，使得不等式成立，只需，而，，，，即命题q为真时，实数m的取值范围是，依题意命题一真一假，若p为假命题，q为真命题，则，得；若q为假命题，p为真命题，则，得，综上，或.【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.15．（1）；（2）或【解析】（1）令，若命题为真命题，只要，时，即可，进而得到实数的取值范围；（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，根据命题与一真一假，分两种情况讨论，进而得到答案．【详解】解：（1）因为命题，，．令，根据题意，只要，时，即可，也就是，即；（2）由（1）可知，当命题为真命题时，，命题为真命题时，△，解得或因为命题与一真一假，当命题为真，命题为假时，，当命题为假，命题为真时，．综上：或．【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．16．C【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.考点：全称命题与存在性命题.17．B【分析】由题可得恒成立，由即可求出.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选：B．18．D【详解】试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．考点：命题的否定．19．D【分析】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用求得a的取值范围．【详解】命题“，”的否定是假命题，则命题“，”是真命题，即，解得a＞3或a＜﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）故选：D20．C【分析】全称命题的否定为特称命题，再判断命题的真假即可得出答案.【详解】有题意知，命题，，又因为方程的，所以命题为假命题.故选：C.21．【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.【详解】由题意知：不等式对恒成立，当时，可得，恒成立满足；当时，若不等式恒成立则需，解得，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析的情况；（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.22．A【详解】试题分析：因命题“R，使得x02+mx0+2m-3<0”为假命题，故“x2+mx+2m-3≥0恒成立”为真命题，由二次函数开口向上，故考点：特称命题.23．【分析】将条件转化为任意，恒成立，此时有，从而解出实数a的取值范围.【详解】命题：“存在，使”为假命题即恒成立，则，即：，解得，故实数a的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.24．（1）（2）（3）或【分析】（1）当命题为真命题时,；（2）当命题为假命题时,；（3）若命题、至少有一个为真命题,先求出为真命题时的范围,再求与（1）中的范围的并集即可【详解】解：（1）由题,,即,（2）由题,,即,（3）当是真命题时,由（2）,或若命题、至少有一个为真命题,由（1）,则需满足或或或【点睛】本题考查由存在性命题与全称命题真假求参问题,考查二次函数恒成立问题25．B【详解】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．26．C【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题，则，故③错误；对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C27．C【分析】求得命题为真命题时的取值范围，由此求得命题为假命题时的取值范围.【详解】先求当命题：，为真命题时的的取值范围（1）若，则不等式等价为，对于不成立，（2）若不为0，则，解得，∴命题为真命题的的取值范围为，∴命题为假命题的的取值范围是.故选：C【点睛】本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.28．A【解析】由题可得命题p的否定为真命题，即可由此求解.【详解】为假命题，，为真命题，故恒成立，在的最小值为，∴.故选：A.29．D【分析】A选项，求出二次方程的解即可判断；命题“若，则q”的逆否命题为“若，则”，B正确；特称命题的否定为全称命题，C正确；根据复合命题的真假判断规则判断D选项.【详解】A选项，的解为或2，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；B选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，B正确；C选项，特称命题的否定为全称命题，C正确；D选项，若为假命题，则、中至少有一个为假命题.故选：D【点睛】本题考查充分不必要条件、逆否命题、含一个量词的命题的否定、复合命题的真假判断，属于基础题.30．B【分析】命题P是假命题，其否定为真命题:为真命题，转化成不等式恒成立求参数范围，即可求解.【详解】由题：命题P是假命题，其否定:为真命题，即，解得.故选：B【点睛】此题考查特称命题和全称命题的否定和真假性判断，当一个命题为假，则其否定为真，在解题中若发现正面解决问题比较繁琐，可以考虑通过解该命题的否定进而求解.31．CD【分析】由两集合交集的结果推出Q是P的真子集，再根据真子集的概念进行判断.【详解】因为，且，所以Q是P的真子集，所以，有，，使得，CD错误.故选：CD【点睛】本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.32．BD【分析】求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.【详解】命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有，{4},所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD33．BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B.根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D.根据充分性和必要性的概念判断.【详解】解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；B.命题“，”的否定是“，”，正确；C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.34．BC【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于的不等式对恒成立，当时，原不等式即为恒成立；当时，不等式对恒成立，可得，即，解得：.当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：的取值范围为：.所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有或.故选：BC.35．ACD【分析】选项A：根据特称命题的否定为全称命题即可判断出结论；选项B：根据特称命题的概念即可判断出结论；选项C：举例即可说明命题为真命题；选项D：判断原命题的真假即可判断出命题否定的真假.【详解】选项A：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定是“或”正确，即选项A正确；选项B：“至少有一个x使成立”是特称命题，故选项B错误；选项C：当时，，所以“，”是真命题，选项C正确；选项D：因为时，，所以命题“，”是假命题，所以“，”的否定是真命题，选项D正确.故选：ACD.36．BD【分析】根据充分条件、要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．【详解】对于，例如满足，但，所以错误；对于，特称命题的否定为全称命题，命题“”的否定是“，所以正确；对于，例如满足，但，所以不正确；对于，方程有实根，所以正确．故选：BD．37．【分析】原命题等价于命题“，”是真命题【详解】由题意得若命题“”是假命题，则命题“，”是真命题，则需,故本题正确答案为．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．38．③④【详解】对于①，因为“”时成立，时，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要条件，故①错，对于②，时，;，时，，所以“”是“”的的既不充分也不必要条件，故②错，对于③，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，③正确；对于④“是无理数”是“是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④．39．【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.【详解】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.故答案为：.40．【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】已知命题“，恒成立”是真命题.当时，则有恒成立，合乎题意；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设①在上恒成立，则；

②在上恒成立，则；③在上恒成立，则；④在上恒成立，则.41．【分析】由题意可知，命题“，使得成立”是真命题，可得出，结合基本不等式可解得实数的取值范围．【详解】若命题“，使得成立”是假命题，则有“，使得成立”是真命题.即，则，又，当且仅当时取等号，故．故答案为：42．（1）；；（2）.【详解】（1）：；：（2）由题意知，真或真，