2.3离散型随机变量的均值和方差-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3同步课时练

高二年级（数学）学科习题卷离散型随机变量的均值和方差编号：109一、选择题：1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为()ξ012345P2x3x7x2x3xxA．eq\f(1,18)B．eq\f(1,9)C．eq\f(20,9)D．eq\f(9,20)2．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是()A．0.2B．0.8C．1 D．03．某班有eq\f(1,4)的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,4)))，则E(－ξ)的值为()A．eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C．eq\f(5,4) D．－eq\f(5,4)4.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100 B.200 C.300 D.4005．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A．eq\f(3,5)B．eq\f(8,15)C．eq\f(14,15) D．16.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是()A.4 B.4.5 C.4.75 D.57．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3．4．由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较8．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10 D．2－89．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是()A．0和1B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p10．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0．6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6和2．4B．2和2．4C．2和5．6 D．6和5．611．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于()A．0 B．1C．4 D．212.已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)＝()A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.413.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A.n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4C.n＝8，p＝0.3D.n＝24，p＝0.114.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝()A.eq\f(8,5) B.eq\f(6,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2,5)二、填空题：15.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.16.某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元.17．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________．18．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．三、解答题：19．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值和方差．20．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．21．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．22.在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.23.据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.1、解析：选C根据概率和为1，可得x＝eq\f(1,18)，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝eq\f(20,9)．2、解析：选B因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8．3、解析：选D∵E(ξ)＝5×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，∴E(－ξ)＝－E(ξ)＝－eq\f(5,4)，故选D．4、解析设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1000×0.1＝200.答案B5、解析：X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)．所以E(X)＝1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)．选A6、解析答案B由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(3,5)＝4.5.7、解析：选B∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．8、解析：选CE(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝eq\f(1,2)，n＝12，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))11＝3·2－10．9、解析：选D由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．10、解析：选B∵X～B(10,0．6)，∴E(X)＝10×0．6＝6，D(X)＝10×0．6×(1－0．6)＝2．4，∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2．4．11、解析：选A由分布列的性质，得a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3)．∵E(ξ)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2．∴m＝6－2n．∴D(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2．∴n＝2时，D(ξ)取最小值0．12、解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案C13、解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.14、解析答案B由题意，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,m＋3)))，又E(X)＝eq\f(5×3,m＋3)＝3，∴m＝2，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，故D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5).15、解析设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)16、解析由题意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝eq\f(1,7)，∴获得一、二、三等奖的概率分别为eq\f(1,7)，eq\f(2,7)，eq\f(4,7)，∴所获奖金的期望是E(X)＝eq\f(1,7)×7000＋eq\f(2,7)×5600＋eq\f(4,7)×4200＝5000元.答案500017、解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，∴14a＋6b＝3．①又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1．②∴由①②可知a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(2,3)，∴a＋b＝－eq\f(1,6)．答案：－eq\f(1,6)18、解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，则X～B(12,0．8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9．6＝48．答案：4819、解：设事件A表示“该地的1位车主购买甲种保险”，事件B表示“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C表示“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则A，B相互独立．(1)由题意知P(A)＝0．5，P(B)＝0．3，C＝A∪B，则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0．8．(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－0．8＝0．2．由题意知X～B(100,0．2)，所以均值E(X)＝100×0．2＝20，方差D(X)＝100×0．2×0．8＝16．20、解：(1)X的可能值为0,1,2．若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22)．∴X的分布列为X012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)∴E(X)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)．D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(6,11)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2×eq\f(1,22)＝eq\f(15,44)．(2)Y的可能值为1,2,3，显然X＋Y＝3．P(Y＝1)＝P(X＝2)＝eq\f(1,22)，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝eq\f(9,22)，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝eq\f(6,11)．∴Y的分布列为Y123Peq\f(1,22)eq\f(9,22)eq\f(6,11)∴Y＝－X＋3，∴E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝(－1)2D(X)＝eq\f(15,44)．21、解：(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0．1＋x＋0．37＋0．39＝1，解得x＝0．12．(2)由题意知，X～B(3,0．1)．因此P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0．93＝0．729；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0．1×0．92＝0．243；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0．12×0．9＝0．027；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0．13＝0．001．故随机变量X的分布列为X0123P0．7290．2430．0270．001故X的数学期望为E(X)＝3×0．1＝0．3．22、解(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(4,25).(2)P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝P()＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,25).P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(1,2)＝eq\f(19,50)，P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\b\lc