1.3 交集、并集-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

1.3交集、并集【考点梳理】考点一：并集考点二：交集【题型归纳】题型一：根据交集求集合或者参数问题1．（2022·四川泸州·高一期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高一）已集合，集合，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．题型二：根据并集求集合或者参数问题4．（2022·河南信阳·高一期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·贵州毕节·高一期末）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三：Venn图7．（2022·全国·高一单元测试）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（

）A．6 B．5 C．7 D．88．（2022·全国·高一）图1中的四块区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别表示下列四个集合：，，，，则图2中的阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·高一）记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A． B． C． D．题型四：集合的应用10．（2019·陕西省商丹高新学校高一阶段练习）商洛市数、理、化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科的有4名．若该班学生共有48名，则没有参加任何一科竞赛的学生有多少名（）A．3 B．4 C．5 D．611．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（

）A．28 B．23 C．18 D．1612．（2021·江苏·高一期中）某班有30人参加了“第十四个五年规划的知识竞赛”若答对第一题的有18人，答对第二题的有16人，两题都答对的有8人，则一、二两题都没答对的有（

）A．3人 B．4人 C．5人 D．6人题型五：集合的交并补运算13．（2022·云南红河·高一期末）若全集，集合，则（

）A． B． C． D．14．（2022·海南·嘉积中学高一期末）已知集合或，，则（

）A． B．C． D．15．（2021·新疆·沙湾县第一中学高一期中）已知全集，集合，集合，则集合的真子集的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．7个题型五：集合的交并补集合或参数问题16．（2021·湖南·周南中学高一阶段练习）已知集合，集合（1）若，求实数m的取值范围；（2）试判断是否存在R，使得，并说明理由．17．（2022·全国·高一专题练习）设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0}（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围.18．（2021·江苏·高一单元测试）已知集合，集合．现有三个条件：条件①，条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：（1）若，求；（2）若______，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高一）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．420．（2021·黑龙江·佳木斯一中高一）设集合，，则A． B． C． D．21．（2022·全国·高一）集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．22．（2021·河北·顺平县中学高一）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有A．2 B．3 C．4 D．823．（2021·四川省绵阳第一中学高一期中）已知集合，，若，则（）A．或 B．或 C．或 D．或24．（2022·江苏·高一专题练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．25．（2022·浙江·台州市书生中学高一开学考试）已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.26．（2020·浙江·金华市曙光学校高一期中）已知函数的定义域为集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.【高分突破】27．（2022·江苏·高一专题练习）已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为

A． B． C． D．28．（2021·重庆市求精中学校高一阶段练习）已知全体实数集，集合，则（

）A． B． C． D．29．（2022·全国·高一课时练习）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（

）A．5 B．10 C．15 D．2030．（2022·全国·高一）已知，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．31．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，，若，则实数的取值范围是A． B． C． D．32．（2021·福建·仙游一中高一期中）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．33．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．34．（2022·全国·高一单元测试）设集合，或，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题35．（2022·全国·高一课时练习）设全集，集合，，则（

）A． B．C． D．集合的真子集个数为836．（2021·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（

）A． B．C． D．37．（2022·全国·高一单元测试）设集合，若，则实数a的值可以为（

）A． B．0 C．3 D．38．（2022·全国·高一单元测试）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（）A． B．C． D．39．（2022·全国·高一单元测试）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（

）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素40．（2021·海南中学三亚学校（三亚市实验中学）高一期中）设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（）A． B．或 C． D．41．（2022·江苏·高一单元测试）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（

）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得三、填空题42．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，，若则实数的值为________43．（2022·吉林松原·高一阶段练习）已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________.44．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则的取值范围为__________．45．（2021·全国·高一专题练习）设集合，且，则实数的取值范围是____.46．（2021·河南·邓州市第一高级中学校高一阶段练习）高二某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门学科均不选的有人.这三门课程均选的有人，三门中任选两门课程的均至少有人.三门中只选物理与只选化学均至少有人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.47．（2022·江苏·高一单元测试）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．四、解答题48．（2021·河北·藁城新冀明中学高一阶段练习）已知集合，集合.（1）求；（2）设集合，且，求实数的取值范围.49．（2021·河北·顺平县中学高一阶段练习）若集合，（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.50．（2021·全国·高一阶段练习）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．51．（2019·山西·怀仁市大地学校高中部高一）已知全集，集合，．求：（1），，；（2），；（3）设集合且，求的取值范围；52．（2021·四川·成都外国语学校高一阶段练习）已知集合，．（1）若，求实数a，b满足的条件；（2）若，求实数m的取值范围．53．（2022·全国·高一单元测试）已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.参考答案：1．C【详解】解：因为，，所以；故选：C2．A【详解】解：因为，又，所以当时，，要使，则，即．故选：A．3．B【详解】因为集合，集合，，所以.故选：B.4．D【详解】，，∴.故选：D.5．D【分析】根据并集的定义计算即可.【详解】因为，所以当时，的解集为，此时，显然有.当时，的解集为，由得，所以.当时，的解集为，显然有.综上所述.故选：D.6．B【分析】利用数轴，根据集合的运算结果即可求解.【详解】因为集合或，，，所以．故选：B．7．A【分析】根据题意，作出维恩图，由数形结合列出方程求解即可.【详解】作维恩图，如图所示，则周一开车上班的职工人数为，周二开车上班的职工人数为，周三开车上班的职工人数为，这三天都开车上班的职工人数为x.则，得，得，当时，x取得最大值6.故选：A8．D【分析】由集合的运算与Venn图表示判断．【详解】由题意知题图2中的阴影部分为：集合A与集合B的交集去掉属于集合C的部分，即图2中的阴影部分表示的集合为．故选：D．9．D【分析】根据题意和对图的理解可知阴影部分所表示的集合是，结合并集和补集的概念与运算计算即可.【详解】由图知，阴影部分所表示的集合是，∵，，∴，故.故选：D10．A【分析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.【详解】因为有24名学生参加数学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加数、物两科的有5名，参加数、化两科的有4名，所以只参加数学竞赛的有名，因为有28名学生参加物理竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加数、物两科的有5名，参加物、化两科的有3名，所以只参加物理竞赛的有名，因为有19名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加物、化两科的有3名，参加数、化两科的有4名，所以只参加化学竞赛的有名，则没有参加任何一科竞赛的学生有名，故选：A.【点睛】本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系是解决本题的关键，考查推理能力，体现了综合性，是中档题.11．C【分析】分析出只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，即可得解.【详解】参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，所以只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，所以参加本次运动会的人数共有18人.故选：C12．B【分析】结合交并补集的概念，结合题意即可求出结果.【详解】设全班的同学组成全集，答对第一题的同学组成集合，答对第二题的同学组成集合，由题意可得中元素有18个，中元素有16个，中元素有8个，所以中元素的个数为个，所以中元素的个数为个，故一、二两题都没答对的有人，故选：B.13．D【分析】根据集合的补集和交集运算可得答案.【详解】由题得，又，所以.故选：D.14．B【分析】先求，再由交集的运算的定义求.【详解】因为或，所以，又，所以，故选：B.15．B【分析】先求出，再计算真子集个数即可.【详解】由题意知：，则，则的真子集的个数为.故选：B.16．（1）；（2）不存在；理由见解析．【分析】（1）确定集合，由子集定义得不等式关系可得结论，注意分类讨论；（2）先根据补集的概念求出，这时仍然注意应对B能否是空集讨论，然后探究使成立时m应满足的条件，也可结合数轴来分析和处理．【详解】解：（1）由，解得，，，当时，有，解得；当时，有，解得，综上，实数m的取值范围为（2）由（1）可知，，当，即时，，；当，即时，或，由，得，即，综上，不存在实数m，使得17．（1）或；（2）且且【解析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围.【详解】（1），由可知，，即，解得：或，当时，，此时，满足，当时，，此时，满足.所以实数的值是或；（2）U=R，A∩(B)=A，，则①当，即时，此时，满足条件；②当时，，即，，不满足条件；③当时，即时，此时只需，，将2代入方程得或，将1代入方程得，得，综上可知，的取值范围是且且【点睛】易错点睛：1.当集合的元素是方程的实数根时，根据集合的运算结果求参数时，注意回代检验，否则会造成增根情况，当集合是区间形式表示时，注意端点值的开闭；2.当集合的运算结果转化为集合的包含关系时，注意讨论空集情况，容易忽略这一点.18．（1）；（2）选①：；选②：或；选③：．.【分析】求出集合，或．（1）时，求出集合，由此能求出．（2）选①：，则，若，则，若，列出不等式组，由此能求出的取值范围．选②：，若，则，若，列出不等式组，由此能求出的取值范围．选③：，则．列出不等式组，由此能求出的取值范围．【详解】集合，（1）若，，则（2）选①：，则，若，则，解得若，则，解得；综上得；选②：若，则，解得若，则或解得或；综上得或．选③：，则．则解得所以.19．B【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．D【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.21．A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．【详解】解：，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.22．D【分析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.【详解】,因为，所以，因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.23．B【详解】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.24．C【分析】利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．【详解】解：由图知，阴影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，故阴影部分所表示的集合是.故选：C.25．（1）；（2）.【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）由得，然后分类和求解．【详解】（1）当时，中不等式为，即，∴或，则（2）∵，∴，①当时，，即，此时；②当时，，即，此时.综上的取值范围为.26．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出函数的定义域，即集合，将代入集合可得出集合，再利用集合的并集的定义得出集合；（2）由已知条件列不等式组可求出实数的取值范围；（3）分和两种情况，结合条件列不等式可求出实数的取值范围.【详解】（1）对于函数，有，解得，.当时，，因此，；（2），则有，解得，因此，实数的取值范围是；（3）当时，即当时，，此时，，合乎题意；当时，即当时，由于，则或，解得或，此时.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合的计算，以及利用集合的包含关系与交集运算求参数的取值范围，解题时要充分利用数轴，结合已知条件列不等式（组）进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.27．A【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1），；（2），；（3），；（4），．共计4种可能．3、可以推测集合A中不可能有3个元素；4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能．5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种可能．综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．28．C【分析】计算＝{x|x≤﹣1或x≥4}，B＝{y|y≥1}，再计算交集得到答案.【详解】由R为全体实数集，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，得＝{x|x≤﹣1或x≥4}，∵B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{y|y≥1}，∴＝{x|x≥4}．故选：C．29．C【分析】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．【详解】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．30．D【解析】根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围；【详解】解：∵，，∴∴．故选：D．31．C【分析】分别求出集合，利用可得两个集合端点之间的关系，从而可求实数的取值范围.【详解】集合，集合，若，则，解得，故选C.【点睛】本题考查集合的并以及一元二次不等式的解法，属于中档题.32．C【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：；

D错误；故选：C33．A【分析】解出集合、，分析可知，可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.【详解】由题意知集合，对于方程，解得，.因为，则.①当时，即时，成立；②当时，即当时，因为，则，解得.综上所述，的取值集合为.故选：A.34．A【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.【详解】因集合，若，有，解得，此时，于是得，若，因或，则由得：，解得：，综上得：，所以实数的取值范围为.故选：A35．AC【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.【详解】因为全集，集合，，所以，，，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，故选：AC36．CD【分析】采用特值法，可设，，，根据集合之间的基本关系，对选项逐项进行检验，即可得到结果.【详解】令，，，满足，但，，故A，B均不正确；由，知，∴，∴，由，知，∴，故C，D均正确.故选：CD.37．ABD【分析】先求出集A，B，再由得，然后分和两种情况求解即可【详解】解：，∵，∴，∴①时，；②时，或，∴或.综上，或，或故选：ABD.38．ABC【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.【详解】当时，，即，此时，符合题意，当时，，即，由可得或，因为，所以或，可得或，因为，所以，所以实数的取值范围为或，所以选项ABC正确，选项D不正确；故选：ABC.39．ABD【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．【详解】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.故选：ABD．40．CD【分析】根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果.【详解】集合，，，，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合.故选：CD.41．ABD【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．42．1【详解】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．43．【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.44．或【详解】由解得或，所以，因为，所以可能，分别分析，当即时，符合题意，再有根与系数的关系知，时，符合题意，不符合题意，故填或45．【解析】由题意，可得是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解.【详解】由题意，可得是集合的子集，又，当是空集时，即方程无解，则满足，解得，即，此时显然符合题意；当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根，此时，解得，则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素，不符合题意，舍去；当中有两个元素时，则，此时方程的解为，，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故；当时，可解得，符合题意.综上的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.46．8【解析】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.【详解】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，记选择物理与化学但未选生物的学生组成集合要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有15人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少6人，单选物理、生物的最少6人，单选生物的最少3人，以上人数最少52人，可作出如下图所示的韦恩图，故区