黑龙江省鹤岗市萝北县高级中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题（解析）

萝北县高级中学2024-2025学年开学考试（8月）高二上学期（数学）一、单选题（每题5分，40分）1.一艘海盗船从C处以30km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°距离为30km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（）A.30km/h B.40km/h C.50km/h D.30km/h【答案】D【解析】【分析】作出图形，分析查处ABC是等腰三角形，从而得=30，时间易得．【详解】如图，设在B处两船相遇，则由题意得，，则ABC是等腰三角形，则=30，所以海盗船需1小时到B处，则海警船1小时至少航行km，故选：D．2.函数的零点是（）．A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】先化简函数，再求的根即得结果.【详解】依题意，令得，，解得，.故选：A.3.规定投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少两次投中8环以上为优秀,现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1,用0表示该次投标未在8环以上,用1表示该次投标在8环以上；再以每三个随机数作为一组,代表一轮的结果,经随机模拟实验产生了如下20组随机数：１０１１１１０１１１０１０１０１００１０００１１１１１１１０００００１１０１０００１１１１０１１１０００００１０１１０１据此估计,该选手投掷飞镖三轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出投掷飞镖一轮能拿优秀的概率，即可计算投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率.【详解】总的事件有20个，其中3次中至少两次投中的事件有：101，111，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101共12个，故投掷飞镖一轮能拿优秀的概率为，则投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，解题的关键是先列出所有事件，求出投掷飞镖一轮能拿优秀的概率.4.已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则（）A.-12 B.-8 C.-4 D.4【答案】B【解析】【分析】先根据题意可得的最小正周期为，再画出简图，结合函数的对称性求解即可【详解】，故函数的最小正周期为．又因为函数是奇函数，且在区间上是增函数，所以可以粗略画出简图，不妨设，由图象可知，，所以．故选：B5.在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面积为，所以，即.因为，所以联立解得（负舍）.因为圆柱的侧面积为，所以，即，解得，所以该毡帐的体积为.故选：A.6.已知函数，若关于x的方程恰有4个不等实根，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分析当时，的单调性，进而作出的图像，令，，问题转化为方程必有两个不等的实数根，设为，，结合图像可得，，解得的取值范围．【详解】解：当时，，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以时，，时，，作出的图像如下：令，，所以方程必有两个不等的实数根，设为，，结合图像可得，要有四个不等实数根，只需方程有三个实数解，则，方程有一个实数解，则，，所以，即，所以，故选：．【点睛】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想和转化思想的应用．7.设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】有二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围；再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可.【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点⸫当时，至少有四个跟，令，则解出，⸪，⸫，即，当时：①若有4个零点，此时，即；②若有5个零点，此时，即；③若有6个零点，此时，即；当时：，令，解得①若，没有零点；②若，，有1个零点；③若，，且对称轴当时，即，有2个零点；当时，即，有1个零点综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足或或解得故选:A【点睛】思路点睛：三角函数的零点个数判断：以本题余弦函数为例，三角函数作为周期函数，在有限范围内的零点取值个数取决于中的取值个数.二函数的零点个数判断：主要根据二次函数中的取值范围确定，若在有限范围内，还需要用对称轴做辅助判断零点是否在范围中.8.已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（）个．①；②若当时，，则函数在单调递增；③对，；④若，则.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①利用赋值法，令即可得证，所以①正确.②根据题意，取，，所以，所以②正确.③时由①可得③成立；当时，由②得，利用累加法得，因此，所以，所以③正确．④令，，，因为，所以得，所以由③，利用等比数列求和公式，得，所以④错误．【详解】令有，令有f1=0.所以①正确.，因为，所以，所以，又因为，且当时，，所以.所以②正确.当时由①可得③成立；当时，由②得，所以，所以……，累加得，即，所以，所以③正确．令，，由①得，又因为，所以，由③得，所以，所以，所以④错误．故选：C二、多选题（每题6分，18分）9.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中A影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉．平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是．则下列说法正确的有（）A.偶函数；B.的最小正周期可能为；C.若声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大；D.若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉．【答案】CD【解析】【分析】对于A，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于B，根据函数周期性的定义，可知B错误；对于C，比较振幅的大小，可知C正确；对于D，求出频率，比较大小，可知D正确.【详解】对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；对于B，因为，故B错误；对于C，因为，所以声音甲的振幅大于，而纯音的振幅等于，所以声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确；对于D，因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，频率为，的频率为，，所以声音甲一定比纯音更低沉．故D正确.故选：CD10.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中.则经过分钟后物体的温度将满足，其中为正常数.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是（）A.B.若，则C.若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降D.红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少【答案】ACD【解析】【分析】由题知，进而根据导数的几何意义，导数运算等依次讨论各选项求解即可.【详解】解:由题知，对于A选项，因为为正常数，所以，故A选项正确；对于B选项，若，即，所以，则，故B选项错误；对于C选项，表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C选项正确；对于D选项，令，则，故是定义域内的单调递增函数，由于，所以随着时间的增加，下降速度再减小，由于，故当下降温度相同的时候，下降所需时间相对增加，故红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D选项正确.故选：ACD11.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据值域分析能取得最小值，最大值能取到0，利用正弦函数的性质即可得出范围，从而得出答案．【详解】函数的定义域为，值域为，故能取得最小值，最大值能取到0．当时，，；当时，，．所以，BC符合要求.故选：BC.三、填空题（每题5分，15分）12.若，则使的角的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】作出的图象可得答案.【详解】作出图象，根据图象和三角函数的性质可得出在内满足条件的角的取值范围.故答案为：.13.已知复数，满足，，则的值为______.【答案】【解析】【分析】设，，根据已知条件和复数模的概念即可计算﹒详解】设，，则，，则，即，即，∴，∵，∴﹒故答案为：﹒14.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________．【答案】【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得PB的值,在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.【详解】由已知，所以.在中，，故.在中，由正弦定理（*）而，代入（*）式得.在中，利用余弦定理，在中，利用正弦定理则的外接圆直径长为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查三角形的内角和定理、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想，属于较难题．四、解答题（77分）15.已知函数，0˂ω˂4，且．（1）求ω的值及函数的单调递增区间；（2）求函数在区间的最小值和最大值．【答案】（1），，（2）最小值－1；最大值2．【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，再由可得，再根据正弦函数的单调性可得答案；（2）根据的范围和正弦函数值域可得答案．【小问1详解】，由知，则，或，，所以，或，，又，则，所以，令，，则，，则函数的单调递增区为，；【小问2详解】由（1）知，，则，当，即时，函数有最小值－1；当，即时，函数有最大值2．16.已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；（2）设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产：方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．【答案】（1）（2），应选择方案二【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解，（2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答.【小问1详解】临界值时，I级品中该指标大于60的频率为，II级品中该指标大于60的频率为0.1故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于型手机的芯片个数估计为：【小问2详解】当临界值时，若采用方案一：I级品中该指标小于或等于临界值的概率为，可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；II级品中该指标大于临界值的概率为，可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用又采用方案二需要检测费用共130万元故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二17.已知函数，.（1）当时，求的解集；（2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，不等式化简为，解不等式；（2）不等式等价于，转化为求两个函数的最小值，求参数的取值范围.【详解】解：（1）当时，不等式即：，，故原不等式的解集为（2）对任意的，存在，不等式成立当，当时，单调递增，又函数的对称轴为，当时：①若，即，则，即，此时−12≤m≤0②若，即，则，即，此时综上可得实数的取值范围为【点睛】本题重点考查根据双变量不等式恒成立求参数取值范围问题，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于中档题型，一般对任意的，存在，使不等式成立，即转化为.18.已知函数（且）．（1）求的定义域；（2）若当时，函数在(1,+∞)有且只有一个零点，求实数b的范围；（3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；（2）根据题意分析可知在上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；（3）根据定义域和值域可得，且，结合单调性分析可知有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.【小问1详解】由，得或．所以的定义域为．【小问2详解】令，可知在(1,+∞)上为增函数，可得，且，可知的值域为，因为，则在定义域内为减