贵州省部分校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷（解析）

贵州省高三年级入学考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质求得，再根据集合的交集运算定义求解即可．【详解】由题可知，，所以，故选：A．2.若向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可．【详解】由题可知，，故选：C．3.已知圆关于直线对称，则的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，即，则因为，且，所以，所以，当且仅当即等号成立，则的最小值是4.故选：D.4.的展开式中项的系数为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理得到展开式通项，再求解即可.【详解】由二项式定理得的展开式的通项为，化简得，令，解得，所以项的系数为，故B正确.故选：B5.已知函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将零点问题转化为交点问题，结合导数求解即可.【详解】因为有三个零点，所以有三个根，所以和有三个交点，而，令，，令，，所以在上分别单调递增，在上单调递减，所以极小值为，极大值为，当时，，时，，所以，故B正确.故选：B6.如图所示，为测量一座古塔高度，工作人员从塔底同一水平面的处测得塔顶C的仰角为，然后从处出发朝古塔方向走了60米到达处，在处测得塔顶C的仰角为，把塔顶正下方的一点记为点，则该古塔的高度为（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】利用两角差的正切公式结合锐角三角函数定义求解即可.【详解】由题意得，，，，所以，且设，得到即为所求古塔高度，而，由锐角三角函数的定义得，解得，故C正确.故选：C7.已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解．【详解】设Ax1,y1则，所以，即，解得，所以，则，所以，故选：B．8.已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（）A.①③ B.③④ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】令可判断①；令，求出可得的图象关于对称，再由图象平移规律可判断②；根据可判断③；令求出，再令可判断④.【详解】对于①，令，则，所以，故错误；对于②，令，则，所以的图象关于对称，所以的图象关于点对称，故正确；对于③，因为，若，则，故正确；对于④，令，则，可得，令，则，故错误.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列结论正确的是（）A.若z为纯虚数，则B.若z在复平面内对应的点位于第一象限，则C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】由复数，若z为纯虚数，得，即可判断A；若z在复平面内对应的点位于第一象限，则，得到，即可判断B；若，则，则，即可判断C；若，则，解得，即可判断D.【详解】由，若z为纯虚数，即且，则，故A错误；若z在复平面内对应的点位于第一象限，则，得，即，故B正确；若，则，则，故C正确；若，则，解得，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（）A.B.将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合给定条件判断A，利用函数平移的性质结合正弦函数的性质判断B，利用对称中心的求法求解对称中心判断C，举反例判断D即可.【详解】因为，所以，所以，而将的图象平移后能与函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误，此时，向右平移个单位长度后，设得到的新函数为，，由正弦函数性质得是奇函数，故B正确，令，解得，当时，，所以的图象关于点对称，故C正确，由题意得，，，所以在上不单调，故D错误.故选：BC11.已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（）A.点F的坐标为B.的最小值为C.存在两个P点，使得D.若为正三角形，则圆M与直线PQ相交【答案】ACD【解析】【分析】对A，准线与圆相切，可知，即可确定焦点为F坐标，即可判断选项；对B，转化为，根据将军饮马理论可判断选项；对C，若，则PM=PF，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对D，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断.【详解】对A，准线与圆相切，可知，可得，所以F1,0，故A正确；对B，根据可得，可确定最小值为，故B错误；对C，若，则PM=PF，做中垂线，根据题意知，设为中点，则可得，直线斜率为，根据点斜式可确定为，与抛物线联立得，，所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确；对D，根据为正三角形，所以，则，且，所以可得，和圆与轴交点为0,3，QA=23>3，所以可知圆M与直线PQ相交，故故选：ACD【点睛】关键点点睛：合理利用抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则______．【答案】##【解析】【分析】分段函数求值，由内到外，分别代入对应解析式即可得解.【详解】因为函数，所以，所以.故答案为：.13.已知一组样本数据1，2，m，6极差为6，若，则______，这组数据的方差为______．【答案】①.②.##【解析】【分析】由极差为6，可得,求出平均数，再由方差计算公式，即可求出方差.【详解】因为一组样本数据1，2，m，6的极差为6，且，所以,解得，则，所以方差为.故答案为：，.14.在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】由已知，利用余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆的半径为，结合立体图形，设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，在中和直角梯形中，由等量关系建立方程组，解出，即可得到三棱锥外接球的表面积.【详解】在中，，，由余弦定理得，所以，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，解得结合图形分析：因为D为AC的中点，平面ABC，且，在中，，，又，则圆心到点的距离为，另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，则中，，即，直角梯形中，，即，解得，，所以.故答案为：.【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求的单调区间和极小值．【答案】（1）（2）的增区间为，，减区间为；的极小值为【解析】【分析】（1）由切点为1,f1，求出切线斜率（2）由导数的正负，解出的定义域内的范围，即可求出的单调区间，由的单调情况，可以得到的极小值．【小问1详解】因为，定义域为0,+∞，所以，，则，又，所以曲线y=fx在点1,f1令得，令得，故所求三角形的面积为．【小问2详解】因为，，令得或，令得或，令得，又函数的定义域为0,+∞，所以增区间为，，减区间为，所以的极小值为．16.甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）求的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列详见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）根据甲先得分的情况进行分类讨论，由此求得甲获胜的概率.（2）根据的取值进行分类讨论，由相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.【小问1详解】情况1：在接下来的比赛中，甲连赢局，则甲获胜，概率为；情况2：在接下来的比赛中，前局甲赢局，负局，第局甲赢，则甲获胜，概率为.所以甲获得这次比赛胜利的概率为.【小问2详解】的可能取值为，时，在接下来比赛中，乙连赢局，所以，则，所以的分布列为：数学期望.17.在三棱锥中，，，，为线段的中点．（1）证明：．（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可.（2）建立空间直角坐标系，利用两平面夹角的向量求法求解即可.【小问1详解】作面，，如图，以中点为原点建立如下空间直角坐标系，所以，因为，所以，是等边三角形，设，因为为线段中点，所以，，故，所以，，得到，因为，所以，而，，所以，解得，所以，，所以，设，因为是等边三角形，所以，故，而，，所以，解得，所以，因为，所以，，故，由两点间距离公式得，解得，所以，故，而，可得，故得证.【小问2详解】由上问得，，设面的法向量为，所以，故得到，令，解得，，所以，而，，设面的法向量为，所以，故得到，令，解得，，所以，设平面与平面的夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点．（1）求双曲线C的方程；（2）证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．【答案】（1）（2）证明见详解【解析】【分析】（1）由实轴长为6，得，由离心率为，得，再由得，即可得到双曲线C的方程；（2）设，，直线，直线与双曲线联立方程得，根据韦达定理得，，根据斜率公式得，最后代入化简计算即可得证.【小问1详解】因为双曲线的实轴长为6，所以，因为双曲线的离心率为，所以，解得，由，得，则C的方程为．【小问2详解】设，，因为直线过定点B-2,0，显然直线l不垂直于轴，则设直线，联立方程组，消去x得，由，得，则，，因为A为双曲线C的左顶点，所以，直线AE的斜率，直线AF的斜率，所以，即直线AE与AF的斜率之积为定值．【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于设出直线l的方程，然后直曲联立，利用韦达定理，代入的表达式，化简即可得到定值.19.若n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”．（1）设数列是项数为7的“对称数列”，，若成等差数列，且，试写出所有可能的数列．（2）已知递增数列的前n项和为，且．①求的通项公式；②组合数具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记，求．【答案】（1）答案见解（2）①；②【解析】【分析】（1）由等差数列的性质及已知条件求解即可；（2）由及为递增数列，利用求解即可；通过构造，根