专题11 模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略（解析版）

专题11模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一（双）A字型相似】 1【考点二（双）8字型相似】 5【考点三母子型相似】 11【考点四手拉手型相似】 15【考点五K字型相似】 21【考点六三角形内接矩形】 26【典型例题】【考点一（双）A字型相似】【基本模型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．例题：如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【变式训练】1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求证：△ABC∽△AED．【答案】见解析【分析】根据已知线段长度求出，再根据∠A=∠A推出相似即可．【详解】证明：在△ABC和△AED中，∵，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．【详解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【考点二（双）8字型相似】【基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．例题：如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，：：，则：（

）A．： B．： C．： D．：【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得到DCAB，DC=AB，得到△DFE△ABF，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∵E为上一点，∴∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式训练】1.如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵AB∥CD，∴，∴A选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B选项正确，不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D选项不正确，符合题目要求．故选D．2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（

）A．先变长后变短 B．先变短后变长C．不变 D．先变短后变长再变短【答案】C【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四边形CDFE为矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.设=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的长是定值不变，∴当人从点走向点时两段影子之和不变．故选：C.3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．【答案】2【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【详解】解：延长CF、BA交于M，∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．4．图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．【答案】【详解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．5．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析【详解】（1）BF⊥AD，在和中，∵，∴；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=AG，∴，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．【考点三母子型相似】【基本模型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．(1)求证：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．【变式训练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．3.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如图，取CE的中点M，连接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【考点四手拉手型相似】【基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，；（2）四边形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的边长为．【变式训练】1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）A．10° B．20° C．40° D．无法确定【答案】B【解答】ACAE=23，ABAD=∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证；（2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解；（3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC∴△ABC为等边三角形，∴，由旋转的性质可得：，∴△PBD为等边三角形∴，∴在和中∴∴（2）过点作，如下图：∵当α＝120°时，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋转的性质可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度当在线段上时，如下图：由题意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋转的性质可得：设，则由勾股定理可得：即，解得则当在线段延长线上，如下图：则，由（2）得，设，则由勾股定理可得：即，解得则综上所述：点D到CP的距离为或【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．【考点五K字型相似】【基本模型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）CD＝．【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝.【变式训练】1．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已证：，，即，解得．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．2.如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）当△CEF的面积最大时，求EC．【答案】（1）见解析.（2）8.（3）EC=5.【详解】解：（1）四边形是正方形，，，，，，，；（2），，，，，由（1）知，，，，，；（3）设，则，，由（1）知，，，，，，当时，．3．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，，又，，，设，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．【考点六三角形内接矩形】【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，例题：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DE