八年级数学下册 分式综合特训（压轴30题）（解析版）

专题07分式综合特训（压轴30题）一．选择题（共2小题）1．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．13 B．15 C．20 D．22【答案】B【解答】解：原不等式组的解集为﹣＜x≤，因为不等式组有且仅有四个整数解，所以0≤＜1，解得2≤m＜7．原分式方程的解为y＝，因为分式方程有非负数解，所以≥0，解得m＞1，且m≠5，因为m＝5时y＝2是原分式方程的增根．所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6＝15．故选：B．2．已知方程﹣a＝，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4【答案】D【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即（a﹣4）（a+1）＝0，解得：a＝4或a＝﹣1，经检验a＝4是增根，故分式方程的解为a＝﹣1，已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，∵不等式组只有4个整数解，∴3≤b＜4．故选：D．二．填空题（共10小题）3．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝，∴＝3，即+＝3①；同理可得+＝4②，+＝5③；∴①+②+③得：2（++）＝3+4+5；++＝6；又∵的倒数为，即为++＝6，则原数为．故答案为．4．（1）已知，则＝；（2）已知，则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由＝2，得到1+3•＝2，则＝；（2）由﹣＝5，得到＝5，即a﹣b＝﹣5ab，则原式＝＝＝，故答案为：（1）；（2）．5．有正整数x＜y＜z，且k为整数，，则（y+z）x＝81．【答案】81．【解答】解：∵x，y，z为正整数，且x＜y＜z，∴x≥1，y≥2，z≥3，∴，即，又∵k为整数，∴k＝1，x≠1．若x≥3，则，即，∴x只能为2，∴即，若y≥4，则，即+≤＜．∴y只能为3，∴，即z＝6，综上，（y+z）x＝（3+6）2＝92＝81．故答案为：81．6．已知abc≠0，且，则的值是﹣1或8．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝，∴b（a+b﹣c）＝c（a﹣b+c），∴ab+b2﹣bc﹣ac+bc﹣c2＝0，∴（b﹣c）（a+b+c）＝0，∴b＝c或a+b＝﹣c，同理：a＝b或b+c＝﹣a，a＝c或a+c＝﹣b，当b＝c，a＝b，a＝c时，原式＝＝8；当a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b时，原式＝＝﹣1．故答案为：8或﹣1．7．某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵数为初一、初二平均每人植树的棵数之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵数都有所降低，高一年级平均每人植树的棵数降低50%，高二年级平均每人植树的棵数降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵数不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵数为整数，则四个年级全天一共植树1224棵．【答案】1224【解答】解：设年级初一初二高一高二抽调植树的人数（人）5x3x4y3y上午平均每人植树棵数（棵）mnm2（m+n）下午平均每人植树棵数（棵）m0（1﹣50%）m×2（m+n）∵上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，∴3＜m＜10．∵上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，∴30＜m+n+m+2（m+n）＜40，即30＜4m+3n＜40，∴20＜3m+3n＜37．又∵下午四个年级平均每人植树的棵数为整数，∴（m+n）为5的倍数，m为2的倍数，∴m+n＝10．∴m取4或6或8．∵上午四个年级一共植树714棵，∴5xm+3xn+4ym+3y×2（m+n）＝714，即2xm+30x+4ym+60y＝714．当m＝4时，代入得38x+76y＝714，两边同时除以38，x+2y不是整数，所以m＝4舍去；当m＝6时，代入得42x+84y＝714，两边同时除以42，x+2y＝17．当m＝8时，代入得46x+92y＝714，两边同时除以46，x+2y不是整数，所以m＝8舍去；所以m＝6．则下午一共植树5xm+4y×（1﹣50%）m+3y××2（m+n）＝30x+60y＝30（x+2y）＝30×17＝510．∴四个年级全天一共植树714+510＝1224（棵）．8．已知a2﹣3a﹣1＝0，求a6+120a﹣2＝1309．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a2﹣3a﹣1＝0，∴a2＝3a+1，a6＝（a2）3＝（3a+1）2（3a+1）＝（9a2+6a+1）（3a+1）＝[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）＝（33a+10）（3a+1）＝99a2+63a+10＝99（3a+1）+63a+10＝360a+109，∵a2﹣3a＝1，120a﹣2＝（a2﹣3a）＝120﹣＝120﹣×（a2﹣3a）＝120﹣360a+1080，∴a6+120a﹣2＝360a+109+120﹣360a+1080＝1309．9．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可知第一次倒出：，第二次倒出：，第三次倒出：，…第n次倒出：，∴第10次倒出：，∴倒了10次后容器内剩余的水量＝1﹣（++…+）＝1﹣（+﹣+﹣+…+﹣）＝1﹣（1﹣）＝．故答案是．10．式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里的符号“”是求和的符号，如“1+3+5+7+…+99”即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为．通过对以上材料的阅读，请计算：＝（填写最后的计算结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案为：．11．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．已知a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2012＝﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a1＝3，a2为a1的差倒数，∴a2＝＝﹣，又a3为a2的差倒数，∴a3＝＝，又a4为a3的差倒数，∴a4＝＝3，又a5为a4的差倒数，∴a5＝＝﹣，同理a6＝，a7＝3，…，∵2012÷3＝670…2，∴a2012＝﹣．故答案为：﹣12．对于正数x，规定，例如：，，则＝2011.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵当x＝1时，f（1）＝，当x＝2时，f（2）＝，当x＝时，f（）＝；当x＝3时，f（3）＝，当x＝时，f（）＝…，∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，…，∴f（n）+…+f（1）+…+f（）＝f（1）+（n﹣1），∴＝f（1）+（2012﹣1）＝+2011＝2011.5．故答案为：2011.5．三．解答题（共18小题）13．先化简，再求值：+÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+•＝+＝，当x＝3时，原式＝＝．14．巴西世界杯正在激战中，周六晚上小明打算和朋友乘出租车去某大型酒吧观看世界杯，有两条路线可供选择：路线一的全程25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均速度比走路线一时的平均速度能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．求小明走路线一时的平均速度．【答案】见试题解答内容【解答】解：设小明走路线一的平均速度是x千米/小时，则小明走路线二的平均速度是x（1+80%）千米/小时，由题意，得＝+，解得：x＝50经检验，x＝50是原方程的解．故小明走路线一的平均速度是50千米/小时．答：小明走路线一的平均速度是50千米/小时．15．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是②（填写序号即可）；（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：＝＝小强：＝＝显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，请你接着小强的方法完成化简．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）②分式＝，不可约分，∴分式是和谐分式，故答案为：②；（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，∴a＝4，a＝5；（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，原式＝＝＝＝故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．16．解关于x的方程﹣＝时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下两种情况：令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k＝﹣，综上所述，k的值为﹣5，或﹣．17．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了9200元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店按照进价提高m%标价，要使利润不低于10920，请问m最少是多少？【答案】（1）甲种购进120件，乙种购进60件．（2）70．【解答】解：（1）设乙种购进x件，则甲种购进2x件，根据题意，得：，解得：x＝60，经检验x＝60是所列分式方程的解，2x＝120，答：甲种购进120件，乙种购进60件．（2）乙种款型的进价为：＝（元），甲种款型的进价为﹣30＝（元），根据题意，得：+≥10920+9200+6400，解得：x≥70，答：m最少是70．18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：＝＝+＝1+，＝＝+＝2+，则和都是“和谐分式”．（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是①③④（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：＝a﹣1+；（3）应用：先化简﹣÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①＝1+，是和谐分式；③＝＝1+，是和谐分式；④＝1+，是和谐分式；故答案为：①③④；（2）＝＝＝a﹣1+，故答案为：a﹣1、；（3）原式＝﹣•＝﹣＝＝＝2+，∴当x+1＝±1或x+1＝±2时，分式的值为整数，此时x＝0或﹣2或1或﹣3，又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2，∴x＝﹣3．19．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，依题意得：+＝1，解得x＝20，检验，当x＝20时，3x≠0，所以原方程的解为x＝20．所以3x＝3×20＝60（天）．答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y（+）＝1，解得y＝15．需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．∵510＞500，∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．20．已知＝++，试求A+B+2C的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝++∴＝∴＝∴∴A＝1，B＝﹣3，C＝3∴A+B+2C＝4．21．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有5种进货方案；（3）当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：，解得：m＝9．经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；（3）设总获利为W万元，购进A款汽车y辆，则：W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a．当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同．22．先阅读下列解法，再解答后面的问题．已知＝+，求A、B的值．解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），∴．解得．解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得2A+B＝4；取x＝3，有+B＝，整理得A+2B＝5．解，得：．（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．（2）计算：[]（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）等号右边通分、再去分母，得：11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），∴，解得：；（2）原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）×（x+11）＝×（﹣）×（x+11）＝××（x+11）＝，∵式子的值为正整数，∴x﹣1＝1、2、3、6，则x＝2、3、4、7．23．已知a+a﹣1＝3，求a4+的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a+a﹣1＝3，∴a+＝3，则（a+）2＝9，即a2+2+＝9，a2+＝7，∴（a2+）2＝49，即a4++2＝49，则a4+＝47．24．对于正数x，规定：f（x）＝．例如：f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝．（1）求值：f（3）+f（）＝1；f（4）+f（）＝1；（2）猜想：f（x）+f（）＝1，并证明你的结论；（3）求：f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2016）+f（2017）的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）f（3）＝，f（）＝＝，f（4）＝，f（）＝＝，则f（3）+f（）＝1；f（4）+f（）＝1；故答案为：1；1；（2）猜想：f（x）+f（）＝1，理由为：f（）＝＝，f（x）＝，则f（x）+f（）＝+＝＝1；故答案为：1；（3）原式＝[f（）+f（2017）]+[f（）+f（2016）]+…+[f（）+f（2）]+f（1）＝2016+0.5＝2016.5．25．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设原计划每天加工x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得，﹣2＝，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，答：原计划每天加工20个；（2）设加工竖式纸盒m个，横式纸盒n个，由题意得，，解得：．答：加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个恰好能将购进的纸板全部用完．26．观察下面的变形规律：＝﹣；＝﹣；＝；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，若写成上面式子形式，请你猜想＝﹣；（2）说明你猜想的正确性；（3）计算：+++…+＝；（4）解关于n的分式方程：+++…+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）猜想得到＝﹣；（2）﹣＝﹣＝＝，∴＝﹣；（3）原式＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；（4）已知方程整理得：1﹣+﹣+…+﹣＝，即＝，去分母得：n2+9n＝n2+8n+7，解得：n＝7，经检验n＝7是分式方程的解．故答案为：（1）﹣；（3）．27．阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a＝2，b＝1∴＝＝+＝x2+2+这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）试说明当﹣1＜x＜1时，的最小值为10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设﹣x4﹣8x2+10＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∴，解得：a＝9，b＝1，则原式＝＝x2+9+；（2）由原式＝x2+9+，得到当﹣1＜x＜1时，即x＝0时，x2+9与分别取得最小值，则x＝0时，原式的最小值为10．28．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独