2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末综合测评含解析新人教B版必修第一册

PAGE1章末综合测评(一)集合与常用逻辑用语(满分：150分时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．0∈ B．eq\r(5)∈QC．⊆ D．A∪＝C[空集中不含任何元素，A错误．eq\r(5)是无理数，B错误．A∪＝A，D错误，应选C.]2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(∁RB)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}B[由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}，∴A∪(∁RB)＝{x|x≥－1}．故选B.]3．满意{1}⊆X{1，2，3，4}的集合X有()A．4个 B．5个C．6个 D．7个D[集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个．故选D.]4．命题“对随意x∈R，都有x2≥1”A．对随意x∈R，都有x2＜1B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x∈R，使得x2≥1D.存在x∈R，使得x2＜1D[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对随意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.5．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”A．∃x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0C．∀x∈R，x3－x2＋1>0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0C[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.6.“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”7．下列命题中，真命题是()A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1B．∀x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．∃x∈R，x2＋2≤0A[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满意a＋b＝0，但eq\f(a,b)＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.]8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的全部A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7} D．C[当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝⊆B当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠要使A⊆B，需有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－5≤16，,2a＋1≥5，))解得2≤a≤7.综上可知，a≤7.故选C.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．a2＞b2的一个充分条件是()A．a＞b B．a＜bC．a＞|b| D．a＝2，b＝1CD[A中，当a＝0，b＝－2时，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，a＞|b|两边平方得a2＞b2，能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故选C、D.]10．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a<0 B．a＜－2C．a<－1 D．a＜1BC[方程有一个正根和一个负根时，依据根与系数的关系知eq\f(3,a)＜0，即a＜0，故a＜0是一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件，其充分不必要条件应为(－∞，0)的真子集，故选B、C.]11．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么mA．0B．1C．2D．3AB[依据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m又∵A⊆∁RB，∴2m≤解得m≤1，故m的值可以是0，1.故选A、B.]12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对随意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是()A．数域必含有0，1两个数；B．整数集是数域；C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；D．数域必为无限集．AD[数集P有两个元素m，n，则肯定有m－m＝0，eq\f(m,m)＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，eq\f(1,2)Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{eq\r(2)}，则1∈M，eq\r(2)∈M，但1＋eq\r(2)M，所以C不正确；数域中有1，肯定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________．{x|x≤1}[∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}．]14．命题“∀x∈[1，2]，使x2－a≥0”是真命题，则a{a|a≤1}[命题p：a≤x2在[1，2]上恒成立，y＝x2在[1，2]上的最小值为1，∴a≤1.]15．已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，当k＝4时，P∩Q＝________；当P∩Q＝时，k的取值范围是________．(本题第一空2分，其次空3分){5}k＜2或k＞4[当k＝4时，Q＝{x|5≤x≤7}，∴P∩Q＝{5}；当P∩Q＝时，若Q＝时，k＋1>2k－1，∴k<2，P∩Q＝成立；若Q≠，∴k＋1≤2k－1，即k≥2.由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≥2，,2k－1<－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≥2，,k＋1>5.))∴k>4.综上所述，k的取值范围是{k|k<2或k>4}．]16．已知集合M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以(－1)k再求和，则对M的全部非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________．16[因为M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A共有15个，分别是{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，其中数字1，2，3，4都出现了8次.依题意得：8×[1×(－1)1＋2×(－1)2＋3×(－1)3＋4×(－1)4]＝16.]四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：(1)p：对随意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.[解](1)由于命题中含有全称量词“随意的”，因而是全称量词命题；又由于“随意”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“随意一个”，因此，￢p：对随意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁RA，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B.[解]结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，又∵A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∴∁R(A∩B)＝∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，∴(∁RA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．19．(本小题满分12分)已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R且a≠0.(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[解](1)设p：A＝{x|x－2＞0}，即p：A＝{x|x＞2}，q：B＝{x|ax－4＞0}，因为p是q的充分不必要条件，则AB，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(4,a)＜2，))解得a＞2.所以实数a的取值范围为a＞2.(2)由(1)及题意得BA，①当a＞0时，由BA得eq\f(4,a)＞2，即0＜a＜2；②当a＜0时，明显不满意题意．综上可得，实数a的范围为0＜a＜2.20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．[解](1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}．(2)由A⊆B，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＞2m，,2m≤1，,1－m≥3，))解得m≤－2，即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠.(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；(2)若A∩B＝，求a的取值范围．[解](1)∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a≥4，))解得a的取值范围为eq\f(4,3)≤a≤2.(2)∵B＝{x|a＜x＜3a}且B≠，∴a＞0.若A∩B＝，∴a≥4或3a≤2，∴a的取值范围为0＜a≤eq\f(2,3)或a≥4.22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)的充要条件是xy＞0.[证明]法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得eq\f(x,xy)＞eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)＜eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＜0，即eq\f(y－x,x