河南省周口市太康县2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/2太康县2022-2023学年上期高一期末质量检测数学试题考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设p：或，q：或，则p是q的（）条件．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】首先得到或是或的真子集，从而判断出p是q的必要不充分条件.【详解】因为或是或的真子集，故，但，故p是q的必要不充分条件.故选：B2.与-2022°终边相同最小正角是（）A.138° B.132° C.58° D.42°【答案】A【解析】【分析】根据任意角的周期性，将-2022°化为，即可确定最小正角.【详解】由-2022°，所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.故选：A3.设均为正数，且，，．则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，，的图象，与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．【详解】4.已知是定义域为的奇函数，且满足.若2，则（）A.2 B.0 C.-2 D.4【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及可推导出的周期为4，然后算出的值，再利用周期性就可以求出答案.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以.由，可得，所以，.因为，，，所以，，，所以.故选：B.5.已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（）A.的最小正周期为B.C.关于直线对称D.将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称【答案】D【解析】【分析】根据图象求出，和的值，然后利用三角函数的图象和性质即可求解．【详解】解：由图可知，，即，故选项A正确；由，可得，则，因为，即，所以，，得，，因为，所以，所以，故选项B正确；由，可得，即关于直线对称，故选项C正确；将的图象向左平移个单位长度后得到，所以为偶函数，图象不关于原点对称.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.【详解】因，故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题7.若正数a,b满足a+b=2,则的最小值是A.1 B. C.9 D.16【答案】B【解析】【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.【详解】∵，∴，又∵，，∴，当且仅当，即，时取等号,的最小值是,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为A.15 B.25 C.40 D.130【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，令，结合分段条件，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，令，若，则，不合题意；若，则，满足题意；若，则，不合题意．故该公司拟录用25人．故选B【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中合理利用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题B.“”是“”的充要条件C.命题“”的否定是“”D.若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是【答案】CD【解析】【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．【详解】是无理数，是有理数，A错；时，，但，不是充要条件，B错；命题的否定是：，C正确；“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确．故选：CD．【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．10.已知，，且，下面选项正确的是（）A. B.或C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据同角的基本关系和可求出的值，进而求出的值，然后就可以验证C，D选项.【详解】由，，可得，，，解得或.，，经检验，当时，，不合题意，，此时，，故A项正确，B项错误，CD项正确.故选：ACD.11.若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由“理想函数”的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】由题中①知，为奇函数；由题中②知，为减函数.在A中，函数为定义域上奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；在B中，函数为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；在C中，函数为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；在D中，函数的大致图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”.故选：BD.12.已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（）A.该函数解析式为B.函数的一个对称中心为C.函数的定义域为D.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为.【答案】ABC【解析】【分析】由三角函数的性质求出函数解析式为可判断A；可判断B；求函数的定义域即为，解不等式可判断C；由三角函数的平移变化结合三角函数的奇偶性可判断D.【详解】由题意知，该函数最小正周期为，解得，即，将点代入，得，所以，函数解析式为，选项A正确；对于选项B，，因而选项B正确；对于选项C，，满足，所以，解得，从而选项C正确；对于选项D，由题意，，根据该函数为奇函数，知，从而得到，所以b的最小值为，故选项D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】首先利用二倍角公式化简，再变形为的齐次分式形式，用表示，代入即可求解.【详解】.故答案为：14.若幂函数为偶函数，则________.【答案】【解析】【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.【详解】∵函数为幂函数，∴，解得或，又∵为偶函数，∴，故答案为：.15.已知函数，，，如图是的部分图象，则______【答案】【解析】【分析】化简函数为正弦型函数，根据五点法画图，结合图象过点和求出和的值，求出的解析式，进而得出答案.【详解】．由题图可知，即，由于点在单调递增的区间内，所以，解得，根据题意知，由图象过点，则，解得，故，则．故答案为：．16.已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由题意，可知函数在定义域内不是单调函数，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性，即可得到结论.【详解】由题意可得函数在定义域内不是单调函数，由函数为增函数，且时，，则时，或，解得或，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中根据题意得出分段函数不是单调函数，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）原式（2）原式18.已知命题，，命题，.（1）若命题和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）分为两种情况，命题为真、q为假时和为假、q为真时实数a的取值范围；进而求出最终结果；（2）法一：分别求出p真q假，p假q真，p真q真时a的取值范围，再求并集；法二：先考虑反面，即p，q均为假命题时a的取值范围，再求补集.【小问1详解】若命题，为真命题，则，即.所以若为真命题，则.若命题，为真命题，则，即.若为真命题，则.①当为真，q为假时，为真，即所以；②当为假，q为真时，p为真，即无解，舍去.综上所述，当命题和命题q有且只有一个为真命题时，a的取值范围为.【小问2详解】法一：①当p真q假时，为真，即所以；②当p假q真时，为真，即所以；③当p真q真时，无解，舍去.综上所述，a的取值范围为或.法二：考虑p，q至少有一个为真命题的反面，即p，q均为假命题，即为真，且为真，则解得，即，故p，q至少有一个为真命题时，a的取值范围为的补集.故a的取值范围为或.19.设函数．（1）设，求函数的最大值和最小值；（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间．【答案】（1），；（2），【解析】【分析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数图像特性即可求其最大值和最小值；(2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.【小问1详解】，∵，，∴，∴函数的最大值为，最小值为．【小问2详解】，∵该函数为偶函数，∴，得，又∵，∴k取0，，∴，令，解得，从而得到其增区间为．20.已知函数．（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性(并予以证明)；（2）求使的x的取值范围．【答案】（1）；奇函数；证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）求得函数的定义域，结合函数的奇偶性的定义，即可求解；(2)由，得到，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，使函数有意义，必须有，解得，所以函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，所以所以函数是奇函数.(2)由，可得，当时，可得，解得的取值范围是(0，)．当时，有，解得的取值范围是(－，0)．综上所述，当时，x的取值范围是(0，)，当时，x的取值范围是．21.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.【解析】【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最