天津市南开中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/22022—2023学年度第一学期南开学校（高一）年级期末自测试卷数学试题第Ⅰ卷选择题（70分）一、选择题：本卷共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以.故选：A2.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据周期公式直接求解即可.【详解】的最小正周期为，故选：C3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案.【详解】特称量词的否定是全称量词：命题“，”否定是，故选：【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力.4.已知x、y都是实数，那么“”的充分必要条件是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A，，故“”是“”的充分不必要条件，不符合题意；对于B，，即“”是“”的充要条件，符合题意；对于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据，进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．5.已知为角终边上一点，则（）A.7 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用齐次化将弦化切进行求解.【详解】为角终边上一点，故，故.故选：B6.设函数，则函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理分析可得结果.【详解】因为函数图象连续不断，且，,,，，所以函数的零点所在区间是.故选：C7.已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（）．A.或2 B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.【详解】是幂函数，，解得或2，当时，在上是减函数，符合题意，当时，在上是增函数，不符合题意，.故选：C.8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.b＜c＜a B.a＜b＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b【答案】A【解析】【分析】分别将与比较确定它们的大小关系．【详解】；；．故．故选：A．9.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意求得和的值，结合两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由，，可得，，则.故选：D.10.已知命题p：函数是R上的减函数，命题q：对都成立.若命题p和命题q中有且只有一个真命题，则实数a的取值范围（）A.（2，3） B. C.（2，4） D.（3，4）【答案】B【解析】【分析】分别求出命题成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可.【详解】函数是上的减函数，解得：对都成立,则，解得：，当命题成立命题不成立时：，解得：不存在当命题成立命题不成立时，，解得：实数取值范围为：故选：B11.已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，数形结合求解.【详解】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：故选：A.12.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数奇偶性，可排除A，C，根据当时，即可排除B．得出答案.【详解】因为，所以，所以为奇函数，故排除A，C．当时，，，则，故排除B，故选:D．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.13.已知函数是定义在区间上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，根据以及函数的单调性可解得结果.【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数，所以，解得，可化为，因为在区间上单调递增，所以，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：根据以及函数的单调性解不等式是解题关键.14.已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果.【详解】当时，单调递减，则，当时，单调递减，则，所以当时，，所以，因为在上单调递增，所以，因为对任意的，总存在使得成立，所以，所以，解得，故选：C第Ⅱ卷（80分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.15.已知函数的图象恒过点A，则点A的坐标为______.【答案】【解析】【分析】由，令真数为，即代入求值，可得定点坐标．【详解】∵，∴当时，，∴函数的图象恒过定点故答案为：16.已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形的面积，解得：，此扇形所含的弧长.故答案为：.17.（1）______；（2）的值为______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据指数幂以及对数运算性质，以及特殊角对应三角函数值，直接化简求解即可；（2）根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，直接化简求解即可.【详解】（1）；（2）.故答案为：；.18.已知，且，求的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据，利用基本不等式可求得最小值.【详解】，且，（当且仅当，即时取等号），.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.19.已知，，则______；（2）______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，求出，，再由二倍角公式以及两角和的正切公式求解即可.【详解】因为，，所以，则，所以；.故答案为：；.20.若函数在区间单调递增函数，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数是上的单调递增函数，则满足，解得，所以实数a的取值范围.故答案为：21.已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是______.①函数的图象关于点对称；②函数的图象关于直线对称；③函数在单调递减；④是以为最小正周期的周期函数；⑤可改写为.【答案】①②⑤【解析】【分析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】解：由函数图象可得，最小正周期，所以，故④错误；当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数.对于①，当时，，即点是函数的一个对称中心，故①正确；对于②，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故②正确；对于③，令，解得，则函数的单调递减区间为，故③错误；对于⑤，，故⑤正确.故答案为：①②⑤.三、解答题：本大题共3个小题，共45分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.22.已知函数.（1）求函数的最小正周期和函数的单调递减区间；（2）当时，求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值.【答案】（1），函数的单调递减区间为；（2）当时，取最大值为；当时，取最小值为.【解析】【分析】（1）利用两角和差正弦公式公式和辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期公式和正弦函数单调性结论求解即可；（2）根据函数在上的单调性确定其最大值、最小值及相应的自变量x的值..【小问1详解】由已知，所以，所以的最小正周期为.由化简可得，所以函数的单调递减区间为；【小问2详解】由(1)可得函数的单调递减区间为，同理可得函数的单调递增区间为，因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以，当时，取最大值为；当时，取最小值为.23.已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的解析式；（2）判断并证明在上的单调性；（3）解不等式.【答案】（1）（2）在上单调递增（3）【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出，得到函数解析式，再验证即可；（2）任取，且，作差比较与，进而可根据单调性定义判断出结果；（3）根据函数单调性，结合题中条件列出不等式组求解，即可得出结果.【小问1详解】因为是定义域为上的奇函数，所以，即，解得，所以，又，所以是奇函数，符合题意；【小问2详解】任取，且，则，因为，所以，，因此，即，所以在上单调递增；【小问3详解】由得，因为在上单调递增；所以，解得.故原不等式的解集为.24.已知函数，其中为常数.（1）若不等式的解集是,求此时的解析式；（2）在（1）的条件下，设函数，若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；（3）是否存在实数使得函数在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程关系，利用韦达定理，即可求解；（2）根据二次函数图像确定对称轴和区间的关系，即可求解；（3）由二次函数图像，求出函数可能取到的最大值，建立方程，求出参数，回代验证；或由对称轴，分类讨论，确定二次函数图象开口方向，函数在上的单调性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得结论.【详解】解：(1)由题意得：是的根∵，解得∴(2)由（1）可得，其对称轴方程为若在上为增函数，则，解得综上可知，的取值范围为(3)当时，，函数在上的最大值是15，不满足条件当时，假设存在满足条件的，则最大值只可能在对称轴处取得，其中对称轴①若，则有，的值不存在，②若，则，解得，此时，对称轴，则最大值应在处取得，与条件矛盾，舍去