黄金卷：2024-2025学年高二上学期入学摸底考试数学试卷-数学2（含答案及解析）

新高二开学摸底考试卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：函数导数、计数原理、统计概率注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种2．设随机变量，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.63．2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（

）A．102种 B．105种 C．210种 D．288种4．下列求导运算中错误的是（

）A． B．C． D．5．我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（

）A． B． C． D．6．若的二项式展开式中的系数为10，则（

）A．1 B．-1 C．±1 D．±27．已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（

）A．在区间上单调递减B．当时取得最大值C．在区间上单调递减D．当时取得最小值8．下列说法正确的序号是（

）①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小；④已知随机变量服从正态分布，且，则.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④9．已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（

）①；②在上是单调函数；③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是．11．已知，则，.12．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有个.13．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是.14．已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有线性相关关系，且回归方程为，则．15．已知函数，若，，则实数k的最大值是．三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（13分）“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．（15分）已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值.（15分）为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队2人，甲、乙两人组成“冲锋队”参加比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率；(2)求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率．（16分）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差（16分）已知函数，，其中．(1)若，求实数a的值(2)当时，求函数的单调区间；(3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围．

新高二开学摸底考试卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】B【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有种可能选法，故共有种选法.故选：B.2．设随机变量，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6【答案】B【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由于随机变量,所以，又因为所以，所以.故选：B3．2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（

）A．102种 B．105种 C．210种 D．288种【答案】C【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解.【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有种，其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有种，故符合条件的选法共有种.故选：C4．下列求导运算中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】借助导数的运算法则及复合函数求导法则计算即可得.【详解】对A：，故A正确；对B：，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D正确.故选：C.5．我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，找到样本空间和抽到祖冲之事件的样本点，根据古典概率求解.【详解】记祖冲之为，其余4位数学家为，则从五位数学家中任意抽取2位,样本空间为，其中抽到祖冲之为，所以抽到祖冲之的概率为.故选：A6．若的二项式展开式中的系数为10，则（

）A．1 B．-1 C．±1 D．±2【答案】A【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.【详解】由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得.故选：A.7．已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（

）A．在区间上单调递减B．当时取得最大值C．在区间上单调递减D．当时取得最小值【答案】C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.【详解】由图可知，时，，为增函数；时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值；时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值；时，，为减函数；综上可得只有C正确.故选：C8．下列说法正确的序号是（

）①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小；④已知随机变量服从正态分布，且，则.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④【答案】D【分析】根据回归方程的定义和性质即可判断①②；随机变量的观测值越小，则“与有关系”的把握程度越小，即可判断③；根据正态曲线的对称性即可判断④【详解】对于①，在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位，故①正确；对于②，用随机误差的平方和，即，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，由于平方又叫二乘，所以这种使“随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理，故②正确；对于③，对分类变量与，对它们的随机变量的观测值越小，则“与有关系”的把握程度越小，故③错误；对于④，随机变量服从正态分布，且，则，故④正确.故选：D.9．已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（

）①；②在上是单调函数；③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由偶函数的性质分析求出,根据复合函数的单调性，即可判断①，结合导数判断函数单调性即可判断②，根据函数的单调性即可求解最值判断③,根据函数的最值即可判断④.【详解】函数是偶函数，则有，即，，①正确；则，设，由于，易知在上单调递增，则，所以在上为增函数，而为增函数，则在上是单调函数，②正确；，当且仅当时，等号成立，则的最小值为，③正确；为偶函数且在上为增函数，其最小值为，由于，所以，故方程没有实数根；④错误．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求出导数，由题意得在上恒成立，由分离参数思想可得结果.【详解】由得，由于函数在区间内单调递减，即在上恒成立，即，即得在恒成立，所以.故答案为：11．已知，则，.【答案】【分析】利用赋值法分别令和代入计算即可求得结果.【详解】令，可得，令，可得，即.故答案为：12．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有个.【答案】30【分析】根据题意，分在个位与不在个位种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分种情况讨论：①在个位，在剩下的个数字中任选个，安排在百位、个位，有种选法，②不在个位，需要在、中选个，个位有种选法，不能在首位，则首位有种选法，则十位有种选法，此时有种选法，则一共可以组成个无重复数字的三位偶数.故答案为：3013．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是.【答案】【分析】根据给定条件，利用对立事件及全概率公式计算即得.【详解】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为，小明上班不迟到的事件为，则，且两两互斥，依题意，，，因此，所以某天上班他迟到的概率.故答案为：14．已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有线性相关关系，且回归方程为，则．【答案】【详解】将代入回归方程为，可得，应填答案．点睛：解答这类问题的常规方法就是先求出，再借助这个点的坐标满足回归方程为这一结论，将其代入回归方程可方程，然后通过解方程得到，使得问题获解．15．已知函数，若，，则实数k的最大值是．【答案】【分析】根据题意，转化为即，设，利用导数求得函数单调性与最大值，即可求解.【详解】由，可得，即，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，取得最大值，最大值为，因为，，所以，所以实数的最大值为.故答案为：.三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．【详解】（1）补全的列联表如下：不喜爱喜爱合计男性3090120女性255580合计55145200根据表中数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则．②的可能取值为，，，的分布列为；X234P数学期望.17．已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值.【详解】（1）函数的定义域为R.导函数.所以，，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）令，解得：或.列表得：x13+2+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；的极大值为，极小值为.18．为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队2人，甲、乙两人组成“冲锋队”参加比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率；(2)求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率．【详解】（1）设事件为甲恰好答对一道题，事件为乙恰好答对两道题，，，所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为．（2）设事件为“冲锋队”最终得6分，事件为“冲锋队”最终得5分，，，，所以“冲锋队”最终得分不超过4分的概率为．19．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，