2024-2025学年吉林省通化市梅河口五中高三上学期9月月考数学试题及答案

高三数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax0x2,Bxxx21.已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）xx1或푥>2}或xx01x2A.C.B.D.x1x2x1x4cosxfx2.函数1的部分图象大致为（2）xx2A.B.D.Cx22y22ab10的两焦点为F1F2FF，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形123.椭圆，ab的另两条边，则椭圆的离心率为（）123A.B.C.423D.312的一段图象如图所示，则（fxAsinxA0,4.已知）第1页/共6页4A.fxsin2x8fx,0B.C.的图象的一个对称中心为8的单调递增区间是fxk,k,kZ8D.函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象fx85.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）23A.πB.23πC.4πD.43π311a2025sin,b,ctan2025，则a,b,c6.若的大小关系为（）20252025A.abcB.acbC.cbacabD.7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺，直至某一串灯笼被摘完为止，则右侧灯笼先被摘完的概率为（）第2页/共6页12357A.B.C.D.8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字nn的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字rn的概率记为，则下列结论正确的是（）nn10n2489r349rn1r59p，④．10①，②，③nA.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.π6fx2024sin2x9已知函数，则（）π的图象关于直线对称fxxA.B.6π的图象关于点fx,0对称ππ,C.在区间fx上单调递减66ππ32D.在区间fx,的值域为2024Mmm0,F为抛物线C:y24xN,Q为C上不重合的两个动点，O为坐标10.已知点原点，若直线（直线斜率存在且不为0）与C仅有唯一交点N，则（第3页/共6页）A.C的准线方程为x1B.若线段与C的交点恰好为中点，则m22C.直线与直线垂直322，则D.若11.如图所示的曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O1为坐标原点）动点P到点1F1,0,F1,0的距离满足：2）PF1212，则（24A.|푂푃|的最大值是20,0是曲线上一点，且在第一象限，则y020B.若yxC.Γ与有1个交点1D.面积的最大值是14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）y2px(p0)ABAF3，2的焦点为，过点作直线交抛物线于FF12.设抛物线，两点，若BF2p，则___________．yxx处的切线与曲线ax2(a2)xa相切，则a________．13.若曲线在点y214.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目31标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互2独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．四、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.bcosC15.在VABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a23，且bsinC2．tanB（1）求角A的大小；（2）求VABC面积的最大值．16.已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，an＋1＝2Sn＋2.nn1（1）求数列{an}的通项公式；第4页/共6页（2）若2b＝3na，求数列{b}的前n项和T.nnnn4S17.在VABC中，角（1）求角B；,B,C的对边分别为a,,c,的面积为S，已知a2BabA.tanBS（2）若b△ABC的周长为，求的最大值.llOABCOABCP,Q,R,,CC上，且O,P,Q,R18.正四棱柱面.中OB2，点分别在四点共1111111（1）若，记平面OPQR与底面的交线为，证明：lAC∥l；π（2）已知,COR，若，求四边形OPQR面积的最大值.419.在高中数学教材苏教版选择性必修2胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的p概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个1p细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终211p22都走向灭绝的概率就是p2，于是我们得到：p2，计算可得p1；我们也可以设一个种群由一1p个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个2p细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是p)2，于是我们得到：1p0．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点p1p)2，计算可得2*处，他每步走动都会有p的概率向左移动1个单位，有1p的概率向右移动一个单位，Pn,0nN开始，最终掉入陷阱Pn,0代表当这个人由原点0处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以pn的概率．第5页/共6页13（1）若这个人开始时位于点处，且．P1,0p（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率1p0p1；11231，求p0nn1n1nN*p（ⅲ）已知，若；n3pp（2）已知是关于的连续函数．1pp1时，p1（ⅰ）分别写出当0和pp（ⅱ）求关于的表达式．1第6页/共6页高三数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax0x2,Bxxx21.已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）xx1或푥>2}或xx01x2A.C.B.D.x1x2x1x【答案】A【解析】【分析】由题可知图中的阴影部分表示ðAB，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.ABAB，【详解】由题可知图中的阴影部分表示ðABx或，Bxxx0xx12ABR,ABx1x，则ABxx1或푥>2}.所以ðAB故选：A.4cosxfx2.函数1的部分图象大致为（2）xx2A.B.第1页/共20页C.D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，的定义域为∣x0，fx4cos(x)4xf(x)f(x)11又因为，x(x)2xx222所以，为偶函数．fxπ3π3π5ππ当0时，，当x时，.fx0xfx时，，当0xfx022222故选：C．x22y22ab10的两焦点为F1F2FF为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形123.椭圆，，以ab的另两条边，则椭圆的离心率为（）123A.B.C.423D.312【答案】D【解析】AFABBFcF90，【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，1212由此建立a，c的齐次式，进而可得结果.【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，AFABBFcF90，易得，12122c231c2a，∴∴，∴1cce31a31，c2第2页/共20页故选：D.的一段图象如图所示，则（fxAsinxA0,4.已知）4A.fxsin2x8fx,0B.C.的图象的一个对称中心为8的单调递增区间是fxk,k,kZ8D.函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象fx8【答案】C【解析】【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；T，解得2，所以【详解】解：由图可知A1，，所以T2882，又函数过点，即1，所以fxsin2x,1fsin288822k,kZ，解得2k,kZ，所以，因为，所以8244第3页/共20页4，故A错误；fxsin2x842fsin2sin1，所以函数关于x因为对称，故B错误；882k2x2k,kZkxk,kZ，故函数的单调递增区间令，解得24288k,k,kZ，故C正确；为88ysin2x532将函数的图象向左平移个单位得sin2x2x为偶函数，fx884故D错误；故选：C5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）23A.πB.23πC.4πD.43π3【答案】A【解析】【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况①侧面展开图最大为半径为2的半圆，②侧面展开图最大为半径为22的四分之一圆，计算比较即可.【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，高为3，13233所以两个圆锥体积的最大值为12π13π．第4页/共20页方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为22的四分之一圆，2302因此一个圆锥的底面半径为，母线长为22，高为，221323030所以两个圆锥体积的最大值为22ππ．2262333061π2π，故选：A．11a2025sin,b,ctan2025，则a,b,c的大小关系为（6.若）20252025A.abc【答案】D【解析】B.acbC.cbacabD.π2ab，则sin1，由此可得ab，再证明a1c，【分析】结合结论若，证明由此可得结论.π211，则sin0，，且a2025sinb【详解】若202520251sina112025120252025tan20251，所以b202520252025所以ab，1120251，tan2025tan451，因为20252025ca所以所以，cab，故选：D．第5页/共20页7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺，直至某一串灯笼被摘完为止，则右侧灯笼先被摘完的概率为（）12357A.B.C.D.【答案】D【解析】2,3,4【分析】根据题意，得到摘取的次数为次，结合独立重复实验的概率计算公式，即可求解.2,3,4【详解】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为次，结合独立重复实验的概率计算公式，可得：21214当两次摘完时，可得概率为；3121C12；当三次摘完时，可得概率为441311441616311C13，则P.当四次摘完时，可得概率为2故选：D.8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字nn的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字rn的概率记为，则下列结论正确的是（）nn10n2489r349rn1r59p，④．10①，②，③nA.①②③B.①②④C.②③④第6页/共20页D.①②③④【答案】A【解析】rrrrnrn3n123n1正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求9,p出即可判断.10rrrrnrn3，n1【详解】由题意可知23n1rrrrr21rrrr则，，45678991011rn1r则①正确；显然，故②正确；nr，经过数字5的路线共有51365因为条.理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有51365条.8965245则，故③正确；8989893422189551349,10,即有910同理可得，故④错误.89898989故选:A．､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.π6fx2024sin2x9.已知函数，则（）π的图象关于直线对称fxxA.B.6π的图象关于点fx,0对称第7页/共20页ππ,C.区间fx上单调递减66ππ32D.在区间fx,的值域为2024【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.π【详解】因为fx2024sin2x，6π6ππππ选项A：，所以的图象关于直线对称，Af2024sin22024sin2024fxx6626说法正确；5π125ππ126π选项B：，所以的图象关于点对称，B说f2024sin22024sinπ0fx,0法正确；πππππππ,x2xysinxfx单调递增，所以在区间选项C：当时，，因为在6266662ππ66,上单调递增，C说法错误；ππππ7ππ7π,的值域为xysinx，因为2x选项D：当时，在26，32266ππ32所以在区间,的值域为2024,2024，D说法正确；fx故选：ABD10.已知点Mmm0,F为抛物线C:y24xN,Q为C上不重合的两个动点，O的焦点，为坐标原点，若直线（直线斜率存在且不为0）与C仅有唯一交点N，则（）A.C的准线方程为x1B.若线段与C的交点恰好为中点，则m22C.直线与直线垂直322，则D.若第8页/共20页【答案】ABC【解析】【分析】根据抛物线准线的定义即可判断A；求出线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可判断B；ymm0，联立方程，根据0，结合直线的斜率公式即可判断C设直线的方程为焦半径公式即可判断D.【详解】对于A，由抛物线抛物线C:y24x，得C1mx1，故的准线方程为A正确；m2,2，解得m22，故B正确；对于B，퐹(1,0)，则线段的中点坐标为，则224ymm0，对于C，设直线的方程为ymkxy2ym0Δ101，联立，消得，则，所以y24x4kkmk1，所以直线与直线垂直，故C正确；则对于D，设，则013x2，所以，0Qx,y00y208020223所以，所以，故D错误.故选：ABC.11.如图所示的曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O1为坐标原点）动点P到点1F1,0,F1,0的距离满足：2）PF1212，则（24A.|푂푃|的最大值是2第9页/共20页0,0是曲线上一点，且在第一象限，则y020B.若yxC.Γ与有1个交点1D.面积的最大值是14【答案】ACD【解析】xP运动到|푂푃|ABπ212yx与Γ的交点，即可结合x，tanxx求解C，利用判别式可得y，即可求解D.用xx【详解】由双纽线的对称性可知：当P运动到轴上时，此时|푂푃|最大，不妨设此时P在轴的正半轴t上，设此时，14由，解得1，得1tt1t，故|푂푃|的最大值是2，A正确，PF1212212设푃(푥,푦)，则x12y2x12y21，令x121，解得y252，而此时，则y4y2x22，不满足y2x，故B错误，x联立x12y2x12y21与y，则x12x2x12x21，解得x0，π2yxx，由A易知双纽线中，与曲线Γ只有一个交点，而x，tanxx2,2故直线与x2yx的交点情况，显然只有原点这1个交点，C正确，根据对称性，只需研究上Γ对于D，由x12y2x12y21可得x42y22x22y2y0，424y2t，则t22y22t2y2y40，该方程有实数根，故Δ2y2242y20，令x112y2y，故解得，411114SOPFy1yyP，故D正确，1PP2221故选：ACDπ2x2y2x12y21与yx【点睛】关键点点睛：根据x1的交点，结合，2y22t2y2y40的根，利用判别式tanxxyx的交点，由二次型方程t2，可判断Γ与可求解最大的纵坐标.第10页/共20页三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）y2px(p0)ABAF3，2的焦点为，过点作直线交抛物线于FF12.设抛物线，两点，若BF2p，则___________．12【答案】##2.45【解析】y21211294xx2【分析】设퐴(푥,푦)，퐵(푥,푦)，根据抛物的定义表示出，，再根据三角形相似得到，即11221yp可求出.p2py22px(p0)F,0x，准线为【详解】设퐴(푥,푦)，퐵(푥,푦)，抛物线的焦点为，11222pp3，BF2，根据抛物线的定义可得32，x1x，2因为22AA1xA1xB轴于点，1过点A作轴于点，过点B作1AAAFBF3则AFA1∽BFB，所以，11BB21p2p2125y222pxx1914392p所以1，即，解得．y2224112故答案为：．5yxx处的切线与曲线ax2(a2)xa相切，则a________．13.若曲线在点y【答案】8【解析】y2(a2)xa0计算可得.1yxxxy|2，y【详解】由，所以，则x1x第11页/共20页yxx在点处的切线为，即；y12x1y2x1所以曲线ax2(a2)xa相切，又由则y2x1与曲线yyax2(a2)x12ax20a0，ax，可得y2x1a2a8或a08a0，解得故答案为：8214.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目31标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互2独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．64【答案】【解析】81【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为32425642121PC35C45C55333.338164故答案为：.81四、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.bcosC15.在VABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a23，且bsinC（1）求角A的大小；2．tanB（2）求VABC面积的最大值．πA【答案】（1）3（2）33【解析】1）先利用正弦定理边化角，然后利用两角和的余弦公式及诱导公式变形可得答案；（2）先利用余弦定理及基本不等式求出bc【小问1详解】的最大值，进而可得面积的最大值.第12页/共20页bBcosC3bsinC23a，sinB3(sinBsinCBC)sinA，3cos(BC)3AsinA3，，Aπ0Aπ；A3【小问2详解】由余弦定理可得：a2b2cbcA，2即b则b22cc22bc12，bc12，当且仅当bc12bcbc，时，等号成立．113SbcsinA1233，222ABC面积的最大值为33．16.已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，an＋1＝2Sn＋2.nn1（1）求数列{an}的通项公式；（2）若2b＝3na，求数列{b}的前n项和T.nnnnan2n1(nN)【答案】（1）(2nn134（2）n4【解析】Sn11Sn131）由a,S的关系可得，求出，再由a,S的关系，得到，进而根据等比定义Sannnnnn求得{an}的通项公式；bn3n（2），由错位相减法可求得{b}的前n项和T．nnn【小问1详解】S1Sn1Sn2SnSn113S1,n13,nSn1为首项是，公比为的等比数列，n31，S1Sn33n第13页/共20页n23当n2时，aSSn1n1n111，nnn1时，112n2n1nN，符合上式，当【小问2详解】bna2n3nn3,nnnnTbbbb132333n323n，n123nn132333nn1，234n332333nnn1，(2nn134n.44S17.在VABC中，角（1）求角B；,B,C的对边分别为a,,c,的面积为S，已知aBabA.2tanBS（2）若b△ABC的周长为，求的最大值.llπ【答案】（1）33（2）4【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；Sl3ac3，再由基本不等式进行求解即可.(2)由余弦定理及三角形的面积公式得【小问1详解】4SaBabA，2因为所以tanB124sinBBBA，a2sinB即2cBaBbA，2sinCBsinABsinBAsinAB，由正弦定理，得因为ABC，第14页/共20页所以2sinCBsinC，12C0,，所以sinC0B因为，所以，B0,，所以B又.3【小问2详解】由余弦定理，得b2a2c22acB，即9a2c2，132所以9ac2ac，即ac9，13因为SacsinBacac，lac3，2423ac9S，所以所以12ac3l4ac3Sl3ac3，ac2ac又ac（当且仅当422acac3所以9ac（当且仅当4ac36（当且仅当所以acS333ac3（当且仅当所以ac363l4S3即的最大值为.l4OABCOABCP,Q,R,,CC上，且O,P,Q,R分别在四点共11118.正四棱柱面.中OB2，点1111第15页/共20页（1）若，记平面OPQR与底面的交线为，证明：lAC∥l；π（2）已知,COR，若，求四边形OPQR面积的最大值.4【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】AC,PR//平面OABC是平行四边形，进而可得，1）连接，利用已知可得四边形//l由线面平行的性质可得；（2）以O为坐标原点，,OC,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形1OPQRS·sin，结合已知计算可求四边形OPQR面积的是平行四边形，进而可得最大值.【小问1详解】AC,连接，OABCOABCAA////CCPAORCO901，，，又因为11由正四棱柱，可得1111APCR，所以由勾股定理可得，AA1//CCP，所以四边形是平行四边形，又，所以1PR//AC平面OABC平面OABC，，所以，又所以PR//平面OABC，又平面OPQR//平面OABC，平面OPQR平面OABCl，PR//l//l，所以所以；【小问2详解】以O为坐标原点，,OC,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，1因为OB2，又底面OABC是正方形，所以1，又,CORtan,CRtan，所以，第16页/共20页PtanRtanO(0,0)所以，所以tantan)，tantan，所以tan)tan)1001tantan|0|1202tan21tan222tan21tan2，OABCOABCOCCO//A，1111由正四棱柱，可得平在面1111又O,P,Q,R四点共面，过O,P,Q,R有唯一平面OPQR，又平面OPQR平面O，平面OPQR平面ABBAPQ，1111所以//，同理可得//，所以四边形OPQR是平行四边形，π1tan1tanπ又，所以tantan()，44tantan1tantantantan0，所以所以所以，又2tantan1tantan0tantan21，，解得S|||sinPOR|||12POR||)||)21)POR||)OPPOR)222221(tan)2(tan)22)2212222224(tan222，所以四边形OPQR面积的最大值为2.19.在高中数学教材苏教版选择性必修2胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的p概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个1p细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终211p都走向灭绝的概率就是p2，于是我们得到：p2p1，计算可得；我们也可以设一个种群由一22第17页/共20页1p个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个2p细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是p)2，于是我们得到：1p0．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点p1p)2，计算可得2*处，他每步走动都会有p的概率向左移动1个单位，有1p的概率向右移动一个单位，Pn,0nN开始，最终掉入陷阱Pn,0代表当这个人由原点