2025届新高考数学热点冲刺复习向量法求空间角与距离

2025届新高考数学热点冲刺复习

向量法求空间角与距离课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.两条异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝______＝________．2．直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝________＝________．

3．平面与平面的夹角(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝________＝________．

夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(

)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．(

)(4)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(

)×××√

答案：A

4．设M，N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________．

课堂互动探究案掌握向量法求空间角与距离的公式，并会应用，提高学生空间想象能力、数学运算能力．题型一

直线与平面所成的角例1[2024·河南焦作模拟]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，∠ACB＝60°.(1)证明：平面ABD∥平面FEC1；(2)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

题后师说利用空间向量求线面角的解题步骤

题型二

平面与平面的夹角例2(12分)[2023·新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.

[满分答卷·评分细则]解析：(1)以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， →正确建系得1分

题后师说利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．巩固训练2如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4.(1)证明：AC⊥BD1；(2)若正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为3，过BD1的平面α与CC1平行，求平面α与平面BCC1B1夹角的余弦值．

题型三

空间距离例3[2024·安徽滁州模拟]如图，在三棱锥M-ABC中，MB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，MB＝2，AB＝4.(1)求证：平面MAC⊥平面MBC，(2)若直线AB与平面MBC所成角为45°，点E为AM的中点，求点A到平面BCE的距离．

题后师说利用向量法求点到平面的距离的步骤巩固训练3[2024·湖南长沙模拟]斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，∠A1AB＝60°，点A1在下底面ABC的投影为AB的