必修第一册人教A版第二章单元测试卷

第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-7x+6>0},B={x|2-x>0},则A∩B=()A.{x|x>6} B.{x|1<x<2} C.{x|x<1} D.{x|2<x<6}2.已知x>-2,则x+1x+2的最小值为(A.-12 B.-1 C.0 3.已知a<b<0,则a2+b2a2-A.a2+b2a2-b2>a+ba-b B.a2+4.最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于22,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为()A.2 B.1 C.2 D.65.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<4},则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为()A.{x|-23<x<1} B.{x|x>1或x<-23} C.{x|-43<x<1} D.{x|x<1或6.若正数a,b满足1a+2b=1,则2a-1+1b-2的最小值为 A.2 B.322 C.52 7.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-300x+80000,为使平均处理成本最低,该厂每月处理量应为()A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨8.若实数x+3y=3(x>1,y>13),则xx-1+3yA.2 B.3 C.4 D.6二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若正实数x,y满足x>y,则下列结论中正确的有()A.xy<y2 B.x2>y2 C.xy>1 D.1x10.下列关于一元二次不等式叙述正确的是()A.若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅,则a<0,且Δ≤0B.若a1a2=b1b2=c1c2,则一元二次不等式a1x2+b1x+c1>0的解集与一元二次不等式a2C.已知关于x的一元二次不等式x2-3ax+2a2≥0的解集是{x|x≤x1或x≥x2},且x1≠x2,则a(x1+x2)+1x1D.若一元二次不等式ax2+bx-2>0和不等式4x+1x+2<0的解集相同,则11.已知a,b是正实数,若2a+b=2,则()A.ab的最大值是12 B.12a+C.a2+b2的最小值是54 D.14a+三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15(x-k+4500x)L,其中k为常数.若汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L,欲使每小时的油耗不超过9L,则速度x的取值范围为13.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则a2+1b的最小值为若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|x1<x<x2},且|x1-x2|=4,则c=.(本题第一空2分,第二空3分)

14.已知a>0,x+y=1且不等式1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则a的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0.(1)若该不等式的解集为{x|x>-2或x<-3},求实数k的值;(2)若该不等式的解集为空集,求实数k的取值范围.

16.(15分)已知a,b为正数,n∈N+,求证:bn-1an+an

17.(15分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.

18.(17分)已知函数y=ax2+bx+c.(1)当b=2,c=-1时,若“∃x∈R,y=0”为真命题,求实数a的取值范围;(2)若b=2a-1,c=-2,解关于x的不等式y<0.

19.(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义A×B={(x，y)|x∈A且y∈B}，将A×B称为“A与B的笛卡尔积”.(1)若A={-1，0，1}，B={-1，1}，求A×B和B×A.(2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为|H|.已知|A1×A2|=m3(m∈N*)，且存在实数a满足|A1×A1|+|A2×A2||A2×A1|≥a对任意m∈N*恒成立

第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷参考答案1.C∵A={x|(x-1)(x-6)>0}={x|x<1或x>6},B={x|2-x>0}={x|x<2},∴A∩B={x|x<1}.2.C由x>-2得x+2>0,所以x+1x+2=x+2+1x+2-2≥2(x+2)·1x+2-3.Ba2+b2a2-b2-a+ba-b=a2+b2-(a+b)2a2-b2=2abb24.C记该直角三角形的斜边为c=22,直角边为a,b,则a2+b2=8.由a+b2≤a2+b22可知,a+b2≤2,所以该直角三角形周长a+b+c≤4+c=4+22,故这个直角三角形周长取最大值时,该三角形的面积为12×2×2=25.B∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<4},∴x=-1和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,由根与系数关系可得-1+4=-ba∴不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为-3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0,∵a<0,∴上式等价于3(x2-1)-(x+3)+4>0,即3x2-x-2=(x-1)(3x+2)>0,解得x>1或x<-23故不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为{x|x>1或x<-23}6.A因为1a+2b=1,a,b为正数,所以0<1a<1,0<2b<1,从而a>1,b>2.又1a+2b=1可化为(a-1)(b-2)=2,故2a-1+1b-2≥22a-1×1b-27.B由题意,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y=12x2-300x+80000,所以平均处理成本为s=yx=12x2-300x+80000x=x2+80000x-300,其中300≤x≤600,又x2+80000x-300≥2x2·80000x-300=400-300=8.Dxx-1+3y3y-1=x-1+1x-1因为x+3y=3(x>1,y>13),所以x-1+3y-1=1,且x-1>0,3y-1>所以1x-1+13y-1=(x-1+3y-1)(1x-1+13y-1)=2+当且仅当x-13y-1=3y-1x-1,故xx-1+3y9.BC∵x,y为正实数且x>y,∴xy>y2,故A错.∵x,y为正实数且x>y,∴x-y>0,x+y>0,∴(x-y)(x+y)=x2-y2>0,即x2>y2,故B正确.∵x,y为正实数且x>y,∴1y·x>1y·y,即xy>1,故∵x,y为正实数且x>y,∴x>x-y>0,∴1x-y>1x,故D错误10.ACD对于选项A,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅,则a<0,且Δ≤0,A正确;对于选项B,若a1a2=b1b2=c1c2,但a1对于选项C,可知x1,x2为方程x2-3ax+2a2=0的两根,则x1+x2=3a,x1x2=2a2,则a(x1+x2)+1x1x2=3a2+12a2≥23a2·12a2=6,当且仅当3对于选项D,∵4x+1x+2<0,则(4x+1)(x+2)<0,解得-2<x<-14,∴不等式4x+1x+2<0的解集是{x|-2<x<-14},由题意可得,ax2+bx-2=0的两根为-2,-14,且a<故选ACD.11.AB由基本不等式得,2=2a+b≥22ab,当且仅当2a=b且2a+b=2,即a=12,b=1时取等号,解得ab≤12,∴∵12a+1b=(12a+1b)(2a+b)×12=(b2a+2ab+2)×12≥(2b2a∴12a+1b的最小值为2,∴a2+b2=5a2-8a+4=5(a-45)2+45,∴当a=45时,a2+b2取得最小值,为45,设4a+b=x,a+b=y,则a=x-y3,b=4y-x3,∴2a+b=x∴14a+b+2a+b=1x+2y=(1x+2y)(x+2y)×16=(2yx+2xy+5)×16≥(22yx×2xy+5)×16=32,当且仅当x=y,即4a+b=a+b,12.{x|60≤x≤100}由汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L,得15(120-k+4500120)=11.5,解得k=100,故每小时油耗为[15(x+4500x)-由题意得15(x+4500x)-20≤9,解得45≤x≤100.又60≤x≤120,故60≤x≤100,所以速度x的取值范围为{x|60≤x≤13.44集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则Δ=a2-4b=0,所以a2=4b>0,因为a2+1b=4b+1b≥24b·1b=4,当且仅当4b=1b,即b=12时取等号,不等式x2+ax+b<c的解集为{x|x1<x<x2},且|x1-x2|=4,所以(x1+x2)2-4x1x2=(x1-x2)2,即a2-4(b-c)=16,化简得4c=16,解得c=4.14.4∵x>0,y>0,a>0,x+y=1,∴1x+ay=(1x+ay)(x+y)=a+1+axy+yx≥a+1+2axy·yx=a+1+2a=(a+1)2,当且仅当y=ax时,等号成立.∵1x+ay≥9恒成立,∴(a+1)2≥9,∴a+115.(1)由题意可得-2,-3是方程kx2-2x+6k=0的两根,且k<0,则由根与系数关系可得-2-3=2k,解得k=-2(2)不等式kx2-2x+6k<0的解集为空集,当k=0时,不等式化为-2x<0,解得x>0,与题意不符;当k≠0时,要满足题意,只需k>0,Δ=4−24k2综上,实数k的取值范围为{k|k≥66}16.bn-1an+an-1bn-(1a+1b)=(bn-1an-1∵a,b为正数,n∈N+,∴(bn-1-an-1)(bn-an)≥0,且anbn>0,∴(bn∴bn-1an+an-1bn≥1a+1b(17.(1)因为2x+8y-xy=0,x>0,y>0,所以2x+8y=xy≥22x·8y=8xy,解得xy≥8,所以xy≥64,当且仅当x=4y=16时取等号,故xy(2)由2x+8y-xy=0,x>0,y>0,得8x+2y=则x+y=(8x+2y)·(x+y)=10+2xy+8yx≥当且仅当8x+2y=1,2此时(x+y)min=18.18.(1)当b=2,c=-1时,y=ax2+2x-1,因为“∃x∈R,使得y=0”为真命题,即方程ax2+2x-1=0在x∈R上有解,当a=0时,2x-1=0,即x=12,符合题意当a≠0时,Δ=4+4a≥0解得a≥-1且a≠0,符合题意,综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥-1}.(2)当b=2a-1,c=-2时,原不等式即为ax2+(2a-1)x-2=(ax-1)(x+2)<0,①当a=0时,则-x-2<0,解得x>-2,故不等式的解集为{x|x>-2};②当a>0时,1a>-2,解原不等式可得-2<x<1此时原不等式的解集为{x|-2<x<1a③当-12<a<0时,1a<-2,解原不等式可得x<1a或x>-2,此时原不等式的解集为{x|x<1a④当a=-12时,原不等式即为-12(x+2)2<0,解得x≠-2,此时原不等式的解集为{x|x≠⑤当a<-12时,1a>-2,解原不等式可得x<-2或x>1a,此时原不等式的解集为{x|x<-2或x>综上所述,当a<-12时,原不等式的解集为{x|x<-2或x>1当a=-12时,原不等式的解集为{x|x≠-当-12<a<0时,原不等式的解集为{x|x<1a或x>当a=0时,原不等式的解集为{x|x>-2};当a>0时,原不等式的解集为{x|-2<x<1a}19.(1)由题意