总体取值规律的估计+高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

9.2.1总体取值规律的估计频数：对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫做频数。温故知新问题：什么是频数?画频数分布直方图的一般步骤是什么？画频数分布直方图的一般步骤是:1.计算最大值与最小值的差2.决定组距和组数3.将数据分组4.列频数分布表5.画频数分布直方图

频率：样本中某个组的频数和样本容量的比，叫做该数据的频率。【问题一】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出。某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？为了较为合理地确定出这个标准，你认为需要做哪些工作？为了确定一个较为合理的用水标准，必须先了解在全市所有居民用户中，月用水量在不同范围内的居民所占的比例情况。由于全市居民用户很多，通常采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况。

假设通过抽样，我们获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t）．9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6从这组数据我们能发现什么信息呢？1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0从小到大排序后得到：

很容易发现的是一个居民月平均用水量的最小值是1.3t，最大值是28.0t，其他在1.3t～28.0t之间。分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，比如频数分布表和频数分布图，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数。(一)从数据中提取信息，(二)利用图形传递信息。但在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据。【思考一】上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？1.3～28.0【思考二】分成多少组比较合适？如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？(28.0－1.3)÷3＝8.9将8.9取整，故可取组距=3，组数=9【思考三】各组数据的取值范围可以如何设定？以组距为3将数据分组时，可以分成以下9组：[1.2,4.2),[4.2,7.2),…,[25.2.28.2].【思考四】如何统计上述100个数据在各组中的频数?如何计算样本数据在各组中的频率?你能将这些数据用表格反映出来吗?分组频数累计频数频率[1.2,4.2)正正正正23[4.2,7.2)正正正正正正32[7.2,10.2)正正

13[10.2,13.2)正

9[13.2,16.2)正9[16.2,19.2)正5[19.2,22.2)3[22.2,25.2)4[25.2,28.2]2合计1000.320.130.090.090.050.030.040.021.000.23列频率分布表频率

=频数样本量画频率分布直方图月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077频率/组距分组频率

频率/组距[1.2,4.2)0.230.077[4.2,7.2)0.320.107[7.2,10.2)0.130.043[10.2,13.2)0.090.030[13.2,16.2)0.090.030[16.2,19.2)0.050.017[19.2,22.2)0.030.010[22.2,25.2)0.040.013[25.2,28.2]0.020.007某班45人的一次考试成绩分布情况如下：成绩50-6060-7070-8080-9090-100人数51015105频率成绩50-6060-7070-8080-100人数5101515频率【思考五】频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积总和为多少？

小长方形的面积=组距×组距频率=频率所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．各小长方形的面积总和为1．月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077频率/组距1).求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)2).决定组距与组数，组数=极差/组距3).将数据分组方法小结：画频率分布直方图的步骤4).列出频率分布表.(填写频率/组距一栏)5).画出频率分布直方图，横轴表示分组，纵轴表示频率/组距组距：指每个小组的两个端点的距离，组数：将数据分组，当数据在100个以内时，按数据多少常分5-12组.【思考】你能从上述图表中发现居民用户月均用水量的哪些分布规律?你能给出适当的语言描述吗?月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民用户最多，在区间[1.2，4.2)内的次之，而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小。表图分布不对称，图形的左边高、右边低，右边有一个较长的“尾巴”，这表明大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2，7.2)最为集中，少数居民用户的月均用水量偏多，而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势。【探究】分别以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图．观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点．

自习时间/小时频率/组距O2022.517.52527.5300.020.160.10

0.040.08140

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水？(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表解：(1)日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165日用水量/t频率/组距00.20.30.10.40.50.60.23.43.23.02.82.62.42.22.01.81.61.41.21.00.80.60.4(2)0.48(3)47.451.不同的统计图在表示数据上有不同的特点①扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例；②条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；③折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势.2.不同的统计图适用的数据类型不同①条形图适用于描述离散型的数据；②直方图适用描述连续型数据,【例3】已知某市2015年全年空气质量等级如下表所示：空气质量等级（空气质量指数（AQI）频数累计频数优（AQI≤50）8322.8%良（50<AQI≤100）12133.2%轻度污染（100<AQI≤150）68

18.6%中度污染（150<AQI≤200）4913.4%重度污染（200<AQI≤300）308.2%严重污染（AQI>300）143.8%合计365100%2016年5月和6月的空气质量指数如下∶5月240

80

56

53

92

126

45

87

56

60

191

62

55

58

56

53

89

90

125

124103

81

89

44

34

53

79

81

62

l16

886月63

92

110

122

102116

81

163

158763310265

53

38

55

52

76

99

127

120

80

108

33

35

73

82

9014695选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题：

（1）分析该市2016年6月的空气质量情况；

（2）比较该市2016年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好？

（3）比较该市2016年6月与该市2015年全年的空气质量，2016年6月的

空气质量是否好于去年？根据该市2016年6月的空气质量指数和空气质量等级分级标准,可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表如下：解:(1)空气质量等级合计优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数415920030比例13.33%50%30%6.67%00100%从表中可以看出，“优”“良”的天数达19天,占了整月的63.33%，没有出现“重度污染”和“严重污染”.从条形图中可以看出，在前三个等级的占绝大多数,空气质量等级为“良”的天数最多，后三个等级的天数很少.从扇形图中可以看出,空气质量为“良”的天数占了总天数的一半，大约有三分之二为“优"“良”，大多数是“良”和“轻度污染”.因此，整体上6月的空气质量不错.优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量等级天数6.67%我们可以用条形图和扇形图对数据作出直观的描述.日期空气质量指数

我们还可以用折线图展示空气质量指数随时间的变化情况,如下图.容易发现，6月的空气质量指数在100附近波动.(2)根据该市2016年5月的空气质量指