平面与平面垂直课件

8.6空间直线、平面的垂直第八章

立体几何初步课时4平面与平面垂直新知探究探究一：平面与平面垂直情境设置问题：1.二面角的定义是什么?2.二面角的平面角的定义是什么?3.二面角的范围是什么?4.面面垂直是怎样定义的?5.面面垂直的判定定理的内容是什么?6.面面垂直的性质定理的内容是什么?新知生成知识点一平面与平面垂直1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：①这条直线叫作二面角的棱；

②两个半平面叫作二面角的面.3.二面角的画法：新知生成知识点一平面与平面垂直

一、二面角的概念例题1如图，已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的各棱长均为2，求二面角𝐴−𝐶𝐷−𝐵的余弦值.

反思感悟方法总结求二面角的大小关键是作出平面角，求二面角大小的步骤：(1)作：找出这个平面角；(2)证：证明这个角是二面角的平面角；(3)求：作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.新知运用

新知生成知识点二平面与平面垂直的判定定理(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)符号语言：𝑙⊥𝛼，𝑙⊂𝛽⇒𝛼⊥𝛽.(3)图形语言：特别提醒：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，证明两个平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题，进而转化为证明线线垂直的问题.通常我们将其记为“若线面垂直，则面面垂直”.二、平面与平面垂直的判定定理

反思感悟方法总结证明面面垂直的方法(1)定义法：证明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”.(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.新知运用跟踪训练2已知𝐴𝐵⊥平面𝐵𝐶𝐸，𝐶𝐷//𝐴𝐵，△𝐵𝐶𝐸是正三角形,𝐴𝐵=𝐵𝐶=2𝐶𝐷.求证：平面𝐴𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐸.【解析】取𝐵𝐸,𝐴𝐸的中点分别为𝑀,𝑁，连接𝑀𝑁,𝑀𝐶,𝑁𝐷，如图所示，因为𝐴𝐵⊥平面𝐵𝐶𝐸，𝐶𝑀⊂平面𝐵𝐶𝐸，所以C𝑀⊥𝐴𝐵，又△𝐵𝐶𝐸为等边三角形，所以C𝑀⊥𝐵𝐸，又𝐴𝐵,𝐵𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐸，𝐴𝐵∩𝐵𝐸=𝐵，所以C𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐸.又在△𝐴𝐵𝐸中，𝑀,𝑁分别为𝐵𝐸,𝐴𝐸的中点，所以𝑀𝑁=1/2𝐴𝐵，𝑀𝑁//𝐴𝐵，因为𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=2𝐶𝐷，所以𝑀𝑁=𝐶𝐷,𝑀𝑁//𝐶𝐷，所以四边形𝑀𝑁𝐷𝐶为平行四边形，所以𝐷𝑁//𝐶𝑀，所以𝐷𝑁⊥平面𝐴𝐵𝐸，又𝐷𝑁⊂平面𝐴𝐷𝐸，所以平面𝐴𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐸.新知生成知识点三平面与平面垂直的性质

三、平面与平面垂直的性质

【解析】(1)如图，连接𝑃𝐺，𝐵𝐷，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形且∠𝐷𝐴𝐵=60^∘，∴△𝐴𝐵𝐷是正三角形.∵𝐺为𝐴𝐷的中点，∴𝐵𝐺⊥𝐴𝐷.又平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴��，𝐵𝐺⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝐵𝐺⊥平面𝑃𝐴𝐷.(2)由(1)可知𝐵𝐺⊥𝐴𝐷，∵△𝑃𝐴𝐷为正三角形，𝐺为𝐴𝐷的中点，∴𝑃𝐺⊥𝐴𝐷.又𝑃𝐺∩𝐵𝐺=𝐺，∴𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐵𝐺，又∵𝑃𝐵⊂平面𝑃𝐵𝐺,∴𝐴𝐷⊥𝑃𝐵.反思感悟方法总结证明线面垂直一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于两平面的交线.新知运用跟踪训练3如图所示，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐵𝐶.求证：𝐵𝐶⊥𝐴𝐵.【解析】如图，在平面𝑃𝐴𝐵内，作𝐴𝐷⊥𝑃𝐵于点𝐷.∵平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐵𝐶，且平面𝑃𝐴𝐵∩平面𝑃𝐵𝐶=𝑃𝐵，𝐴𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐵，∴𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐵𝐶.又𝐵𝐶⊂平面𝑃𝐵𝐶，∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶.又∵𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶，∴𝑃𝐴⊥𝐵𝐶.又∵𝑃𝐴∩𝐴𝐷=𝐴，∴𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵.又𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵，∴𝐵𝐶⊥��𝐵.随堂检测

CD

随堂检测4.如图所示，在四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，侧面𝑆𝐷𝐶⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，求证：平面𝑆𝐶𝐷⊥平面𝑆𝐵𝐶.【解析】因为底面𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，所以𝐵𝐶⊥𝐶𝐷.又平面𝑆𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑆𝐶𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐶𝐷，𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐵𝐶⊥平面𝑆𝐶𝐷.又因为𝐵𝐶⊂平面𝑆𝐵𝐶,所以平面𝑆𝐶𝐷⊥平面𝑆𝐵𝐶.