数学中考复习《中考压轴解答题》提升训练

九年级数学中考复习《中考压轴解答题》专题提升训练(附答案)

1.如图，A8是。。的直径，点尸在OO上，NBA尸的平分线AE交。。于点E,过点E作

EDLAF,交AF的延长线于点。，延长相交于点C.

(1)判断。与O。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为5,tanNE4O=2，求AE的长.

2.如图，点C是以为直径的。。上一点，过点A作的切线交BC延长线于点

取AD中点£,连接EC并延长交AB延长线于点尺

(1)试判断与。。的位置关系，并说明理由；

3.如图，四边形A8C。内接于AE_LCB的延长线于点E,连结AC,BD,AB平分/

EBD,

(1)求证：AC^AD.

(2)当8为宜的中点，BC=3BE,A£>=6时，求CD的长.

4.如图，已知A3是圆。的直径，C是圆。上异于A,8的点，。为BC中点，且。EL4C

于点E,连结。.

(1)求证：是圆。的切线；

(2)若圆。的半径为5,且C£>=6,求AC.

5.如图，AB是半圆OO的直径，C为半圆上一点，CE±AB,垂足为E,尸为延长线上

一点，且/FCB=NECB.

(1)求证：C尸是O。的切线；

(2)若EB=3,BF=6,求图中阴影部分的面积.

6.如图，以回ABC。的边BC为直径的O。交对角线AC于点E,交CD于点F.连接8足过

点E作EG，C£>于点G,EG是。。的切线.

(1)求证：回ABC。是菱形；

(2)已知EG=2,£>G=1.求C尸的长.

7.已知，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的。。交BC于点D

(1)如图1,求证：BD=CD-,

(2)如图2,点E在左上，连接CE并延长至点R连接AF交O。于点G,若而=窟,

求证：NBAC=2NF；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接若CP=5,BF=8,求△AC?的面积.

8.已知NMPN的两边分别与O。相切于点A,B,O。的半径为r.

（1）如图1,点C在点A,B之间的优弧上，ZMPN=S0°,求NAC8的度数；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，/APB的度数应为多少时，四边形AP8C

为菱形？请说明理由；

9图1图2图3

感知：如图1,平分N2AC,ZB+ZC=180°,ZB=90°.易知：DB=DC.（不需

证明）

探究：如图2,AO平分N8AC,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°.求证：DB=DC.

应用：如图3,四边形ABAC中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC,DELAB,若BE

=a,则AB-AC的值为.（用a的代数式表示）

10.定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形.

【性质初探】如图1,已知，EABCD,NB=80°,点E是边4。上一点，连结CE,四

边形AB"恰为等腰梯形.求/BCE的度数；

【性质再探】如图2,已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF,BF

=CE,连结BE、CF.求证：BE=CF；

【拓展应用】如图3,回ABC。的对角线AC、BD交于点O,AB=2,ZABC=45°,过

点。作AC的垂线交BC的延长线于点G,连结。G.若/CZ）G=90°,求的长.

11.如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=9cm,BC=12cm.在RtZkOEF中，NDFE

=90°,EF=6cm,DF=Scm,E、/两点在BC边上，DE,OE两边分别与AB边交于G,

H两点.现固定AABC不动，△£>£尸从点尸与点8重合的位置出发，沿8c以Icm/s的

速度向点C运动，点尸从点尸出发，在折线FD-OE上以2cm/s的速度向点E运动.△

OEE与点尸同时出发，当点E到达点C时，点C时，与点P同时停止运动.设

运动的时间是f（单位：s）,r>0.

（1）当t=2时，PH—cm,DG—cm；

（2）t=秒时点P与点G重合？

（3），为多少秒时△POG为等腰三角形？请说明理由；

（4）直接写出△PD8的面积（可用含r的代数式表示）.

12.（1）问题探究：如图1,在正方形ABC。中，点£,。分别在边BC、AB上，DQLAE

于点。，点G,尸分别在边C£>、AB上，GFLAE.

①判断DQ与AE的数量关系：DQAE-,

②推断：如的值为；（无需证明）

AE

（2）类比探究：如图（2）,在矩形A2C。中，生=%（左为常数）.将矩形A8CD沿GF

AB

折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点、H,连接AE

交GF于点。.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用：如图3,四边形ABC。中，ZABC=90°,AB=AZ)=10,BC=CD=5,

AMLDN,点、M、N分别在边BC、AB上，求四的值.

图1图2图3

13.如图，点P是正方形ABC。内的一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,

得到线段C。，连接BP,DQ

(1)如图。，求证：4BCP义LDCQ；

(2)如图，延长交直线于点E.

①如图6,求证：BELDQ-,

②如图c,若为等边三角形，判断的形状，并说明理由，

(3)填空：若正方形ABC。的边长为10,DE=2,PB=PC,则线段P8的长为.

E

14.【问题情境】

(1)如图1,在正方形ABC。中，E,F,G分别是8C,AB,CD上的点，FG_LAE于点

Q.求证：AE=FG.

【尝试应用】

(2)如图2,正方形网格中，点A,B,C,。为格点，交于点。求tan/AOC

的值；

【拓展提升】

(3)如图3,点尸是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD

与正方形PBER连接。E分别交线段BC,PC于点M,N.

①求NOMC的度数；

②连接AC交。E于点直接写出［旦的值.

如图①，在正方形A8CZ)中，点、N,M分别在边BC、CD上.连接AM、AN、MN.Z

MAN=45°,将△AM。绕点A顺时针旋转90°,点。与点B重合，得至易证：

△ANM会AANE,从而可得：DM+BN=MN.

(1)【实践探究】在图①条件下，若CN=6,CM=8,则正方形ABC。的边长是.

(2)如图②，在正方形ABC。中，点M、N分别在边。C、BC上，连接AM、AN、MN,

ZMAN=45°,若tan/A4N=」，求证：M是CD的中点.

3

(3)【拓展】如图③，在矩形A8C。中，AB=12,A£>=16,点M、N分别在边。C、BC

图①图②图③

16.在四边形A8C。中，对角线AC、3。相交于点。，将△C。。绕点。按逆时针方向旋转

得到△C1。。，旋转角为0(0°<e<90°),连接ACi、BDi,AC1与交于点P.

(1)如图1,若四边形A8CD是正方形.

①求证：△AOCi以△30/51.

②请直接写出ACi与BDi的位置关系.

(2)如图2,若四边形ABC。是菱形，AC=5,BD=1,^ACi=kBDi.判断ACi与瓦

的位置关系，说明理由，并求出人的值.

(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,AC=5,8D=10,连接,设ACi=.请

直接写出k的值和ACI2+(kDDi)2的值.

17.如图，已知抛物线>=血%2+4工+〃与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C.直线y=尤-

3经过2,C两点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的顶点为在该抛物线的对称轴/上是否存在点P,使得以C,M,P为

顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请

18.如图一，在平面直角坐标系中，抛物线y=-^x2+bx+c的顶点为。(2，8),与X轴交

于两点A,8(A在8的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图二，连接A。，BC,点尸是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点尸作PQ

〃A。交于点°,PQ的最大值及此时点尸的坐标；

(3)将该抛物线关于直线x=l对称得到新抛物线yi,点E是原抛物线y和新抛物线ji

的交点，厂是原抛物线对称轴上一点，G为新抛物线上一点，若以E、F、4G为顶点

的四边形是平行四边形，请直接写出点尸的坐标.

19.抛物线＞=°f+今*-6与无轴交于AG,0),B(8,0)两点，与y轴交于点C,直线

y=fcc-6经过点8.点尸在抛物线上，设点尸的横坐标为〃z.

(1)求抛物线的表达式和右k的值；

(2)如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点尸的坐

标；

(3)如图2,若点尸在直线BC上方的抛物线上，过点尸作PQLBC,垂足为。，求CQ+

20.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=af+6x+3与x轴交于A,8两点(点8在点

A的右边)，点A坐标为(1,0),抛物线与y轴交于点C,SAABC=3.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点尸(%,y)是抛物线上一动点，且无＞3.作PNLBC于N,设PN=d,求d与x

的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，过点A作PC的平行线交y轴于点R连接8R在直线A厂上

取点E,连接PE,使PE=2BF,且/P£尸+/3尸£=180°,请直接写出P点坐标.

参考答案

1.解：（1）连接0E

9：0A=0E,

：.ZOAE=ZOEA.

•••AE1平分NA4R

：.ZOAE=ZDAE,

：.ZOEA=ZEAD,

：.OE//AD,

•；ED_LAF,

：.OELDE,

。4是。。的半径，

・・・C。是。。的切线;

cED

(2)连接BE,

,：AB是O。的直径，

ZA£B=90°=ND,

又NDAE=NBAE,

：.AADE^^AEB,

.AD=AE=DE

"AEABBE)

'/tanZEA£)=—,

2

.DE=BE=_1

"ADAET

贝|JAE=28E,又48=10,

在△ABE中，AEL+BET=AB1,

即(2BE)2+BE2=102,

解得：BE=2娓,

则A£=4遍.

2.解：(1)E尸是O。的切线，理由如下:

连接OC,AC,

'.'AB是。。的直径，

ZACB=90°=ZACD,

又是AD的中点，

：.CE=ED=EA,

：.ZEAC=ZACE,

又；OA=OC,

：.ZOAC^ZOCA,

是O的切线，AB是直径，

：.ZEAB=9Q°=ZEAC+ZOAC,

：.ZACE+ZOCA=90°,BPOCLEF,

尸是O。的切线；

(2)解法一：设0c=x=O8,

在Rt^OFC中，由勾股定理得,

OC2+FC2=OF2,

即d+122=(8+X)2,

解得x=5,即OC=5,

.,.AB=2OC=10,

AtanF=—=—=—=—

FC12AF10+8

."£=生，

2

：.DE=2AE=15,

在RtAABD中，

解法二：连接AC,

,：AB是。O的直径，

/.ZACB=90°=ZACD,

是。。的切线，

：.ZDAB=90°,

；./D=/CAB,

；/BCF=NCAB,/F=NF,

.♦.△CBFsAACF,

.ACCF22=2

"CB=BF=T

tan£)=tanZCAB=.

AC3

3.(1)证明：：四边形ABC。内接于OO,

AZADC+ZABC=180°,

VZABE+ZABC=180°,

ZABE=ZADC,

,：AB平分NDBE,

：.NABE=/DBA,

：.ZADC=ZDBA,

ZACD=ZDBA,

：.ZADC=NACD,

：.AC=AD；

(2)解：过A作AF_LCD于R

•・,8为AC的中点，

：.AB=BC,

■:BC=3BE,

：.AB=3BEf

•・,四边形ABCD是OO的内接四边形,

JZADF=/ABE,

VZAFD=ZAEB=90°,

△ABEs△ADR

.DF=BE=_1

**ADAB豆，

*：AD=6,

：.DF=2,

VAC=AZ),

：・CD=2DF=4.

4.(1)证明：连接O。、OC,

・・・。为戢中点，

ZBOD=ZCOD=^ZBOC,

2

ZBAC=—ZBOCf

2

:・NBAC=/BOD,

J.OD//AE,

：.DE±AC,

：.OD±DE,

是半径，

是。。的切线；

(2)解：连接8。，

:。为前中点，

:.BD=CD=6,

,：AB是OO的直径，

/.ZADB^90°,

在中，

A£>=VAB2-BD2=8,

■:/DCE=/B,

：.DE=^,

5

.*.CE=^CD2_DE2=^.)

在Rt^AOE中，由勾股定理得,

DE2+A£2=AD2,

5.(1)证明：连接OC,

■:CELAB,

：.ZCEB=90°,

：.ZECB+ZCBE=90°,

•・•OC=OB,

：.ZOCB=ZCBE,

：.Z0CB+ZECB=9Q°,

■:NFCB=NECB

：.ZFCB+ZOCB=90°,

：.ZOCF=90°,

・・・CT是。。的切线；

(2)解：ZOCF=ZOEC=90°,ZFOC=ZCOE,

:•△OCEs^OFC,

.OE_OCgpOB-3_OB

，，OC-OF，OB--OB+6'

解得：08=6,

：.ZCOF=60°,

CF=OF'smZCOF=673，

2

.••阴影部分的面积=1x6/^X6-6071x6-=1873-61T.

6.(1)证明：如图，连接OE,

：EG是。。的切线，

：・OE工EG,

9：EG.LCD,

•・•四边形ABCD是平行四边形,

JOE//CD//AB,

：.ZCEO=ZCAB,

;OC=OE,

：.ZCEO=ZECO,

：.ZACB=ZCAB.

：.AB=BC,

：.团A3CD是菱形；

(2)如图，连接5。，

由(1)得，OE//CD,OC=OB,

.\AE=CE,

CE：AC—1：2,

.,・点七是AC的中点，

・・•四边形ABC。是菱形，

C.BD经过点E,

是。。的直径，

：.BF±CD,

9：EG.LCD,

：.EG//BF,

：.ADGEs△DFB,

：.DG：DF=GE：BF=DE：BD=1：2,

：.DF=2,BF=4,

在RtABR7中，设CF=x,贝！)3C=x+2,

由勾股定理得，?+42=(x+2)2,

解得：x=3,

图1

连接AD

〈AC是。。的直径,

AZADC=90°,

：.AD±BC,

9

：AB=ACf

：.BD=CD；

(2)证明：如图2,

图2

连接A。，CG,

•「AC是。。的直径，

：.ZCGF=ZAGC=90°,ZAZ)C=90°,

・•・ZADC=ZCGF,

VDG=AE,

：・NDCG=NACE,

：.ZDCG-ZACG=ZACE-ZACG,

JZACD=ZFCG,

：.ZF=ZCAD,

VAB=AC,AD1BC,

：.ZBAC=2ZDACf

：.ZBAC=2ZF；

(3)解：如图3,

由(1)知：BD=CD,

・・・QH=/BF-1X8=4,

*：ZCGF=90°,CH=FH,

.•.GH=FH=^CV=—^ZGFC+ZGCF=90°,

22

:・/FGH=/GFC,

.*.ZFGH+ZGCF=90°,

•••AD=AD,

・•・ZAGD=ZACDf

由(2)知：NDAC=/GFC,

・•・NAGD=/GFC,

：.ZFGH+ZAGD=90°,

：.ZDGH=9Q°,

-'-DG=7DH2-GH2=^42-(y)2=-^1^

*/CG=CG,

J.ZCDG^ZCAF,

由(2)知：ZDCG=ZACE,

:.ACDGSACAF,

•••D-G=--CG,

AFCF

CG・4尸=CF'DG=5X=旦座,

22

・*G・AF&^，

24

:&ACF=时圣

4

8.解：(1)如图1,连接。4,0B,

图1

U：PA,尸3为。。的切线，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB-^ZPAO+ZPBO^ZAOB=360°,

ZAPB+ZAOB=1SO°,

VZAPB=8Q°,

ZAOB=1QO°,

AZACB=50°；

（2）如图2,当NAPB=60°时，四边形APBC是菱形,

连接。4,OB,

VZAPB=6Q°,

：.ZAOB=120°,

：.ZACB=60°=/APB,

:点C运动到PC距离最大，

；.PC经过圆心，

'：PA,改为O。的切线，

：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,

又；PC=PC,

：.AAPC^ABPC(SAS),

.•.NACP=NBCP=30°,AC^BC,

：.ZAPC^ZACP^3Q°,

J.AP^AC,

：.AP=AC=PB=BC,

四边形AP8C是菱形；

（3）的半径为r,

*.OA=r,OP=2r,

:.AP=Mr,PD=r,

"?ZAOP=90°-ZAPO=60°,

60°7l>_H

AD的长度=r

180°—~3r，

・・・阴影部分的周长=«什什三尸（V3+1+—）

33

9.感知证明：如图1,VZB+ZC=180°,93=90°,

AZC=90°，

:・/B=/C,

9：ZBAD=ZCAD,AD=AD,

：.ABAD^ACAD(AAS),

:・DB=DC.

探究证明：如图2,延长AC到点凡使连接。R

•；NFAD=/BAD,AD=AD,

：.AFAD^/\BAD(SAS),

：.ZF=ZABD,DF=DB,

VZABD+ZACZ)=180°,

：.ZF+ZACD=18Q°,

VZZ)CF+ZAC£)=180°,

:・/F=/DCF,

：.DF=DC,

：.DB=DC.

应用解：如图3,作。G,AC交AC的延长线于点G,连接AD,

9：DELAB,ZB=45°,

；・NBED=NG=NAED=90°,ZEDB=ZB=45°,

:・DE=BE=a,

VZACD=135°,

：.ZGCD=45°,

*：ZB=ZGCD,DB=DC,

：.ABED^ACGD(A4S),

:.DE=DG,CG=BE=a,

*：AD=ADf

：.RtAAED^RtAAGD(H£),

.•・AE=AG=AC+〃，

.\AC=AE-a,

*.AB-AC=AB-(AE-a)=AB-AE+a=BE+a=2a,

故答案为：2a.

图3

10.【性质初探】解：过点A作AGLBC交于G,过点E作EWLBC交于H,

•；^iABCD,

：.AE//BC,

C.AG^EH,

V四边形ABCE恰为等腰梯形，

：AB=EC,

RtAABG^RtAECG(HL),

：.ZB=ZECH,

VZB=80°,

.\ZBCE=80°；

【性质再探】证明：•••四边形ABCL)是矩形，

J.AE//BC,

•..四边形8CEF是等腰梯形，

；.BF=CE,

由(1)可知，NFBC=/ECB,

:.△BFg^CEB(SAS),

:.BE=CF；

【拓展应用】解：连接AC,过G点作交延长线于点

V四边形ABCD是平行四边形，

・・・。是AC的中点，

•・•GO±AC,

：.AC=CG,

U：AB//CD,NA5c=45°,

：.ZDCG=45°,

：.ZCDG=90°,

：.CD=DG,

：.BA=DG=2,

*：ZCDG=90°,

JCG=2&,

・・・AG=2M，

VZADC=ZDCG=45°,

：.ZCDM=135°,

：.ZGDM=45°,

:・GM=DM=^,

在RtZXAGM中，(2&)2=(AO+&)2+(V2)2

：.AD=4i-

ABC=V6-V2.

11.解：(1)当£=2时，BF=2cm,PF=4cm,BE=8cm.

VZC=90°,ZDFE=90°,

：.ZC+ZDFE=180°.

：.AC//DF.

:•△BHFsABAC.

:・BF：BC=HF：AC,

即2：12=HF：9.

:.HF=3.

2

，PH=4-旦=包.

22

3

tanB=AC=_9_=2tanD=—,

BC12I4

:・/B=/D,

：.ZBGE=90°,

:•△BEGS^BAC,

・EG_BFgpEG_8

**AC-AB，"9"-'15，

解得,&7=建(cm),

5

.".DG=10-EG=^-(cm),

5

故答案为：;

25

（2）设当和点P运动的时间是r时，点P与点G重合，

此时点P一定在边上，DP=DG.

由（1）知，/B=/D.

又；ND+NDEB=90°,

/.ZB+ZDEB^9Q°,

：.ZDGH=ZBFH=90°.

：.FH=BF・tanB=叁t,DH=DF-FH=8-£＞G=ZW/・cos£）=（8-3力•'=-旦r+丝,

444555

'：DP+DF=2t,

:.DP=2t-8.

由DP=OG得，2r-8=-3f+丝，解得r=卫，

5513

；4＜卫＜6,则此时点尸在。E边上.

13

的值为卫时，点尸与点G重合.

13

故答案为：卫；

13

（3）只有点尸在。P边上运动时，

△PDE才能成为等腰三角形，且尸O=PE.（如图1）

,:BF=t,PF=2t,DF=8,

：.PD=DF-PF=8-2t.

在Rt△尸跖中，PE1=PF2+EF2=4?+36=PD1.BP4?+36=(8-2r)2

解得看工.

8

，f为工时△PDE为等腰三角形;

8

（4）当0<rW4时，点尸在。尸边上运动，如图1,

5PDB=—PD'BF=—(8-2t>t=-?+4/；

A22

过点P作PS±BC于S,贝!Jtan/PBE=里.

BS

可得PE=DE-DP=10-(2t-8)=18-2t.

此时PS=PE・cosNEPS=PE・cosD=-i・(18-2r)=--t+—,

555

SAPDB=SADEB-S^BPE

=XBE-DF-^BE-PS

22

=-lx(6+?)X8-Ax(6+f)(一老什丝)

2255

公+为-强.

555

综上所述，的面积为-尸或户+广

/kPOB+4/(0</(4)43(4〈忘6).

555

12.解：(1)①证明：：四边形ABCZ)是正方形，

图1

：.AB=DA,ZABE=90°=ZDAQ.

：.ZQA0+Z0AD^9Q°.

\'AE±DH,

：.ZADO+ZOAD=90°.

J.ZQAO^ZADO.

：.AABE^/\DAQ(ASA),

：.AE=DQ.

故答案为：=.

理由：*：DQ±AEfFGLAE,

：.DQ//FG.

■:FQ//DG,

・•・四边形DQFG是平行四边形,

:・FG=DQ,

VAE=Z)e，

：.FG=AE,

・GFi

AE

故答案为：1.

(2)结论：竺=左.

AE

理由：如图2,作GM_LAB于M.

CAELGF,

\ZAOF=ZGMF=ZABE=90°,

\ZBAE^ZAFO=90°,ZAFO+ZFGM=90°,

NBAE=ZFGM,

•・AABEsAGNlF,

.•—GF=—GM，

AEAB

；ZAMG=ZD=ZDAM=9Qa,

..四边形AMGD是矩形，

\GM=AD,

.GF_AD_BC_z,

*AE=AB"AB'

(3)如图3,过点。作EFLBC,交8c的延长线于点R过点A作AE,ER连接AC,

图3

VZABC=90°,AELEF,EFLBC,

四边形A8FE是矩形，

：.ZE=ZF=90°,AE=BF,EF=AB=10,

'：AD=AB,BC=CD,AC^AC,

：.AACD^AACBCSSS),

：.ZADC=ZABC=90°,

ZADE+ZCDF=9Q°,且NAOE+/EAD=90°,

：.ZEAD=ZCDF,且NE=NP=90°,

:AADEs&DCF,

•CDCFDF1

"■AD=DE=AE"2'

：.AE=2DF,DE=2CF,

'：DC2=CF2+DF2,

：.25=CF2+(10-2CF)2,

：.CF^5(不合题意，舍去)，CF=3,

：.BF=BC+CF=8,

由(2)的结论可知：DN=AE=-^-=1.

AMAB105

13.解：(1)证明：如图a,VZBO)=90a,ZPCQ=9O°,

：.ZBCP=ZDCQ,

在△BCP和△DCQ中，

'BC=CD

<ZBCP=ZDCQ,

PC=QC

.•.△BCP^ADCQ(SAS)；

(2)①如图6,,:ABCP%ADCQ,

：.NCBF=/EDF,

又,：NBFC=NDFE,

：.ZDEF=ZBCF=90°,

：.BE±DQ；

②如图c,:△BCP为等边三角形，

：.ZBCP=60°,

：.ZPCD=3O°,

又；CP=CZ),

：.ZCPD=ZCDP=15°,

又•.,/BPC=60°,ZCDQ^60°,

；./EPD=45°,NEDP=45°,

.•.△OEP为等腰直角三角形；

(3)如图6,由/CBF=/EDRZDEF=ZBCF,可得ADEFsABCF,

.DE=DF即2=更

,,BCWIO而，

设。F=x,则8P=5x,CF=10-x,

*.•RtABCF,BF2=BC2+CF2,

，(5x)2=102+(10-x)2,

解得尤1=S,X2=-—(舍去)，

23

2

,:PB=PC,

:./PBC=NPCB,

又ZPBC+ZPFC=ZPCB+ZPCF=900,

：.ZPFC=ZPCF,

：.PF=PC,

：.BP=PF=^BF=^-,

24

如图d,延长BE、CD,交于点R

由NC2F=NCr)Q=NEr)R/DEF=NBCF,可得△DEFs/\BCF,

.DE=DF即2=更

"BC防‘Io防‘

设。尸=x,则8/=5无，CF=lO+.r,

•?RtABCF中，BF2=BC2+CF2,

(5x)2=102+(10+x)2,

解得Xl=-$(舍去)，X2=—,

23

尸=5x=毁，

3

:PB=PC,

：.ZPBC=ZPCB,

又,：/PBC+/PFC=NPCB+/PCF=9Q°,

：.ZPFC=ZPCF,

：.PF=PC,

：.BP=PF=^BF=^.

23

故答案为：空或空.

43

由平移的性质得：FG//BH,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB//CD,AB=BC,ZABE=ZC=90°,

...四边形BFGH是平行四边形，

：.BH=FG,

:FGLAE,

C.BHLAE,

:./BKE=9Q°,

:./KBE+/BEK=9U°,

；/BEK+/BAE=90°,

；.NBAE=NCBH,

在△ABE和△8C”中，

'NBAE=NCBH

,AB=BC,

ZABE=ZC

:.AABE%ABCH(ASA),

：.AE=BH,

：.AE^FG；

方法2：平移线段BC至四交AE于点K,如图1-2所示:

则四边形BCHF是矩形，/AKF=ZAEB,

:.FH=BC,NFHG=90°,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,90°,

；.AB=FH,NABE=NFHG,

'：FG±AE,

：.ZHFG+ZAKF=9Q°,

VZAEB+ZBAE=9Q°,

/BAE=ZHFG,

在AABE和中，

'/BAE=NHFG

<AB=FH,

ZABE=ZFHG

.♦.△ABE沿AFHG(ASA),

J.AE^FG；

(2)解：将线段AB向右平移至阳处，使得点B与点。重合，连接CR如图2所示：

ZAOC=ZFDC,

设正方形网格的边长为单位1,

贝！|AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4,

由勾股定理可得：CF=VAC2+AF2=V22+l2='C£)=7CE2+DE2=722+42=

2遥，DF^A/FG2+QG2=732+42=5,

•••(遍)2+(275)2=52,

:.CF2+CD2=DF2,

：.ZFCD^9Q°,

.•.tanZAOC=tanZFDC=-^=-^I^=A;

CD2V52

(3)解：①平移线段BC至。G处，连接GE,如图3-1所示：

则/。MC=/GOE,四边形。G8C是平行四边形，

：.DC=GB,

•/四边形AOCP与四边形PBEF都是正方形，

：.DC=AD^AP,BP=BE,/DAG=/GBE=90°

：.DC^AD^AP=GB,

:.AG=BP=BE,

在△AG。和aBEG中,

'AG=BE

'ZDAG=ZGBE,

AD=BG

:.AAGD咨LBEG(SAS),

：.DG=EG,NADG=/EGB,

：.ZEGB+ZAGD^ZADG+ZAGD^90°,

：.ZEGD=90°,

：.ZGDE=ZGED=45°,

：.ZDMC=ZGDE=45°；

②如图3-2所示：

VAC为正方形ADCP的对角线，

J.AD=CD,NZMC=NE4c=N£)MC=45°,

.-.△ACD是等腰直角三角形，

.•.AC=A/2AD,

；/HCM=NBCA,

：.NAHD=ZCHM=ZABC,

：.AADHsAACB,

-DH_AD_AD_V2

"BCACV2AD2

图2

15.(1)解：•・•四边形ABC。是正方形，

：.AB=CD^AD,ZBAD=ZC=ZD=90°,

由旋转的性质得：△A8E之

：・BE=DM,ZABE=ZD=9Q°,AE^AMf/BAE/DAM,

AZBAE+ZBAM=ZDAM+ZBAM=ZBAD=90°,

即NEAM=90°,

VZMAN=45°,

:.NEAN=90°-45°=45°,

:・/MAN=NEAN,

在△AMN和AAEN中，

ZAM=AE

<ZMAN=ZEAN,

AN=AN

・•・△AMN丝AAEN(SAS),

:.MN=EN,

•・•EN=BE+BN=DM+BN,

：.MN=BN+DM,

在RtZiCMN中，由勾股定理得：MN^VCN2<M2=A/62+82=10,

则BN+DM=10,

设正方形ABC。的边长为x,贝I]8N=BC-CN=x-6,DM=CD-CM=x-S,

.*.x-6+x-8=10,

解得：x=12,

即正方形ABC。的边长是12；

故答案为：12；

(2)证明：没BN=m,DM=n,

由(1)可知，MN=BN+DM=m+n,

:/B=90°,tan/BAN=1，

3

.•.tan/8AN=^=工，

AB3

:.AB=3BN=3m,

：.CN=BC-BN=2m,CM=CD-DM=3m-n,

在RtzXCMN中，由勾股定理得：(2m)2+(3m-n)2=Gn+n)2,

整理得：3m—In,

.".CM=2n-n=n,

：.DM=CM,

即"是CD的中点；

(3)解：延长AB至P,使BP=3N=4,过尸作BC的平行线交0c的延长线于Q,延

长AN交尸。于E,连接如图③所示：

则四边形APQO是正方形，

，PQ=DQ=AP=AB+BP=12+4=16,

设。M=a,则MQ=16-a,

'."PQ//BC,

：.MABNsAAPE,

.型=旭=丝=旦

"PEAP76I;

：.PE=^BN=^-,

33

:.E0=PQ-PE=16-丝，

一33

由(1)得：EM^PE+DM=—+o,

3

在RtZkQEM中，由勾股定理得：(孕)2+(16-a)2=(西+a)2

33

解得：＜7=8,

即DM的长是8；

故答案为：8.

16.(1)①证明：如图1,

:四边形ABC。是正方形，

：.OC^OA^OD=OB,AC±BD,

：.ZAOB=ZCOD^90°,

1/ACOD绕点0按逆时针方向旋转得到ACiOG,

；.OC1=OC,ODi=OD,ZCOCi^ZDODi,

：.OCi^ODi,ZAOCi=ZBODi=90°+ZAOD1,

在△AOCi和△BOD中

rOA=OB

,ZAOCpZBOD^

OCl=ODi

：.AAOC1^/\BOD1(SAS)；

②ACi_L8Oi；

(2)ACi±BDi.

理由如下：如图2,

:四边形ABC。是菱形，

：.OC=OA=^-AC,OD=OB=^-BD,ACLBD,

22

/.ZAOB=ZCOD=90°,

■:XCOD绕点0按逆时针方向旋转得到△Ci。》,

；.OCi=OC,ODi=OD,ZCOCi=ZDODi,

：.OCi^OA,ODi=OB,ZAOCi^ZBODi,

,QC1_0A

AAOCi^ABODi,

：.ZOACi=ZOBDi,

又・・・NAO8=90°,

ZOAB+ZABP+ZOBD\=90°,

・•・ZOAB+ZABP+ZOACi=90°,

・・・ZAPB=90°

：.AC\LBDu

*/AAOCi^ABODi,

qAC

,AC-_0A_AC_5

，BD[OB1BDBD7,

,.%=立；

7

(3)如图3,与⑵一样可证明△AOGsABODi

,AC-_0A_AC_1

,BDiOBBD2

,•,△CO。绕点。按逆时针方向旋转得到△GOOi,

・•・OOi=O。，

而0D=0B,

：.ODi=OB=OD,

...△应比)1为直角三角形，

在RtABDDi中，

BD?+DDI2=BD2=100,

(2AC1)2+。。/no。，

：.ACI2+(kDDi)2=25.

5

国1

17.解：（l）y=x-3中，令尤=0,贝l]y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,贝!|x=3,

：.B(3,0),

将C(0,-3),B(3,0)代入y=m：2+4x+〃中，

.fn=-3,

19m+12+n=0

解得，m=-l,

ln=-3

；.y=-JT+4X-3；

(2)存在点P,使得以C,M,P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下:

:y=-f+4x-3=-(尤-2)2+1,

：.M(2,1),对称轴为直线x=2,

设尸(2,力,

：.MP=\t-1|,MC=2遥,CP=《4+(t+3)2,

①当时，|r-l|=2遍，

.".t=2y[s+l或f=-2\|f5+l,

：.P(2,2-75+I)或(2,-275+1)；

②当MP=CP时，\t-11=^4+(t+3)2-

解得片-旦，

2

：.P(2,-3)；

2

③当MC=CP时，2灰=山+6+3)2,

解得f=l(舍)或/=-7,

：.P(2,-7)；

综上所述：尸点坐标为(2,2泥+1)或(2,-275+1)或(2,--1)或(2,-7).

18.解：⑴:抛物线的顶点为。(2,8),

19

4X(E)Xc-b

2X(41)4X(蒋)

解得6=2,c=6,

1,

.,.y=-—x+2x+6；

2

(2)令y=0,贝Ij-

解得％=-2或x=6,

/.A(-2,0),B(6,0),

令x=0,则y=6,

：.C(0,6),

设直线AD的解析式为y=kx+d,

.f-2k+d=0

•12k+d=8'

解得仆=2,

Id=4

.'.y=2x+4,

设直线BC的解析式为y=kx+d,

解得。’=-1,

ldy=6

•*.y-—x+6,

设P（r,-A?+2r+6）,

2

'."QP//AD,

直线QP的解析式为y=2x-lr+6,

2

当2x--r+6—-x+6时，x——^,

26

：.Q（Ar2,6-L2）,

66

•••PQ=遥居PT，

6

V0</<6,

-2

..P2=V5（-—A?）=-遮（r-3）+3VS,,

662

当f=3时，P。有最大值宜醇，

此时尸（3,正）；

2

（3）。点关于直线x=l的对称点为（0,8）,

，新抛物线yi=--X2+8,

2

当--x2+2.r+6=-工/+8时，x—1,

22

：.E（1,生），

2

-/y=--X2+2X+6=--（x-2）2+8,

22

.,•抛物线的对称轴为直线x=2,

设F（2,机），G（%-A«2+8）,

2

当EF为平行四边形的对角线时，

r1+2=-2-41

）lm4v15=