北师大版版（2019）必修第一册全册检测卷（一）

北师大版版（2019）必修第一册全册检测卷（一）

一、单选题

1.己知复数z=U（i是虚数单位），则W所对应的点所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.在AABC中，角A,B,C所对的边分别是。，b,c,若从+。2=/+*,则角A的

大小为（）

ArB.工C.空D.多

6336

3.如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面

直径A3=16米，母线长AD=4米，圆锥的高打2=6米，则该蒙古包的侧面积约为

（）

A.3367r平方米B.272兀平方米C.2087t平方米D.1447r平方米

4.如图，正方形A6CO中，点E是边。C的中点，点厂是边8c的靠近8点的三等分点,

那么丽=（）

B.-AB+-AD

42

1—.2—.

D.-AB--AD

23

5.若函数/（x）=lan"x+?J®>0）的图象相邻两支截直线y=1所得线段长为则

下列结论错误的是（）

A.函数/（幻的最小正周期为］B.函数/（%）在区间（-今看）上单调递增

C.函数f（x）的图像与直线x=?不相交D.函数的图像关于点0）对称

6.已知“，〃是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，给出下列四个命题:

①如果机ua,〃ua,mlip,〃〃〃，那么〃?//〃；

②如果〃?//〃，〃_La,那么mLa\

③如果a_L/7,机ua,nup,那么；

④如果an£=m,加_L〃，〃ua,那么〃_L〃.

其中正确命题的个数有()

A.4个B.3个

C.2个D.I个

7.已知函数/(x)=J5sin2④r+2cos2〃求一1(8>0),若/(x)在(0,乃)上有2个极大

值，则。的取值范围是()

7137571375

A.[―»—)B.[―,-]C.(—,—]D.(—,-]

OOO3OOO3

8.己知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上SA=S3=SC=回心ABC是边长

为6的正三角形，则球。的表面积等于()

64乃B.照

A.C.16%D.36乃

~9~9

9.把函数/a)=cos(2x+?)的图象向右平移?个单位长度,再把横坐标压缩到原来

的g倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)()

A.最小正周期为2万B.奇函数

C.偶函数D.g停-x)=g(x)

10.如图所示，AABC的面积为士叵，其中48=2,448c=60。，为边上的高,

2

M为40的中点，若丽7=4而+〃恁，则之+24的值为()

c1

11.已知函数/(x)=sinx+acosx满足：/(上/仁).

若函数/")在区间［%,々］上单调,

且满足/(百)+/(再)=。，则|内+七|的最小值为()

7174%

A.D.

6T

12.如图，在直三棱柱ABC-4与G中，反?_1_面47。小，C4=CC,=2CB,则直线BG

与直线AB1夹角的余弦值为（）

A.辿B.更~C.6D.-

5355

二、填空题

13.在直角坐标系xoy中，角。的始边为工正半轴，顶点为坐标原点，若角。的终边经

过点（-3,4）,则sin（a+i）=

14.已知向量Z=（T2）,人（4,1）,伍+可邛£叫，则实数1的直为.

15.方程sinx+石cosx=l在区间［0,3句上的所有解的和等于.

16.在中，ZBAC=-AB=AC=2,点M在AA5c内部，cos/AMC=--，

2t5

则MB2-MA^的最小值为.

三、解答题

17.已知复数4=可+始（4也e/?）,满足4=1ZM=N；+1+2小£N）其中i为虚

数单位，Z表示Z“的共甄复数.

（1）求区|的值；

（2）求40ft.

18.如图，四棱锥尸-ABC。中，四边形A8CD为直角梯形，在底面A8CO内的

射影分别为AB,A。，PA=AB=2AD=2CD=2.

⑴求证：PC±BC；

(2)求。到平面PBC的距离.

19.已知函数/("nasingcosggAa^X)•从下列四个条件中选择两个作为已知，

使函数/(%)存在且唯一确定.

⑴求/(x)的解析式；

出设8(工)=/(工)-2852的+1,求函数g(x)在(0,乃)上的单调递增区间.

条件①:0=1;

条件②："力为偶函数；

条件③：f(力的最大值为1;

条件④：/(力图象的相邻两条对称轴之间的距离为

注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

20.在AABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,a2-b2+^bc=accosB.

⑴求角A;

(2)若力sinA=Gsin8,求AA8c面积的最大值.

21.在平面直角坐标系xOy中，A冬冬在以原点。为圆心半径等1的圆上，将射

\/

线04绕原点。逆时针方向旋转。后交该圆于点8,设点8的横坐标为/(a),纵坐标

g(a).

(1)如果sina=/〃，0</n<l,求/(a)+g(a)的值(用，〃表示);

(2)如果瑞=2,求/(a)g(a)的值.

22.如图，四棱锥E-ABCD中，底面4BCO为直角梯形，其中AB_L8C,CD//AB,

面ABEJ■面ABCO,且A8=AE=BE=28C=2CD=4,点M在棱AE上.

(1)若2EW=AW,求证：CE〃平面BOM.

(2)当AE：_L平面A/6C时，求点E到平面6DM的距离.

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

化简z=2-i,由共规复数的定义知W=2+i，再由复数的几何意义知Z所对应的点为(2,1),

在第一象限，即可得出答案.

【详解】

3+i(3+i)(l-i)4-2i

T+T-(l+i)(l-i)-2=2—i,贝丘=2+i，

)所对应的点为(2,1),在第一象限.

故选：A.

2.B

【解析】

【分析】

由已知利用余弦定理的推论可得8sA=g,结合范围Ae(Oz),可求角A得值.

【详解】

解：

,:b2+C1=a2+bc

二•由余弦定理的推论，可得cosA=：一"=4,

2bc2

又。Ae(O,4)

A=-

3

故选：B.

3.D

【解析】

【分析】

首先根据圆柱的侧面展开图为长方形求出圆柱的侧面积，再根据圆柱的侧面展开图为扇形求

出圆锥的侧面积，进而得到蒙古包的侧面积.

【详解】

答案第1页，共15页

依题意得,

圆柱的侧面积H=2兀〃卜AD

2兀k—xl6K4=64兀

2

•.DC=AB=16,：.QC=-DC=-x\6=S,

22

在RSPQC中，PC=yjPQ1+QC-=762+82=10.

「•圆锥的侧面积S2=gxPCx27cx℃=；xl0x27cx8=80兀，

「•该蒙古包的侧面积S=£+S?=64兀+80兀=144兀，

故选：D.

4.D

【解析】

【分析】

由向量线性运算直接求解即可.

【详解】

.._2_1_2.1_1.2_

EF=CF-CE=-CB一一CD=-DA一一BA=-AB一一AD.

323223

故选：D.

5.D

【解析】

【分析】

由周期求出3，再根据正切函数的性质判断.

【详解】

由已知选项A显然正确，则工=:，3=2,

co2

/(x)=tan(2x+g),

6

时，2x+£e(-g,g)=(-g,g),B正确：

6666222

x=£时，2x+[=2，lang无意义，C正确；

6622

x=f时，2x+J=>,，停I*。'D错误，

463V47

故选：D.

6.D

答案第2页，共15页

【解析】

【分析】

根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】

解：对于①如果mua,nua,mH。,〃〃尸，那么血/〃或小与〃相交，故①错误；

对于②如果m//〃，nLa,由线面垂宜的性质可知6_La,故②正确；

对于③如果a_L尸，mua,〃u",那么m"L〃或根〃〃或加与〃相交（不垂直）或机与〃异

面（不垂直），故③错误；

对于④如果。（1/=机，〃z_L〃，，!ua,那么〃_L6或〃与£相交（不垂直），

当且仅当afl尸二加，〃ua,那么〃_L夕，故④错误.

故选：D

7.C

【解析】

【分析】

先对函数化简，然后由0＜工＜心，所以［＜20x+gv2wr+g.再由」（幻在（0,乃）上有2

666

个极大值，可得学＜2。4+从而可求出。的取值范围

262

【详解】

由题意可得/（x）=-75sin2cox+cos2a）x=2sin（2ct?x+—）.

6

jrjrjr

因为0＜X＜肛，所以一＜2＜yx+—＜2＜wr+—.

666

因为/（x）在（0,乃）上有2个极大值，

所以二-v26y乃+•M二-,

2672

所以7;13

66

故选：C

8.B

【解析】

【分析】

直接利用外接球和三棱锥的关系求出球的半径，计算即可.

【详解】

答案第3页，共15页

己知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球0的球面上，SA=SB=SC=MmABC是边长为石

的正三角形，如图所示：

取BC的中点。，点”为底面的中心，所以80=立.AD=3,A"=2AO=I,

223

设外接球的半径为R,所以SH=J(M)2-1=3,

利用勾股定理可得，R2=(3-R)?+匕解得R=?.

则球。的表面积为S=4乃尿=等.

故选：B.

【解析】

【分析】

根据平移变换和周期变换的原则求出函数g(x),再根据余弦函数的性质及诱导公式逐一判

断各个选项即可.

【详解】

解：把函数.f(x)=cos(2x+?)的图象向右平移?个单位长度，

得y=cosifx-y'j+y=COS^2A-^,

再把横坐标压缩到原来的3倍，纵坐标不变，

^y=cos(4x-y1,BpJ?(x)=cosl4x-jj,

答案第4页，共15页

则最小正周期为今=事，故A错误;

因为8,所以函数g（x）是非奇非偶函数，故BC错误;

=cos4x-jj=g(x),故D正确.

=COSI-4x+2^4-3-

故选：D.

10.C

【解析】

【分析】

根据三角形的面积公式可求得8C,再根据AO为8C边上的高，求出80,从而可得出点。

的位置，再根据平面向量的线性运算将疵用而，而表示，再根据平面向量基本定理求出

4",即可得解.

【详解】

解：S=-ABBCsinZABC=—BC=—,

ABC222

所以8C=3,

因为4。为8C边上的高，

所以BO=ABsinAABC=l=1fiC,

因为"为4。的中点，

所以而=；亚=（（而+而）=:（而+g肥）

=4而+:（而砌卜那+广，

又因为而:2而十〃宿

所以％=!，〃=!,

3o

2

所以义+2〃=—.

故选：C.

11.C

【解析】

【分析】

答案第5页，共15页

利用辅助角公式化简，结合已知可求解析式，然后由，&）+/*2）=0可知号等于函数图

象对称中心横坐标，求出函数对称中心可得.

【详解】

f（x）=sinx+tzcosx=-Ja2+1sin（A：+（p）»（P

因为/（x）4/闾，所以当x=£时，取得最大值，即sin（J+/）=l

ko766

所以丁+9=彳，即8=]

623

因为/（K）+/（勺）=0，所以（M，/（西）），（WJ（W））的中点是函数/（%）的对称中心，

由.*+¥=&%,AwZ,x=k7r--,keZ

33

所以三强二々万一],

23

所以k+w|=2火万一半次wZ

易知，当2=0时"即取得最小值率

故选：C

12.C

【解析】

【分析】

连接。4交BG于。，若E是AC的中点，连接8瓦&）,易得瓦即直线BC1与直线

A4夹角为N3DE或补角，进而求其余弦值.

【详解】

连接交8G于。，若E是AC的中点，连接8EED,

由ABC-A4G为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：。是C4的中点,

答案第6页，共15页

所以ED//AM，故直线8G与直线AM夹角，即为E•。与BG的夹角/血汨或补角,

若BC=1,则CE=1,BD=CD=—,

2

BCJ•面ACGA，ECU面ACGA，则CB_LCE,

而EC_LCC],又BCCCCi=C,BC,CC]u面BCC禺，故EC_L面BCC]4,

又COu面BCC圈，所以CE_LCD.

所以ED=JC£)2+CE2=T，BE=\ICB2+CE2=yp2，

5+9_

=在

在^BDE中CGS&DE=

2BDED一5,

2x邑2

22

故选：C

4

13.--##-0.8

【解析】

【分析】

结合三角函数的定义、诱导公式求得正确答案.

【详

sina=,=-,sin（a+乃）=-sina=—

55-

4

故答案为：-w

14.5

【解析】

【分析】

由向量数量积的坐标运算可得答案.

【详解】

•・*+%（3,3）,（fZ-%（-f-4,2f-l）,

.••R+石）伍-5）=-3.12+6-3=0,解得［=5.

故答案为：5.

答案第7页，共15页

【解析】

【分析】

由已知可得sin[+?）=3,由xwp3司可求得的取值范围，求出原方程的根，相加可

得结果.

【详解】

由sinx+y/3cosx=2sin

\-0<X<3TT,则工《工+工《也，所以，x+£w54134T7冗

3333

7111万5万

解得XW

2'6'2

因此，方程sinx+Gcosx=1在区间[0,3句上的所有解的和+,=今一

故答案为：等29乃.

o

16.2

【解析】

【分析】

先利用正弦定理求得△AMC的外接圆半径R=[,建立平面直角坐标系，利用坐标法把

4

MB?-MA2转化为MB2-MA1=7-5sin<9,即可求出MB2-MA2的最小值.

【详解】

因为ZAMC£（0"）,COSNAMC=—|,所以sinZ4MC=Jl一卜|1=之

AC2=,

在AAMC中，由正弦定理得：=2/e（R为AAMC的外接圆半径），所以4=

c.m0/A”KnC^—

解得：吟

答案第8页，共15页

如图所示：设AAMC的外接圆的圆心为0,建立如图示的坐标系.

222

设E为AC的中点，所以AE=CE=1,OE=ylR-AE=4|]-I=-

x=-cos0

所以点M的轨迹为：f+y2=E，可写出4:（。为参数）.

16y=*

因为点M在AABC内部，所以M（/osajsin。）（其中夕满足-g<8se<1，6©（0,万））.

所以M夕-MA-cos^+1-cosi9+l+—sing——

44

—sin^-—

=7-5sin/9

44a

因为。满足一W<cos6<《，。«0,乃），所以gvsinJKl,

所以当sind=l时M8、M42=7-5=2最小.

故答案为：2

17.（1）2夜；（2）100+2i.

【解析】

【分析】

（1）将〃=2代入2向=尉+1+24"£”）中，可得Z?,利用复数的模长公式求解即可；

（2）由2,向=乙+1+2«〃£“（）以及2”+|=勺+1+。心工，可得出qoo和4oo，代入可得Zioo.

【详解】

（1）由题意知，Z2=a2+b2i,4=1/2=/+l+2i=2+2/

|Z,|=V22+22=2x/2：

答案第9页，共15页

(2)4=1,生=2；"=0,瓦=2

zba

„=4一A„/.Zfl+1=Zn+\+2i=an-bni+\+2i=an+l+(2-bn)i

又Z.+i=,「.an+l=an+1也川=2-btl

则｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列，《00=1+99x1=10()

瓦=0也=2,/.b3=0h=2...,biG0=2

故4oo=100+2/.

18.(1)证明见解析

⑵*

【解析】

【分析】

(1)由题意可证ADJ_Q4、AB±PA,则可得Q4_L而A8CD,即可知R4_LBC,又AC_LBC

则可得8。_1_面尸47,即可证PCJ_AC.

(2)分别计算出品g与再利用等体积法匕>_mc=匕5。即可求出答案.

(1)

因为网在底面A8CO内的射影为A8,所以面243_1_面48(7。，

又因为A£>_LAB,面RA8c面ADu面A8CD

所以A0L面R4B,

又因RAu面Q48因此ADJ.P4,

同理

又ABcA£>=A,A£)u面A8CO,A8i面ABC。

所以胡_1面钻8,

又BCu面A8CQ,所以以_L8C,

连接4C，易得AC=V5，NB4C=45",又A8=2,

故AC_L3C,

又「AC|AC=A,E4u面PAC,E4u面PAC

因此6。_1面24。，

又PCu面尸AC

答案第10页，共15页

即尸CJ_3C；

(2)

在RT/AC中PC=E^=m.

在RT^ACB中BC=，4-2=y/l,•

把D到平面PBC的距离看作三棱锥0-P8C的高儿

由等体积法得，^D-PBC=Vp_BCD»

故泮4即洛邛，

33SpueL创R夜3

2

故D到平面PBC的距离为立.

3

19.⑴选择①④或③④均可得到f(x)=sin2x

(2)传同和(吟)

【解析】

【分析】

(1)首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分选择①③、①④、

③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出〃、即可求出函数解析式；

(2)由(1)nmg(x)=sin2x-2cos2x+l,再利用二倍角公式及辅助角公式化简，最后根

据正弦函数的性质计算可得；

(1)

解：因为/(x)=asin5cos3x(a>0,3>0),所以/(x)=gasin23,

显然当。工0时〃力为奇函数，故②不能选，

若选择①@,即"X)=；asin2的最大值为1,所以;〃=1,解得。=2,所以f(x)=sin2如，

又/仔)=1,所以/1仔)=sin(2ox7)=l,即=]+2攵4,keZ,解得口=1+44，keZ,

故/(x)不能唯一确定，故舍去；

若选择①④，即/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为所以葛=乃，解得3=1，所

答案第11页，共15页

以/(x)=；"sin2%,又/(?)=gasin(2x；J=l,所以;。=1,解得a=2,所以

/(x)=sin2x；

若选择③®，即/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为所以葛=乃，解得⑷=1，所

以/(x)=gasin2x，又/(%)的最大值为1,所以g〃=l,解得。=2,所以/(x)=sin2x；

(2)

解：由(1)RTW^(-^)=/(X)-2COS26Jtx4-l=sin2x-2cos2x4-l=sin2x-cos2x

令2k8一力£2x2k几+%,keZ,解得左乃一(WxW%4+茎，kwZ,所以函数的单调

kwZ,又x«0㈤，所以g("在((U)上的单调递增区间

20.⑴4二

⑵地

4

【解析】

【分析】

(1)先利用正弦定理及余弦定理求得8sA的值，进而求得角A的值；

(2)先利用余弦定理构造关于汰c的不等式，进而得到反的最大值，即可求得AABC面积

的最大值.

(1)

22a+cb

ti]a-b+\bc=accosB,可得q?一/-ac.~_l/,c,

22ac2

^b2+c2-a2=bc，则cosA==；，

-+：2bc一。2

由于OVAVTI,所以A=].

(2)

由bsinA=5/5sinB，可得〃sinB=\/5sinB，又sinB>0，则。=6,

222

则"=加+c-2bccoaA=b+c-hc>2bc-hc(当且仅当b=c时等号成立)

答案第12页，共15页

则秘《3,(当且仅当6=c=G时等号成立)

则S4ABC=gbcsinA<^x3x^=,

即“1BC面积的最大值为唯.

4

21.(1)