人教版高中数学必修第二册第六章教学设计

人教版高中数学必修第二册第六章教案教学设计

第六章平面向量及其应用

6.1平面向量的概念

一、教学目标

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、

单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向

量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生数学

抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,

会表示向量.

2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行

向量、相等向量、共线向量等概念.

三、课前准备

1.了解物理学中的矢量和标量：

2.了解有向线段的定义

四、教学过程

1、情景引入

一辆摩托车在公路向东向东快速行驶了一段距离，产生了一段位移,距离和位移一样吗？

【答案】摩托车行驶的路线实际上是有方向、有长短的量，距离和位移不一定一样.m

2、探索新知

（1）向量的实际背景与概念

问题1：位移与距离这两个量有什么区别？

【答案】距离只有大小，是标量；位移既有大小，又有方向，是矢量,。

向量与数量的定义：

只有大小，没有方向的量叫做数量（在物理学中称为标量）.既有大小，又有方向的量叫

做向量（在物理学中称为矢量）；

注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小

又有方向，向量是不能比较大小的.

练习：判断下列量不是向量的选项是（）

A.距离B.速度C.力D.密度

【答案】选AD

（2）向量的表示

问题：由于实数与数轴上的点一一对应，数量可以用数轴上的一个点来进行表示，那么向

量是如何表示呢？

有向线段的定义

以A为起点，B为终点，则线段AB具有方向，把这样具有方向的线段AB叫做有向线段.

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.

线段AB的长度也叫做有向线段通的长度，记作|Q|.

问题:一条有向线段由哪些要素所确定？

【答案】起点、方向、长度.

向量的几何表示

（1）几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头

B（终点）

所指的方向表示向量的方向。

（2）用字母等表示；A（起点）

①用有向线段字母表示：AB（A为起点、B为终点）；

②用小写字母表示：3、。；（印刷用a,书写用。）

注意：

用有向线段表示向量时,起点的位置可以是任意的，所以向量与起点无关，规定数学中

的向量具有自由性.

4.向量的模

向量而的大小称为向量而的长度（或模），记作|施|或记作|Z|。

思考：向量的模的取值范围？

【答案】非负数。

5.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作6.

思考：6与0的含义与书写区别.

单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？

【答案】以原点为圆心，1为半径的圆

注意：（1）零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）向量是不能比较大小的，但向量的模（是非负数）是可以进行大小比较的.

（三）.相等向量与共线向量

1.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定。与任一向量平行.

思考：若a底,bHe,则a〃c?

【答案】若3=6时，则不成立

2.相等向量定义:

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）零向量与零向量相等，但是两个单位向量不一定相等；（3）向量是否相等只

与大小和方向有关，与起点无关.

3.共线向量与平行向量关系：

如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的

起点无关），所以平行向量就是共线向量.

a■A

b.cJ_a_________

cA-cO_~T~

巩固训练：填空：（对下列选项对的打Y错的x）

（1）平行向量一定方,向相同（）

（2）不相等的向量一定不平行（）

（3）与零向量相等的向量必定是零向量？（）

（4）与任意向量都平行的向量是零向量？（）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量？（）

（6）两个非零向量相等的当且仅当长度相等且方向相同（）

（7）共线向量一定在同一直线上（）

【答案】（Dx（2）x（3）V（4）4（5）V（6）V（7）x

例1.如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与向量而、而、比相等的向量.

解：（1）54,无，方。瓦是共线向量;而，加，的而是共线向量；

乐而丽，的是共线向量；

⑵苏=k=丽方=皮=函0C=^B=^D=7a

例2.如图所示，4x3的矩形（每个小方格都是单位正方形），在起点和终点都在小方格的顶点

处的向量中，试问：

B

A

（1）与A%相等的向量共有几个；

（2）与A5方向相同且模为3亚的向量共有几个；

分析:根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.

解油题意可知，因为每个小方格都是单位正方形，

所以每个小正方形的对角线的长度为应且都与前平行，则AB=V22+22=2X/2,

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，

则与低相等的向量共有5个，如图1；

（2）与4%方向相同且模为3板的向量共有2个，如图2.

点睛:本题考杳共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查分析问题的能力和

数形结合思想.

五、课堂小结

1.向量的概念；

2.向量的表示：代数表示、几何表示；

3.研究向量的两个方面：

大小：零向量、单位向量；

方向：共线向量、平行向量；

大小与方向：相等向量、相反向量

4.数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对。的讨论）。

六、课后作业

习题6.12,3题

六、课后反思

本节课是“平面向量及其应用”的起始课，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展

过程的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究

向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最

后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问

题中的应用埋下伏笔。教学中还需注意以下三个方面：

(1)通过平面向量的概念形成,让学生体会“平面向量具有集形与数于一身的特征；

(2)引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再白学生或师生共同完善

概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。

第六章平面向量及其应用

6.2.1向量的加法

一、教学目标

1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义：

2.熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量;

3.理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.两个向量的和的概念及其几何意义；

2.向量加法的运算律。

三、教学过程：

1、情景引入

在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示.它的

正与竖直运动的分位移而的合位

实际位移行,可以看作水平运动的分位移

问题I：根据物理中位移的合成与分解，你认为荏，/万，AC之间有什么关系？

【答案】AB=AC-^AD-

问题2：向量Ab,AC,CB之间有什么关系？

【答案】AB=AC+CB.

2、探索新知

(1)向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：AB+BC=AC.

规定：零向量与任一向量都有2+0=0+£=£.

说明：①共线向量的加法」£_____W

—>----->4方出

②不共线向量的加法：如图(1),已知向量£,b,求作向量2+尻

作法：在平面内任取一点。(如图(2)),作砺=£,AB=b,则04=£十万.

⑴(2)

(2).向最加法的法则：

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：而+布.【口诀】尾首相接首尾相连。

平行四边形法则：以同一点收起点的两个已知向量7,B为邻边作口A5CQ,则

则以A为起点的对角线前就是-与B的和,这种求向量和的方法称为向量加法的平行

四边形法则。

【口诀】共起点，和为对角线。

小组合作探究：

问题1：若向量［和B共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量>+.吗？

【答案】(1)当力和了同向时，a+b=AB+~BC=AC.

♦

(2)当［和坂反向M,a+b=AB^^C=ACo

问题2：|3+川之间具有什么样的关系。

【答案】当)和■反向或不共线时，|3+1|<|)|+而；当々和1同向时，|H|=|Z|十而。

综上，\a+b\^a\+\b\.

问题3：向量的加法能否像数的加法也满足交换律和结合律呢？

【答案】如图所示：在平行四边形48CO中，AC=AB+BC=a+b,

AC=AD+DC=h+a,所以4+1=各+〃。

在图(2)中，~AD=^B+~BC+CD=~AC+CD=(a+b)+c,

AD=AB+BC+CD=AB+BD=a+0+c),所以，

(a+1)+c=a+@+c)。

运算律：

交换律：a+b=b+a.结合律：(a+h)+c=a+(b+c).

4.例题分析：

例1.化简下列各式：

⑴方+丽+而；

(2)(AB+MB)+BO-^OM；

(3)AB^BC+CD+DE.

解：⑴而+而+丽=(丽+方)+丽=砺+而=0；

⑵(48+A/B)+3O+OA1=(A8+3O)+(OM+MB)

=AO^-OB=AB；

(3)AB+BC-^CD+DE=AC^CD-hDE=AD+DE

=AE.

例2.如图，点0是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列两个等式•定成立的是哪个？

①A8+AO=AC；②BO+OC=DA.

解：而+而=尼,故①正确；

BO+OC=BC=AD,故②错误

注意：向量求和，注意“首尾顺次相连”；向量加法的结果还是向量4B

例3.小雨滴在无风时以4m/s的速度匀速下落.一阵风吹来，使传小雨滴以3m/s的速

度向东移动.那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？

（提示：tan37。=$

解：如图，设万5表示小雨滴无风时下落的速度

,08表示风的速度，以OA,0B为邻边作

平行四边形0ACB,则℃就是小雨滴实际飞行的速度.在RtAOAC中,OA.|=4m/s,

AC\=3m/s,所以ocI=5m/s.且tanNAOC=*即/八06比37°.

所以小雨滴实际飞行速度为5m/s,方向约为东偏南53°.

四、小结：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；

2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则以及向量加法的运算

律。

3.\a+b\<\a\-^-\b\

五、作业：习题3.16,7,9题

第六章平面向量及其应用

6.2.2向量的减法运算

课题：平面向量的减法

一、教学目标

1.掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，

2.掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解

向量方程，并会用几何法解向量方程.

3.通过对向量减法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点:

1.向量减法的三角形法则.

2.对向量减法定义的理解.

三、教学过程:

1.复习回顾

首先一起回顾一下求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，本节课我们

将学习向量的减法.

2、探索新知

(1)向量减法的定义:

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a—b=a+(—b).

求两个向量差的运算，叫向量的减法.

说明：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量；

②零向量的相反向量仍是零向量；

③任一向量和它相反向量的和是零向量.

(2)作法

如图所示，以平面内的•点作为起点作a,b,则两向量终点的连线段，并指向a终点

的向量表小a—b.

说明：向量减法可以利用相反向量转化为向量加法,

b与a—b尾首相接，首尾相连，得至i]a—b=硝.

例题分析：

例1.如图，已知向量a,b,c,d,求作向量a—b,c—d.

解：作法：如图，在平面内任取一点0,作嬴=a,0B=b,

0C=c,而=&作前，DC,则前=a-b,DC=c-d

例2.如图，。是平行四边形43co的两条对角线的交点，则下列等式不正确的是()

A

BC

A.DA-DC=ACB.DA+DC=DO

C.OA-OB+AD=DBD.AO+OB+BC=AC

解:对于A，DA-DC=CA^改A错误；对于8，DA+DC=DB^故8错误；对于

C,OA-OB+AD=BA+AD=BD^故C错误。故选:ABC

例3.如图，四边形OAO8是以向量次=£,砺=另为边的平行四边形，又

BM=—BC,CN——CD,试月a、b表不MN

oA

解:；BM=LBC,BC=CA,：

36

BM=-BA=-(dA-OB)=-(a-b).

666

/.OM=OB+BM=b+-(a-b\=-a+-b.

6、766

,CN=-CD,CD=OC、

3

ON=OCCN=-OD=-(OAOB)=-a+-b.

+33+33

___.22rl5-11-

/.MN=ON-OM=-d+-ha--b=-a——h.

336626

四、小结：L理解向量减法的概念及向量减法的几何意义；

2.熟练掌握向量减法的三角形法则以及向量减法的运算。

五、作业：习题622.

第六章平面向量及其应用

6.2.3向量的数乘运算

一、教学目标

1.让学生理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；

2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表

示结果；

3.理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

二、教学重点

1.实数与向量积的定义及几何意义.

2.向量共线的充要条件及其应用。

三、教学过程：

1、情景引入

质点从点。出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用£表示，那么在同方

向上经过2s的位移所对应的向量可用2公来表示。

问题1：这里，2-如何表示？-2£如何表示？

已知非零向量4,求作。+4和（一。）+（-。）.

a『£「£「々Y

0~ABE~~D~~C

如图：04=。+〃=2。，CE=（-a）+（-a）=-2a.

问题2：这里，23是何种运算的结果？

2、探索新知

引出实数与向量的积的定义：

一般地，实数；I与向量［的积是一个向量，记作/l£,它的长度与方向规定如下:

（1）|m=|刈£|；

（2）当4>0时，的方向与Z的方向相同；当；IvO时，％）的方向与Z的方向

相反；

当；1=0时，（让学生自己解释其几何意义）

实数；1与向量£相乘，叫做向量的数乘

问题：通过几何意义，让学生尝试验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律

2.实数与向量的积的运算律：

（1）4（脑）=（%〃）£（结合律）；①

（2）（4+〃应=42+〃£（第一分配律）；②

（3）2（a+b）=Aa+Ab（第二分配律）.③

例1.已知向量。和向最加，求作向量一2.5a和向最2a~3b。

ab

解：如下图【作法】

(1)如图所示，向量一2.53的长度是公的长度的2.5倍，方向与£相反，即荏=一2.5£.

(2)以。为起点，分别作近=27,0D=3h,连结DC,则反=2£-3尻

例2计算：(1)4(a-b)~3(a+2b)；(2)2(2fl+6h-3c)-3(-3«+4h-2c)

分析：根据实数与向量的向量的线性运算的法则去解题.

解：(1)a-iOb；(2)13«.

问题：向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点？

生答：(1)向量的数乘与实数的乘法的区别：

相同点：这两种运算都满足结合律和分配律.

不同点：实数的乘法的结果(积)是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量.

(2)向量线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似.

例3.判断下列各题中的向量是否共线：

--2---1-

(1)a=4e.—a,b=e\---ei；

1510

(2)a=ei+«2,b=2e\-2ei：且ei,ez共线.

解：(1)当3=0时，则加=0,显然B与］共线.

一一一一1-121一一一

当。工0时，b=e\---ei=—(4e,——当)=—a,与。共线.

104154

(3)当e»62中至少有一个为零向量时，显然办与。共线.

当ei,。2均不为零向量时，设e=4«2

Aa=(1+A)ez,1=(24-2)e2

若；1=一1时，，a=O,显然坂与2共线.

若；1工一1时，b=^^a,

1+/1

・・・分与£共线.

例4.设Ci,七是两个不共线的向量，已知A3=2自+Ze?,=ei+3e2,CD=2ei—ez,

若A,B,。三点共线，求Z的值。

解：BD=CD-CB=（2e\+3々））=e1一4个

•・・A,B,。三点共线，・•・福与丽共线，即存在实数/,使得瓶=2丽，

即是2e\+kez=2（ei-4ei）.

[2=2

由向量相等的条件，得《，°,・•・攵=一8.

[k=-4A

四、小结：

1.实数与向量积的定义；

2.理解实数与向量积的几何意义；

3.实数与向量的积的运算律.

五、作业：习题

第六章平面向量及其应用

6.2.4向量的数量积

一、教学目标：

1、知识与技能：

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义，掌握平面向量数量积的性质.

2、过程与方法：

经历从物理背景的分析，抽象概况出概念的过程，培养学生归纳概括、类比迁移的能力;

经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、

数形结合的数学思想方法.

3、情感、态度、价值观：

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的

密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作学

习的科学态度.

二、教材分析：

重点：平面向量数量积的概念和性质.

难点：平面向量数量积的性质的发现.

三、教学策略：

启发式和问题探究相结合。

四、教学过程：

（一）创设情境展示背景

如图小车在力F的作用下移动了一段位移是S,力和位移的夹角为仇从物理的角度来看

其实质是什么？

OO

（二）分析背景形成概念

群答：力对物体做功，力对物体做功，

问题1:图中力对物体所做的功是多少？

W=|F||S|COS^

（可能学生回答卬=|耳园,引导学生回答图中的力对物体所做的功是多少？）

这里的e是什么？

生1：力和位移的夹角

问题2：影响力对物体所做的功的因素有哪些？

群答：力F、位移S、力和位移的夹角6

问题3：像力F、位移S这些量在物理上我们称做什么量？大家回答看看

群答：矢量

问题4：很好！类比矢量在数学上我们把既有大小又有方向的量称为什么量？

群答：向量

问题5：那我们用数学的眼光来看这是向量的一种什么运算？我们看等式的左边是什么

量？

群答：标量

问题6：在数学上我们称为什么量？

群答：数量

从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？（课件展示）

生5：abcos。

问题7：下面大家注意了，像这种向量运算前面我们学习了好几种，对不对？有向量的

加法、减法、数乘，这些运算的结果都是什么量？

群答：向量

这种运算的结果是数量，跟以往不同。我们今天这节课就是从力的做功公式出发来引进

向量的一种新的运算，你能否给这种运算起个名称？大家想想看，取什么名字好！

生6：向量的积

问题7：太好了，这里的确是向量的积的运算。有没有人对这种运算有其他名字？

生8：向量的数量积

问题9：太棒了!大家觉得好不好！。。。。从结果来看是一个数量。还有吗？

生9:平面向量的数量积.

师:简直太牛了！

（由力对物体做功公式类比得出平面向量的数量积）

师：我们知道功运算中除了力前位移，还有一个夹角0,物理上称为力和位移的夹角，在

数学上我们称为向量的夹角，下面我们来看书本给出的向量夹角的定义：

向量的夹角：

已知两个非零向量公和坂，作加工£,而二人则

叫做向量ci与坂的夹角.

问题10：两个非零向量的夹角的范围是什么？

（课件展示）

当且仅当两非零向量2、b同方向时:

生10：。=0°

当且仅4，1反方向时，0=:

生11:6=180°

以上统称为allb

当o=,称々与B垂直，记作

规定：0°<601800

试一试：

如图：正中,求

ABAC

（1）_与_的夹角;

ABBC

（2）与的夹角。

答案为：（1）。=60°，（2）（9=120°

向量的夹角注意点：1.向量要共起点

2.角的范围

工几个特殊隹

下面正式给出向量数量积的定义：

已知两个非零向量3和人它们的夹角为氏则数量叫做［与B的数量

积（或内积），记作7B，即75=|£||B|COS£.（板演75=|£||B|COS6«和B不为

非零向量）

问题11:向量的数量积定义中£和书为何要是非零向量？

探究：