概率与统计类解答题

规范答题系列六

概率与统计类解答题

例（2021.济南一模）（12分）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的

关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表:

数学

4665798999109110116123134140

成绩X

物理

505460636668070737680

成绩y

（D由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数

据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10

组数据建立y关于X的经验回归方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取

得的成绩；

（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布Na,内,用

剔除异常数据后的样本平均值作为〃的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差

作为。的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望.

附：参考数据：

1111111111-

口］E（V-y）22586

i=1i=1i=1i=1i=18326

11106606858612042647700.31

上表中的方表示样本中第i名考生的数学成绩,V表示样本中第i名考生的物

一111

理成绩，y=五£"

i=\

参考公式：①对于一组数据Ml,M2,…，Un,其方差

]〃一]〃一

M2；②对于一组数据（MI,Vl）,（M2,02）,…，（.Un,

i=li=l

AAAA

Vn）,其经验回归直线0=。+/^的斜率和截距的最小二乘估计分别为6=

n——

YjUiVi-nuv

i=1

n—

工诏-nu2

i=1

A_A_

a=v-bu③若随机变量服从cr2）,则尸3-0</忘〃+（7）q0.683,

P（pi-+2（7）^0.955,P（U-+30^0.997.

A

解题思路（1）结合题中数据以及公式可得y=0.31x+35,将x=110代入即可

得结果；

（2）先得考生的物理成绩服从正态分布N（66,92）,根据正态分布的概率特征求

不低于75分的概率，进而可得Y的期望.

AAA

解（D设根据剔除后的数据建立的y关于x的经验回归方程为y=bx+a,

1110-110

剔除异常数据后的数学平均分为—访—=100'（1分）

660-0

剔除异常数据后的物理平均分为15-=66,（2分）

人68586—110X0—10X66X1002586

22^0.31.（3分）

贝匠—120426-110-10X100—8326

A

则*66-0.31X100=35,（4分）

A

所以所求的经验回归方程为y=0.3U+35.（5分）

又因为物理缺考考生的数学成绩为110.

A

所以估计其可能取得的物理成绩为y=0.31X110+35=69.1.（6分）

（2）由题意,知〃=66,（7分）

1111--（660、

因为2M=28-y）2+ily2=4770+□*［亓尸=44370,所以。=

i=ii=i

、^X44370-662=两=9,（9分）

所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（66,2）,

则物理成绩不低于75分的概率约为

1-0.683

~_20.1585,(10分)

由题意可知y〜5（10000,0.1585）,

所以物理成绩不低于75分的人数y的期望

E（Y）=10000X0.1585=1585.（12分）

踩点得分

1.求出剔除异常数据后的数学平均分得1分；

2.求出剔除异常数据后的物理平均分得1分；

AA

3.求出经验回归方程中的。和各得1分；

4.写出经验回归方程得1分；

5.将x=110代入经验回归方程求得结果得1分；

6.用样本均值估计正态分布的参数〃得1分；

7.用样本标准差估计正态分布的参数。得2分；

8.根据正态分布的概率特征求得不低于75分的概率得1分;

9.判断¥服从二项分布并求出期望值得2分.

答题启示

概率与成对数据的统计分析交汇的数学问题常见的主要有两类：一类是结合

回归分析问题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，这里需要注意非线性回

归方程的求解思路；另一类是概率与独立性检验交汇问题，这里需要注意的是进

行独立性检验时，提出的假设是两者无关.

［跟踪训练］

（2021.青岛二模）（12分）现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调

查，随机抽调了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购令”

赞成人数如下表：

月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)

(百元)

频数510151055

赞成人数4812521

(1)根据以上统计数据完成下面的2X2列联表，并判断能否在犯错误的概率

不大于0.05的情况下，推断“某市工薪阶层对于'楼市限购令'的态度与月收入

以65百元为分界点有关”？

月收入不低于月收入低于

合计

65百元的人数65百元的人数

赞成

不赞成

合计

(2)若从月收入在［55,65)和［65,75)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调

查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成“楼市限购令”的人数^的分

布列及数学期望.

n(ad-6c)2

附:72=;————，n=a+b+c+d.

A(tz+b\c+d)(a+c)(Z?+d)

下表给出了％2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(D零假设为Ho：某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度与月收入以

65百元为分界点无关.

由题意完成2X2列联表如下：

月收入不低于月收入低于

合计

65百元的人数65百元的人数

赞成32932

不赞成71118

合计104050

（2分）

50X(3X11-29X7)2

%2=32X18X10X40「6.27>3.841=xo.os,(3分)

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断册不成立，即认为某市工薪

阶层对于“楼市限购令”的态度与月收入以65百元为分界点有关，此推断犯错误

的概率不大于0.05.(4分)

(2%的所有可能取值为0,123,4,

C3C?1

P^=0)=c|XC^=T5^

*na©eg△Cgxcg3

pq=i)=-crxc^+ax-c?^=To>

0、GegaC?cicicici19

P.=2)E瓦+厘X瓦+*=后

Ged+C?CiCi17

尸仪=3)=C?C?o=90，

rZrg1

%=4)=酝?=后(7分)

44