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文档简介
规范答题系列六
概率与统计类解答题
例(2021.济南一模)(12分)某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的
关系,从一次考试中随机抽取11名考生的数据,统计如下表:
数学
4665798999109110116123134140
成绩X
物理
505460636668070737680
成绩y
(D由表中数据可知,有一位考生因物理缺考导致数据出现异常,剔除该组数
据后发现,考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系,请根据这10
组数据建立y关于X的经验回归方程,并估计缺考考生如果参加物理考试可能取
得的成绩;
(2)已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布Na,内,用
剔除异常数据后的样本平均值作为〃的估计值,用剔除异常数据后的样本标准差
作为。的估计值,估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望.
附:参考数据:
1111111111-
口]E(V-y)22586
i=1i=1i=1i=1i=18326
11106606858612042647700.31
上表中的方表示样本中第i名考生的数学成绩,V表示样本中第i名考生的物
一111
理成绩,y=五£"
i=\
参考公式:①对于一组数据Ml,M2,…,Un,其方差
]〃一]〃一
M2;②对于一组数据(MI,Vl),(M2,02),…,(.Un,
i=li=l
AAAA
Vn),其经验回归直线0=。+/^的斜率和截距的最小二乘估计分别为6=
n——
YjUiVi-nuv
i=1
n—
工诏-nu2
i=1
A_A_
a=v-bu③若随机变量服从cr2),则尸3-0</忘〃+(7)q0.683,
P(pi-+2(7)^0.955,P(U-+30^0.997.
A
解题思路(1)结合题中数据以及公式可得y=0.31x+35,将x=110代入即可
得结果;
(2)先得考生的物理成绩服从正态分布N(66,92),根据正态分布的概率特征求
不低于75分的概率,进而可得Y的期望.
AAA
解(D设根据剔除后的数据建立的y关于x的经验回归方程为y=bx+a,
1110-110
剔除异常数据后的数学平均分为—访—=100'(1分)
660-0
剔除异常数据后的物理平均分为15-=66,(2分)
人68586—110X0—10X66X1002586
22^0.31.(3分)
贝匠—120426-110-10X100—8326
A
则*66-0.31X100=35,(4分)
A
所以所求的经验回归方程为y=0.3U+35.(5分)
又因为物理缺考考生的数学成绩为110.
A
所以估计其可能取得的物理成绩为y=0.31X110+35=69.1.(6分)
(2)由题意,知〃=66,(7分)
1111--(660、
因为2M=28-y)2+ily2=4770+□*[亓尸=44370,所以。=
i=ii=i
、^X44370-662=两=9,(9分)
所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N(66,2),
则物理成绩不低于75分的概率约为
1-0.683
~_20.1585,(10分)
由题意可知y〜5(10000,0.1585),
所以物理成绩不低于75分的人数y的期望
E(Y)=10000X0.1585=1585.(12分)
踩点得分
1.求出剔除异常数据后的数学平均分得1分;
2.求出剔除异常数据后的物理平均分得1分;
AA
3.求出经验回归方程中的。和各得1分;
4.写出经验回归方程得1分;
5.将x=110代入经验回归方程求得结果得1分;
6.用样本均值估计正态分布的参数〃得1分;
7.用样本标准差估计正态分布的参数。得2分;
8.根据正态分布的概率特征求得不低于75分的概率得1分;
9.判断¥服从二项分布并求出期望值得2分.
答题启示
概率与成对数据的统计分析交汇的数学问题常见的主要有两类:一类是结合
回归分析问题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,这里需要注意非线性回
归方程的求解思路;另一类是概率与独立性检验交汇问题,这里需要注意的是进
行独立性检验时,提出的假设是两者无关.
[跟踪训练]
(2021.青岛二模)(12分)现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调
查,随机抽调了50人,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对“楼市限购令”
赞成人数如下表:
月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)
(百元)
频数510151055
赞成人数4812521
(1)根据以上统计数据完成下面的2X2列联表,并判断能否在犯错误的概率
不大于0.05的情况下,推断“某市工薪阶层对于'楼市限购令'的态度与月收入
以65百元为分界点有关”?
月收入不低于月收入低于
合计
65百元的人数65百元的人数
赞成
不赞成
合计
(2)若从月收入在[55,65)和[65,75)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调
查,求在选中的4人中有人不赞成的条件下,赞成“楼市限购令”的人数^的分
布列及数学期望.
n(ad-6c)2
附:72=;————,n=a+b+c+d.
A(tz+b\c+d)(a+c)(Z?+d)
下表给出了%2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
a0.10.050.010.0050.001
Xa2.7063.8416.6357.87910.828
解(D零假设为Ho:某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度与月收入以
65百元为分界点无关.
由题意完成2X2列联表如下:
月收入不低于月收入低于
合计
65百元的人数65百元的人数
赞成32932
不赞成71118
合计104050
(2分)
50X(3X11-29X7)2
%2=32X18X10X40「6.27>3.841=xo.os,(3分)
根据小概率值a=0.05的独立性检验,我们推断册不成立,即认为某市工薪
阶层对于“楼市限购令”的态度与月收入以65百元为分界点有关,此推断犯错误
的概率不大于0.05.(4分)
(2%的所有可能取值为0,123,4,
C3C?1
P^=0)=c|XC^=T5^
*na©eg△Cgxcg3
pq=i)=-crxc^+ax-c?^=To>
0、GegaC?cicicici19
P.=2)E瓦+厘X瓦+*=后
Ged+C?CiCi17
尸仪=3)=C?C?o=90,
rZrg1
%=4)=酝?=后(7分)
44
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