北京市海淀区学校2024-2025学年高三上学期入学测试数学试题（解析）

精华学校2024-2025学年高三年级入学测试数学本试卷共7页，共150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集定义运算.【详解】因为，,所以.故选：C.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据共轭复数定义及复数的乘除法得出选项.【详解】,故选：A.3.在的展开式中，的系数为（）A.2 B.8 C.16 D.24【答案】D【解析】【分析】根据二项式通项公式计算求解.【详解】,的系数为24.故选：D.4.若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点在圆外即可求解.【详解】圆，即圆，则，解得．过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得．故．故选：C5.已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，求得的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】由已知得；当与共线时，可得，解得．当与的夹角为钝角时，可得且与不共线，则且，解得且．因此，当时，若，则，，此时，与的夹角为，不是钝角，则充分性不成立；当与的夹角为钝角时，有且，可知成立，则必要性成立．综上，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B．6.函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得．【详解】由图象知，所以，则或，又，所以，，，，，又，，已知，所以，所以，故选：D．7.已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得.【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．由题意得，即，两边取常用对数，可得．∵，∴．又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．故选：C.8.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】【详解】如图：取的中点，连接，因为是菱形，所以，又因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，，当侧面底面时，三棱柱的体积最大，此时三棱柱的高即为，.故选：B9.已知函数，下列结论错误的是（）A.的图像有对称轴 B.当时，C.有最小值 D.方程在上无解【答案】D【解析】【分析】选项A，根据条件可得为偶函数，即可判断选项A的正误，选项B，利用偶函数的性质，先判断时，成立，分和两种情况，当时，利用三角函数的符号即可判断成立，当时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C，利用的周期性及的奇偶性，当，得到存在最小值，则最小值只会在区间内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C的正误；选项D，利用零点存在性原理，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A，易知的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，关于轴对称，所以选项A结论正确，对于选项B，当时，，又，，所以，即当时，成立，当时，如图，在单位圆中，设是角的终边，过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交轴于，易知，由三角函数的定义知，，由图易知，即，得到，所以，即有，所以时，成立，又由选项A知，为偶函数，当时，，所以，即，所以选项B中结论正确，对于选项C，因为周期函数，最小正周期为，当时，如果存最小值，则最小值只会在区间内取到，当时，，令，则在区间上恒成立，又，，所以存在，使，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取到最小值，即当时，存在最小值，由选项A知，为偶函数，所以选项C的结论正确，对于选项D，由，得到，令，所以，，由零点存在性原理知，在区间至少有一个零点，所以选项D的结论错误，故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C，利用的周期性及的奇偶性，得到当时，存在最小值，则最小值只会在区间内取到，再利用导数与函数单调性间的关系来解决问题.10.设函数，则点集所构成图形的面积是（）A B. C. D.前三个答案都不对【答案】B【解析】【分析】利用配方法和因式分解可得不等式组对应的区域，故可求其面积.【详解】题中集合即，也即，该集合对应的区域为扇形，所求图形面积为，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.一组数据如下：13，7，9，10，8，15，21，12，该组数据的中位数是________．【答案】11【解析】【分析】根据中位数的计算公式即可.【详解】首先将数据从小到大排列：7，8，9，10，12，13，15，21，则其中位数为：.故答案为：11.12.抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________．【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的定义求解即可.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为x=−1,设抛物线上一点到焦点的距离为3,则,所以,故答案为：2.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________.【答案】【解析】【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可.【详解】双曲线的渐近线为，依题意，解得.故答案为：14.若函数的一个零点是，则函数的最大值为______【答案】2【解析】【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值.【详解】由题意，所以，所以，又，所以，故的最大值为2.故答案为：2.15.设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有__________________.①公差可以为；②公差可以不为；③符合题意的公差有有限个；④符合题意的公差有无限多个．【答案】①②③【解析】【分析】取，可利用正整数表示出，利用等差数列求和公式可整理得到，根据各项为正数可确定，由此可讨论得到的值，从而判断出正确结果.【详解】取，则存在正整数，使得，则，，又，，解得：；记，则，，的各项均为整数，为整数，又，，，对任意正整数，总存在正整数，使得，则必有，即，或或，或或，公差可以为，可以不为，符合题意的公差有有限个.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中的恒能成立问题，解题关键是能够将公差表示为关于正整数的形式，通过各项均为整数的条件，将恒能成立问题转化为公差为整数的问题，从而讨论变量的取值求得结果.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.在中，角所对边分别为．已知．（1）求；（2）请从条件①②③中选出一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线长．①；②周长为；③面积为．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式计算即得.（2）由（1）求得，条件①不可选；条件②③，求出边长，再利用余弦定理求解即得.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，显然，则，所以.【小问2详解】由（1）知，，由正弦定理，得，选①，，的3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①；选②，周长为，则，存在且唯一，设边上中线，在中，，所以.选③，，则，存在且唯一，设边上中线，在中，，所以.17.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．（1）证明：；（2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）在，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出，计算出即可.（2）求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证；（3）求出相关向量和平面法向量，利用公式计算可得.【小问1详解】连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，则，，则，所以.【小问2详解】由（1）知，，，，又，得，，所以，所以、、、四点共面，即点在平面内．【小问3详解】由（2）可得，设平面的法向量，由，得，令，则，，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站上车站合计564272412201378605738124139916384101623352554319合计363656262125200（1）在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率；（2）以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；（3）为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望（3）【解析】【分析】（1）利用频率来求概率即可；（2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望；（3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可.【小问1详解】设选取的乘客在站上车、在站下车为事件，由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人，所以．【小问2详解】从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为由题意可知，可取0，1，2，，，随机变量的分布列为012所以随机变量的数学期望为．【小问3详解】因为在站上车的有60人，下车的有36人，所以，所以，因为在站上车的有24人，下车的有56人，所以，所以，因为在站上车的有38人，下车的有26人，所以，所以，所以.19.已知椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程和短轴长；（2）设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：．【答案】（1）椭圆E的方程为，短轴长为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率求出，即可得解；（2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出的坐标，得到的斜率，再探索的值.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆E的方程为，短轴长为；【小问2详解】由，消y得①，由，得，此时方程①可化：，解得：（由条件可知：异号），设Px0,y0，则即，所以，因为，所以可设直线：（，），由，消y得，当时，方程有两个不相等的实根，设Ax1,则，，因为两点关于原点对称，所以，所以，所以，即.20.已知函数（1）若，，若的单调区间；（2）当时，若存在唯一的零点，且，其中，求.（参考数据：，）【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）将，代入函数解析式，求得并令，即可由导函数的符号判断单调区间.（2）将代入函数解析式，求得.结合定义域及二次函数性质可知的单调区间，并根据零点意义代入方程和函数，可得零点的函数表达式.构造函数，并求得可证明的单调性，结合零点存在定理及所给参考数据，即可求得的值.【详解】（1）将，代入函数解析式可得，定义域为0,+∞，则令，解得，（舍），所以当时，；当时，；故的单调递减区间为；的单调递增区间为.（2）将代入函数解析式可得，则因为，且对于来说，，所以有两个不等式实数根，且，所以两根异号，不妨设则，则由定义域为0,+∞可得在内递减，在内递增，因为，要存在唯一的零点，且，则，所以，化简可得.令，则所以在时单调递减，由题可知，，而，所以即【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间及单调性，构造函数法在导数中的应用，函数零点定义及零点存在定理的应用，化简过程繁琐，属于难题.21.在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则．（1）设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②；（2）对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值；（3）如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数．【答案】（1）①C：4，2，3，1②C：2，4，3，1；（2）（