北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题（解析）

房山区2024年新高三入学测试试卷数学本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义直接求解并判断即可.【详解】集合，所以.故选：A2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法即可得到答案.【详解】由题意得.故选：C.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：.故选：C4.已知圆与直线相切，则（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的切线性质求解即得.【详解】圆的圆心为，半径为，依题意，.故选：D5.的展开式中的常数项为A. B. C.6 D.24【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故选：D6.设向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用垂直关系的坐标表示，结合充分条件、必要条件判断即得.【详解】向量，则，解得或，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A7.已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简函数解析式，由条件确定函数的周期，结合周期公式求.【详解】由已知，因为函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，所以函数的最小正周期为，又，所以，故.故选：B.8.已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（）A.1 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由，可知的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点，利用圆的面积求解即可.【详解】设顶点在底面上的射影为，连接，则为正方形的中心，如图.易知,故.因为当时,,所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点，而正方形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹在正方形内部，因此表示的区域面积为.故选：B9.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（）A.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.55【答案】C【解析】【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数.【详解】根据题意由可得，两式相除可得，即可得，两边同时取对数可得，即可得；即.故选：C10.已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由集合，的元素满足的条件，找出所对应的图形，再借助图形的对称性即可求出面积．【详解】集合表示平行直线与围成的正方形，集合，因此集合表示的平面图形为图中阴影部分，由图形的对称性知：正方形内阴影部分的面积与空白部分的面积相等，所以．故选：B【点睛】关键点点睛：正确找出可行域和利用对称性求出面积是解题关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则______．【答案】##【解析】【分析】根据角关于轴对称的特点即可得到答案.【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.故答案为：.13.已知函数若，则______；若在上单调递增，则的一个值为______．【答案】①.0②.（答案不唯一）【解析】【分析】根据分段函数，代入求值即可；根据增函数的概念列不等式即可.【详解】若,则时，,所以;当x<1时，在上单调递增；当时，在上单调递增；若在上单调递增，只需,解得a≥1所以满足条件的的一个值为1.故答案为：（答案不唯一）.14.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），设正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则______．【答案】【解析】【分析】设棱柱的底面面积为，根据题意，结合锥体和柱体的体积公式，分别求得的表达式，即可求解.【详解】设棱柱的底面面积为，在图1中，可得，所以，在图2中，可得，所以，则，所以.故答案为：.15.古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an，正方形数构成数列b①数列an的一个通项公式是；②2025既是三角形数，又是正方形数；③；④，总存在．使得成立．其中所有证确结论序号是______．【答案】①③④【解析】【分析】根据给定信息,求出数列的通项,再逐一分析各个选项即可.【详解】对于①，依题意,数列中,,于是得,满足上式,故,故①正确；对于②，数列中,,于是得,满足上式,,令，此方程无整数解；令，解得,所以2025不是三角形数，是正方形数,故②错误；对于③，当时，,当时，则，故③正确;对于④,,取，则，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在锐角中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，求出即可得解.（2）选①，选②，利用正弦定理、和角的正弦公式、三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在锐角中，由及正弦定理，得，而，则，又，所以.【小问2详解】选①，，由（1）知，由正弦定理得，而，所以的面积为.选②，，由（1）知，由正弦定理得，而为锐角，则，，所以的面积为.17.已知四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点．（1）若为的中点，求证：平面；（2）若．求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点,连接，证四边形为平行四边形,得所以,进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，然后利用空间向量求夹角即可.【小问1详解】取的中点,连接,因为点为的中点,所以,又,所以,所以四边形为平行四边形,所以,又平面平面,所以平面;【小问2详解】因为四边形为菱形，，，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,，设平面的一个法向量为n=则令则，平面平面，平面，所以平面所以是平面的一个法向量，假设平面与平面夹角为，则.18.某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量（件）503020（1）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；（2）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望；（3）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）利用古典概型求解概率即可.（2）将非一等品视为整体，利用二项分布求出概率，得到分布列和期望即可.（3）依据题意结合整体法得到不等式，求解概率即可.【小问1详解】设概率为，由题意得.【小问2详解】首先，我们把二等品和三等品视为一个整体，则单次抽到一等品的概率为，抽到二等品和三等品这个整体的概率为，当时，抽到的一定在二等品和三等品这个整体里，所以，当时，，当时，，当时，，故分布列见下表，所以数学期望为，【小问3详解】设产品中的一等品率为，故非一等品率为，所以，解得，产品中的一等品率至少是.19.已知椭圆的一个顶点为．焦距为．过点且斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线与轴垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的基本性质求解方程即可.（2）结合给定条件转化为向量共线问题，得到方程求解即可.【小问1详解】因为椭圆的一个顶点为2,0．焦距为，所以，，所以，故椭圆的方程为，故离心率为.【小问2详解】如图，设的方程为，，联立方程组，可得，而，所以，，因为，过点和的直线与椭圆的另一个交点为，所以三点共线，所以，共线，因为与轴垂直，所以，故，，故得，所以，化简得，所以而，所以，，解得，故的值为.20.已知函数，直线为曲线在点处的切线．（1）当时，求出直线的方程；（2）若，求的最小值；（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）的最小值为（3）的取值范围是【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率，再求切点坐标，从而得切线方程；（2）求导数，确定函数的单调性即可确定最小值点，从而可得函数最小值；（3）求出原函数的导函数，得到，再求出，即可得到曲线在,处的切线方程．令，利用三次求导可得时，在上存在零点，即可得到的取值范围．【小问1详解】，则斜率，又，则线在点处的切线的方程为；【小问2详解】，则，令得，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以的最小值为；【小问3详解】由，得，则，可得曲线在,处的切线方程为，即．令，显然，，令，则，得，在上单调递减，在上单调递增．若，时，，，则在上单调递增，且，在上无零点，舍去；若，，时，，则在上单调递增，在,上单调递减，而时，，在上存在零点．故的取值范围是．【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数来进行求解，通过二阶导数的符号来确定一阶导数的单调性、符号，从而确定原函数的单调性.21.已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．（1）若数列，求集合，并写出的值；（2）若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；（3）已知数列，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；（2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得必要性成立；再由是递减数列，，得到，由此证明为等差数列，得到充分性成立，即可得证；（3）根据题意，得到，得出，设存在，，推出矛盾，进而得证.【小问1详解】由题意，数列，可得，所以集合，所以.【小问2详解】必要性：若为等差数列，且是递减数列，设的公差为，当时，，所以，则，故必要性成立.

充分性：若是递减数列，，则为等差数列，因为是递减数列，所以，所以，且互不相等，所以，又因为，所以且互不相等，所以，所以，所以为等差数列，充分性成立.所以若是