专题12阅读理解创新型问题(原卷版+解析)【浙江专用】

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用）专题12阅读理解创新型问题【例1】（2019•绍兴）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是．【例2】（2019•台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共个．【例3】（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【例4】（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（）【例5】（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．一．解答题（共20小题）1．（2020•江干区模拟）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F．（1）求证：∠CAF＝∠CBE；（2）当点F在边BC上，AC＝1时，求BF的长；（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，试求AC的长．2．（2020•柯桥区模拟）如图，在△ABC中，G为边AB中点，∠AGC＝α．Q为线段BG上一动点（不与点B重合），点P在中线CG上，连接PA，PQ，记BQ＝kGP．（1）若α＝60°，k＝1，①当BQ=12BG时，求∠②写出线段PA、PQ的数量关系，并说明理由．（2）当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．3．（2020•宁波模拟）定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为52（1）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．①当AC＝BC时，求证：△ABC是“神奇三角形”；②当AC≠BC时，且△ABC是“神奇三角形”，求tanA的值；（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，若∠DCB＝45°，求证：△ABC是“神奇三角形”．4．（2020•上城区一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．5．（2020•北京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．（1）当⊙O的半径为2时，①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）＝，d（B，⊙O）＝；②如果直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．6．（2020•宁波模拟）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线．（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．①求∠B和∠C的关系式．②求∠BAC的取值范围．7．（2019秋•奉化区期末）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B=12（∠C+∠D），求∠A与∠（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．8．（2020春•邗江区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|，如何将双重二次根式5±26化简．我们可以把5±2材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′）给出如下定义：若y′=y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．问题：（1）点（2，−3）的“横负纵变点”为；点（﹣33，﹣2）的“横负纵变点”为（2）化简：7+210（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）是关于x的函数y=−1x（a+2a−1+a−2a−19．（2020•丽水模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．（1）已知矩形ABCD的长12、宽2，矩形EFGH的长4、宽3，试说明矩形ABCD是矩形EFGH的“减半”矩形．（2）矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．10．（2019秋•鄞州区期末）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．11．（2020•浙江自主招生）【定义】满足一定条件的点所经过的路线称为这个点的轨迹．【命题】已知平面上两个定点A，B，则所有满足PAPB=k（k＞0且k≠1）的点【证明】如图①，要使需PAPB=k，一定在直线AB上存在一点O，使△OPB∽△OAP，这时PAPB=OPOB=k，且OP2＝OB×OA，设AB＝p，OB请你完成余下的证明．【应用】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，c＝2，b＝2a，求三角形ABC面积的最大值．【拓展】如图②，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，求AP+2212．（2019秋•邗江区校级期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为43，求FH13．（2020•浙江自主招生）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1、图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线y=12x2﹣3x+m与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为①求m的值和点D的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P，使得以A、C、D、P为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．14．（2020•无锡模拟）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）识图：如图（1），损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径线段为．（2）探究：在上述损矩形ABCD内，是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；若不存在，请说明理由．（3）实践：已知如图三条线段a、b、c，求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．15．（2020•新北区一模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y=13x+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D①求y与x的函数关系式；②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．16．（2020•新昌县模拟）如果一个直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，（a＞d＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．（1）判定按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（）A.1，2，3；B.1，3，2；C.1，3，3；D.3，4，5．（2）性质求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．（3）应用如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形，且矩形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC，AC上，已知AB＝50cm，BC＞AC，∠C＝90°，求剪出矩形面积的最大值．17．（2020•通州区一模）平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段BC，给出如下定义：若△ABC是等腰直角三角形，则称点A为BC的“等直点”；特别的，若△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则称点A为BC的“完美等直点”．（1）若B（﹣2，0），C（2，0），则在D（0，2），E（4，4），F（﹣2，﹣4），G（0，2）中，线段BC的“等直点”是；（2）已知B（0，﹣6），C（8，0）．①若双曲线y=kx上存在点A，使得点A为BC的“完美等直点”，求②在直线y＝x+6上是否存在点P，使得点P为BC的“等直点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若B（0，2），C（2，0），⊙T的半径为3，圆心为T（t，0）．当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，直接写出t的取值范围．18．（2020•江北区模拟）一般地，对于已知一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d（其中a，b，c，d为常数，且ac＜0），定义一个新函数y=y1y2，称y是y1与y2的算术中项，（1）如：一次函数y1=12x﹣4，y2=−13x+6，y是x①自变量x的取值范围是，当x＝时，y有最大值．②根据函数研究的途径与方法，请填写下表，并在图1中描点、连线，画出此函数的大致图象．x8910121314161718y01.21.62.0421.20③请写出一条此函数可能有的性质．（2）如图2，已知一次函数y1=12x+2，y2＝﹣2x+6的图象交于点E，两个函数分别与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，D，y是x的算术中项函数，即y①判断：点A、C、E是否在此算术中项函数的图象上？②在平面直角坐标系中是否存在一点，到此算术中项函数图象上所有点的距离相等？如果存在，请求出这个点；如果不存在，请说明理由．19．（2020•新余模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．如图①，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．[定义应用]（1）已知△ABC是倍角三角形，∠A＝60°．则这个三角形其余两个内角的度数分别为．[性质探究]（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长分别为a，b，c．若∠A＝2∠B，且∠A＝60°，如图②，易得到a2＝b（b+c）．那么在任意的△ABC中，满足∠A＝2∠B，如图③，关系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．[拓展应用]（3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比．20．（2020•宁波模拟）若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做好玩三角形．（1）在△ABC中，AB＝1，BC=6，AC＝3，求证：△ABC（2）一个等腰三角形的腰长为m，底边长为n，当这个等腰三角形为好玩三角形时，求mn（3）如图1，△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，点A，B都在直线DE上，连结AC，BC．若∠A+∠B＝45°，求证：线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是好玩三角形．（4）如图2，在Rt△ABC中，点D，E，F，G都在线段AB上，以DE，EF，FG为边分别向上作正方形，H，K，M，N分别落在Rt△ABC的边上．以DE，12EF，FG为三边长恰好能组成好玩三角形，直接写出DE决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用）专题12阅读理解创新型问题【例1】（2019•绍兴）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是4．【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．【解析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8，∴m＝15﹣8﹣3＝4．故答案为：4【例2】（2019•台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共3个．【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”总个数．【解析】∵210÷3＝70，∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140；∵140÷3＝46…2，∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94；∵94÷3＝31…1，∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，∵63＜66，∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．故答案为：3．【例3】（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠FAB与∠EBA互余，即可求解；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．【解析】（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．【例4】（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（假）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（假）【分析】（1）①由SSS证明△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB得出∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，即可得出结论；②由SSS证明△ABE≌△BCA≌△DEC得出∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，由SSS证明△ACE≌△BEC得出∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，由四边形ABCE内角和为360°得出∠ABC+∠ECB＝180°，证出AB∥CE，由平行线的性质得出∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，证出∠BAE＝3∠ABE，同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，即可得出结论；（2）①证明△AEF≌△CAB≌△ECD，如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，而正六边形的各个内角都为120°，即可得出结论；②证明△BFE≌△FBC得出∠BFE＝∠FBC，证出∠AFE＝∠ABC，证明△FAE≌△BCA得出AE＝CA，同理：AE＝CE，得出AE＝CA＝CE，由①得：六边形ABCDEF不是正六边形．【解答】（1）①证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、EAB中，AB=BC=CD=DE=EABC=CD=DE=EA=AB∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，∴五边形ABCDE是正五边形；②解：若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：在△ABE、△BCA和△DEC中，AE=BA=DCAB=BC=DE∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，在△ACE和△BEC中，AE=BCCE=BE∴△ACE≌△BEC（SSS），∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，∵四边形ABCE内角和为360°，∴∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥CE，∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，∴∠BAE＝3∠ABE，同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，∴五边形ABCDE是正五边形；（2）解：①若AC＝CE＝EA，如图3所示：则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，在△AEF、△CAB和△ECD中，EF=AB=CDAF=CB=ED∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，而正六边形的各个内角都为120°，∴六边形ABCDEF不是正六边形；故答案为：假；②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，在△BFE和△FBC中，EF=CBBE=FC∴△BFE≌△FBC（SSS），∴∠BFE＝∠FBC，∵AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠AFE＝∠ABC，在△FAE和△BCA中，AF=CB∠AFE=∠CBA∴△FAE≌△BCA（SAS），∴AE＝CA，同理：AE＝CE，∴AE＝CA＝CE，由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，而正六边形的各个内角都为120°，∴六边形ABCDEF不是正六边形；故答案为：假．【例5】（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．【分析】（1）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．（2）根据题意画出图形即可．（3）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可．（4）证明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴PNBC=AE解得PN=12（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．（3）证明：如图2中，由画图可知∠QMN＝∠PQM＝∠MNP＝∠BM′N′＝90°，∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，∴△BN′M′∽△BNM，∴M'N'MN同理可得：P'N'PN∴M'N'MN∵M′N′＝P′N′，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是正方形．（4）解：如图3中，结论：∠QEM＝90°．理由：由tan∠NBM=MNBM=34，可以假设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，BQ＝k∴BQBE=k∴BQBE∵∠QBE＝∠EBM，∴△BQE∽△BEM，∴∠BEQ＝∠BME，∵NE＝NM，∴∠NEM＝∠NME，∵∠BME+∠EMN＝90°，∴∠BEQ+∠NEM＝90°，∴∠QEM＝90°．1．（2020•江干区模拟）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F．（1）求证：∠CAF＝∠CBE；（2）当点F在边BC上，AC＝1时，求BF的长；（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，试求AC的长．【分析】（1）由点G是Rt△ABD的重心，可得BE⊥AD，由外角的性质可求解；（2）过点D作DH⊥BC于H，由“AAS”可证△ABC≌△BDH，可得AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，通过证明△AFC∽△DFH，可得ACDH（3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）（1）∵点G是Rt△ABD的重心，∴BE是Rt△ABD的中线，又∵在Rt△ABC中，∠ABD＝90°，AB＝BD，∴BE⊥AD，即∠AEB＝90°，∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC＝∠FBE+∠BEF，且∠ACF＝∠BEF＝90°，∴∠CAF＝∠CBE；（2）过点D作DH⊥BC于H，∵∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，∴△ABC≌△BDH（AAS）∴AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，∴HC＝3，∵∠ACB＝∠DHC＝90°，∠AFC＝∠DFH，∴△AFC∽△DFH，∴AC∴CF=14∴HF=3×4∴BF＝BH+HF＝1+12（3）当GC＝GB时，如图，连接DG并延长交BC于H，交AB于N，连接NC，∵点G是Rt△ABD的重心，∴AN＝BN，∵∠ACB＝90°，∴BN＝NC＝AN，∴点N在BC的垂直平分线上，∵BG＝GC，∴点G在BC的垂直平分线上，∴DN垂直平分BC，∴BH＝HC＝2，DH⊥BC，∵∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，∴△ABC≌△BDH（AAS）∴AC＝BH＝2；若BG＝BC＝4，如图，∵点G是Rt△ABD的重心，∴BG＝2GE，∴GE＝2，∴BE＝6，∵∠ABD＝90°，AB＝BD，BE⊥AD∴BE＝AE＝6，∴AB=2AE＝62∴AC=AB2−BC综上所述：AC＝2或214．2．（2020•柯桥区模拟）如图，在△ABC中，G为边AB中点，∠AGC＝α．Q为线段BG上一动点（不与点B重合），点P在中线CG上，连接PA，PQ，记BQ＝kGP．（1）若α＝60°，k＝1，①当BQ=12BG时，求∠②写出线段PA、PQ的数量关系，并说明理由．（2）当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①先判断出△AGM是等边三角形，进而判断出AG＝BG＝2BQ，再判断出GP＝MP，得出AP平分∠MAG，即可得出结论；②先判断出△PGN是等边三角形，进而判断出GQ＝AN，进而判断出△ANP≌△QGP，即可得出结论；（2）先判断出PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，得出HG＝BQ，再判断出AH＝GQ．进而得出△AHP≌△QGP，即可得出结论．【解析】（1）①如图1，在GC上取点M，使得GM＝GA，连接AM，∵∠AGM＝α＝60°，∴△AGM为等边三角形，∴AG＝GM，∠MAG＝60°，∵BQ=12∴Q为GB的中点，∵G为AB的中点，∴AG＝BG＝2BQ，∵k＝1，∴BQ＝GP，∴GM＝AG＝BG＝MG＝2GP，∴GP＝MP，∴AP平分∠MAG，∴∠PAG＝∠PAM＝30°；②如图2，在AG上取点N，连接PN，使得PN＝PG，∵∠PGN＝60°，∴△PGN是等边三角形，∵BG＝GA，∴BQ＝PG＝PN＝NG＝GQ，∴GQ＝AN，∵∠ANP＝∠QGP，∴△ANP≌△QGP（SAS），∴PA＝PQ；（2）存在，k=2，使得②证明：如图3，过点P作PG的垂线交AG于点H．∵∠AGC＝45°，∴∠PHG＝45°，∴PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，∵GH=2PH，∴HG＝BQ，∵AG＝BG，∴AH＝GQ．∴△AHP≌△QGP（SAS）∴PA＝PQ．3．（2020•宁波模拟）定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为52（1）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．①当AC＝BC时，求证：△ABC是“神奇三角形”；②当AC≠BC时，且△ABC是“神奇三角形”，求tanA的值；（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，若∠DCB＝45°，求证：△ABC是“神奇三角形”．【分析】（1）①作AC边上的中线BM，设CM＝AM＝a，则BC＝AC＝2a，求出BM，则可得出结论；②分三种不同情况：当AC边上的中线与AC边上的高的比为52时，当BC边上的中线与BC边上的高的比为52时，当AB边上的中线与AB边上的高的比为（2）作CH⊥AB于点H，AE⊥BC于点E，AE交CD于K，连接BK，得出BK⊥CD，则CHDH=tan∠CDH=KB【解析】（1）①证明：如图，作AC边上的中线BM，设CM＝AM＝a，则BC＝AC＝2a，∵∠ACB＝90°，∴BM=CM∴BMBC∴△ABC是“神奇三角形”；②当AC边上的中线与AC边上的高的比为52设BM=5a，BC＝2a∵∠ACB＝90°，∴CM=(5∴AC＝2a，∴AC＝BC，不合题意，舍去；同理，当BC边上的中线与BC边上的高的比为52当AB边上的中线与AB边上的高的比为52当BC＞AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，设CM=5a，CD＝2a，则DM＝a∵∠ACB＝90°，∴CM=12AB＝∴AD＝（5−1）a∴tanA=CD当BC＜AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，同理可得，tanA=5综合可得tanA的值为5+12或（2）证明：如图，作CH⊥AB于点H，AE⊥BC于点E，AE交CD于K，连接BK，∵AB＝AC，∴E是BC的中点，∵CD是AB边上的中线，∴点K是△ABC的重心，∴KC＝2DK，∵AE是BC的垂直平分线，∴KC＝KB，∴∠KBC＝∠KCB＝45°，∴∠CKB＝90°，即BK⊥CD，∴CHDH=tan∠CDH∴CDCH∴△ABC是“神奇三角形”．4．（2020•上城区一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．【解析】（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE为正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，∠B=∠C∠BDP=∠CPE∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴BDPC=BP整理得，BD=−B﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值为4．5．（2020•北京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．（1）当⊙O的半径为2时，①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）＝1，d（B，⊙O）＝3；②如果直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．【分析】（1）①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F．根据图形M，N的“近距离”的定义计算即可．②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．求出两种特殊位置b的值即可判断．（2）分三种情形求出经过特殊位置的G的坐标即可判断．【解析】（1）①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F．由题意d（A，⊙O）＝AE＝1，d（B，⊙O）＝BF＝OB﹣OF＝5﹣2＝3．故答案为1，3．②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．当GH＝1时，OF＝OG+GH＝3，∵直线EF的解析式为y＝x+b，∴E（0，b），F（﹣b，0），∴OE＝OF＝b，∵OH⊥EF，∴HE＝HF，∵EF＝2OH＝6，∴b＝32，根据对称性可知当﹣32≤b≤32时，直线y＝x+b与⊙O（2）如图3中，当⊙G在y轴的左侧，OG＝2时，GG（﹣2，0），当⊙G′在y轴的右侧，作G′H⊥CD于H，当HG′＝2时，∵直线y＝x﹣5交x轴于C，交y轴于D，∴C（5，0），D（0，5），∴OC＝OD＝5，∠OCD＝45°，∵∠CHG′＝90°，∴CH＝HG′＝2，∴CG′＝22，∴G′（5﹣22，0），当点G″在直线CD的右侧时，同法可得G″（5+22，0），观察图象可知满足条件的m的值为：﹣2≤m≤2或5﹣22≤m≤5+226．（2020•宁波模拟）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线．（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．①求∠B和∠C的关系式．②求∠BAC的取值范围．【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；（2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；（3）①设∠B＝α，∠C＝β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；②根据三角形内角和定理得到0°＜α＜60°，根据①中结论计算，得到答案．【解析】（1）如图①；（2）如图②；（3）①设∠B＝α，∠C＝β，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE=12（180°﹣α）＝90°−∵DA＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEA=12∠BDE＝45°−∵CA＝CE，∴∠CEA＝∠CAE=12（180°﹣β）＝90°−∴90°−12α+45°−14α整理得，3α+2β＝180°，即3∠B+2∠C＝180°；②∠BAC＝∠DAE+∠CAE＝45°−14α+90°＝135°−14（α+2＝135°−14（3α+2β）＝90°+12∵3α+2β＝180°，∴0°＜α＜60°，∴90°＜∠BAC＜120°．7．（2019秋•奉化区期末）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B=12（∠C+∠D），求∠A与∠（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．【分析】（1）根据四边形内角和为360°及对半四边形的定义可求出∠A与∠B的度数之和；（2）连结OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，证∠CAB+∠CBA＝120°，则另两个内角之和为240°，由对半四边形的定义可以进行判定；（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，先证△CDE为等边三角形，再证△ADF∽△FEB，由相似三角形的性质求出AD的长，进一步求出AC的长．【解析】（1）由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，则∠A+∠B+2（∠A+∠B）＝360°，∴∠A+∠B＝120°；（2）如图2，连结OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，∴∠ACB＝（180°﹣30°﹣30°）÷2＝60°，则∠CAB+∠CBA＝120°，在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，则另两个内角之和为240°，∴四边形ABED为对半四边形；（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，∴∠C＝60°，又∵CD＝CE，∴△CDE为等边三角形，∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，∴∠ADF＝∠FEB＝120°，∵AFB＝120°，∴∠DFA+∠EFB＝60°，又∵∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠DAF＝∠EFB，∴△ADF∽△FEB，∴ADFE∵CE＝DE＝3，CE＝3BE，F是DE的中点，∴BE＝1，DF＝EF=3∴AD3∴AD=9∴CA＝CD+AD＝3+98．（2020春•邗江区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|，如何将双重二次根式5±26化简．我们可以把5±2材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′）给出如下定义：若y′=y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．问题：（1）点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）；点（﹣33，﹣2）的“横负纵变点”为（﹣3（2）化简：7+210（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）是关于x的函数y=−1x（a+2a−1+a−2a−1【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．【解析】（1）点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3），点（﹣3故答案为（2，−3），（﹣33（2）∵2+5＝7，2×5＝10，∴7+210（3）∵1+（a﹣1）＝a，1•（a﹣1）＝a﹣1，∴a+2a−1∴函数y=−2∵点M（−2，m）在y=−∴m=2∴M（−2，2∴点M的“横负纵变点”M′的坐标为（−2，−9．（2020•丽水模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．（1）已知矩形ABCD的长12、宽2，矩形EFGH的长4、宽3，试说明矩形ABCD是矩形EFGH的“减半”矩形．（2）矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．【分析】（1）分别计算出矩形ABCD是矩形EFGH周长和面积即可说明矩形ABCD是矩形EFGH的“减半”矩形．（2）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．【解析】（1）由题意可知：矩形ABCD的周长＝（12+2）×2＝28，面积＝12×2＝24，矩形EFGH的周长＝（4+3）×14，面积＝3×4＝12，所以矩形ABCD是矩形EFGH的“减半”矩形；（2）不存在．理由如下：假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，则x+y=3由①得：y=32−把③代入②得：x2−32b2﹣4ac=94−所以不存在．10．（2019秋•鄞州区期末）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．【分析】（1）求出函数y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点，可直接根据友好函数的定义进行判断；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，将（c，0）代入y＝x2+bx+c，即可求出b与c之间的关系；（3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，所以只需满足∠BCO＜45°，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足∠ACB为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意．【解析】（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．11．（2020•浙江自主招生）【定义】满足一定条件的点所经过的路线称为这个点的轨迹．【命题】已知平面上两个定点A，B，则所有满足PAPB=k（k＞0且k≠1）的点【证明】如图①，要使需PAPB=k，一定在直线AB上存在一点O，使△OPB∽△OAP，这时PAPB=OPOB=k，且OP2＝OB×OA，设AB＝p，OB请你完成余下的证明．【应用】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，c＝2，b＝2a，求三角形ABC面积的最大值．【拓展】如图②，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，求AP+22【分析】【证明】由已知可得]k2a2＝a（a+p），所以点O的位置确定，且OP为ka（常量），即点P的轨迹是圆；【运用】运用（1）的结论，由于p＝2，k＝2，得到a=222−1=23，所以圆的半径为43，即当【拓展】连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE=2，连PE，AE．根据OP2＝22＝4，OE•OD=2⋅22=4，得到OP2＝OE•OD，所以△POE∽△DOP，因此PEPD=OEOP=22，得PE=22PD，所以AP+22PD【解析】【证明】∴k2a2＝a（a+p），∵p．k是常数，∴a是常数，∴点O的位置确定，且OP为ka（常量），∴点P的轨迹是圆；【运用】运用（1）的结论，由于p＝2，k＝2，∴a=2∴圆的半径为43∴当OC⊥AB时．OABC面积最大，最大值为43【拓展】如图，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE=2，连PE，AE∵OP2＝22＝4，OE•OD=2∴OP2＝OE•OD，∠POE＝∠DOP，∴△POE∽△DOP，∴PEPD∴PE=22∴AP+22PD＝AP+PE≤AE=(2即AP+22DP的最小值为12．（2019秋•邗江区校级期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为43，求FH【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE•FG，再判断出EQ=32FE，继而求出FG•【解析】（1）由图1知，AB=5，BC＝25，∠ABC＝90°，AC∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴ACCD=AB∴CD＝10或CD＝2.5同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．（2）证明：如图2中，∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A+∠ADB＝140°∵∠ADC＝140°，∴∠BDC+∠ADB＝140°，∴∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴FEFH∴FH2＝FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，∴EQ＝FE•sin60°=32∵12FG×EQ＝43∴12FG×32FE∴FG•FE＝16，∴FH2＝FE•FG＝16，∴FH＝4．13．（2020•浙江自主招生）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1、图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线y=12x2﹣3x+m与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为①求m的值和点D的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P，使得以A、C、D、P为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）①将A（2，0）代入抛物线y=12x2﹣3x+m，得12×4−3×2+m=0，解得m＝4，抛物线解析式y=12x2﹣3x+4②根据抛物线解析式求出A（2，0），B（4，0），C（0，4），当A、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD为对角线时，对角线交点坐标为（32，74），中分线解析式为y=76x；Ⅱ．当AC为对角线时，对角线交点坐标（1，2）．中分线解析式为y＝2x；Ⅲ．当AD【解析】（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将A（2，0）代入抛物线y=12x2﹣3x+12解得m＝4，∴抛物线解析式y=12x2﹣3x+4∴顶点为D（3，−1②将y＝0代入抛物线解析式y=12x2﹣312x2﹣3x解得x＝2或4，∴A（2，0），B（4，0），令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），当A、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD为对角线时，对角线交点坐标为（0+32，4−∵中分线经过点O，∴中分线解析式为y=7Ⅱ．当AC为对角线时，对角线交点坐标为（2+02∵中分线经过点O，∴中分线解析式为y＝2x；Ⅲ．当AD为对角线时，对角线交点坐标为（2+32，0−∵中分线经过点O，∴中分线解析式为y=−110综上，中分线的解析式为式为y=76x或为y＝2x或为y14．（2020•无锡模拟）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）识图：如图（1），损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径线段为AC．（2）探究：在上述损矩形ABCD内，是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；若不存在，请说明理由．（3）实践：已知如图三条线段a、b、c，求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．【分析】（1）由损矩形的直径的定义即可得到答案；（2）由∠ADC＝∠ABC＝90°可判定A，B，C，D四点共圆，易得圆心是线段AC的中点；（3）首先画线段AB＝a，再以A为圆心，b长为半径画弧，再以B为圆心，c长为半径画弧，过点B作直线与以B为圆心的弧相交与点C，连接AC，以AC的中点为圆心，12AC为半径画弧，与以点A为圆心的弧交于点D，连接AD、DC，BC【解析】（1）由定义知，线段AC是该损矩形的直径，故答案为：AC；（2）∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴在损矩形ABCD内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，∵∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴O是线段AC的中点；（3）如图所示，四边形ABCD即为所求．15．（2020•新北区一模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y=13x+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D①求y与x的函数关系式；②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．【分析】（1）由3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，故点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，13m+2），①M是点D、E的“美妙点”，则x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+13m②分∠MEF为直角、∠MFE是直角、∠EMF是直角三种情况，分别求解即可．【解析】（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，∴点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，13m①∵M是点D、E的“美妙点”．∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+13m+2）＝故m=13∴y＝（13x﹣3）+6=1②由①得，点M（9+3m，m+6），如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4），∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；∴点D（﹣2，43当∠MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m=−9∴点D（−92，当∠EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，43）或（−9216．（2020•新昌县模拟）如果一个直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，（a＞d＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．（1）判定按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（）A.1，2，3；B.1，3，2；C.1，3，3；D.3，4，5．（2）性质求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．（3）应用如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形，且矩形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC，AC上，已知AB＝50cm，BC＞AC，∠C＝90°，求剪出矩形面积的最大值．【分析】（1）根据新定义“均匀直角三角形”判断即可；（2）根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）根据勾股定理求得BC＝40，AC＝30，过C作CH⊥AB于H交EF于M，根据相似三角形的性质和二次函数的性质即可得到结论．【解析】（1）A、∵1+2＝3，∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；B、当3−d＝1，3+得d＝1+3，d＝2−∵1+3≠2−3C、∵1+3∴1，3，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；D、当4﹣d＝3，4+d＝5，得d＝1，∵32+42+52，∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；故选D．（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，化简得a2﹣4ad＝0，∴a（a﹣4d）＝0，∵a＞d＞0，∴a﹣4d＝0，∴a＝4d，∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，∵AB＝50，∴d＝50﹣a，∴AC＝2a﹣50，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2a﹣50）2+a2＝502，∵a＞0，∴a＝40，∴BC＝40，AC＝30，过C作CH⊥AB于H交EF于M，∴CH=AC⋅BC∵四边形DEFG是矩形，∴设FG＝x，∴CM＝24﹣x，∵EF∥AB，∴△CFE∽△CBA，∴EFAB∴EF50∴EF=25(24−x)∴S矩形DEFG＝FG•EF=25x(24−x)12=−2512∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．17．（2020•通州区一模）平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段BC，给出如下定义：若△ABC是等腰直角三角形，则称点A为BC的“等直点”；特别的，若△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则称点A为BC的“完美等直点”．（1）若B（﹣2，0），C（2，0），则在D（0，2），E（4，4），F（﹣2，﹣4），G（0，2）中，线段BC的“等直点”是D和F；（2）已知B（0，﹣6），C（8，0）．①若双曲线y=kx上存在点A，使得点A为BC的“完美等直点”，求②在直线y＝x+6上是否存在点P，使得点P为BC的“等直点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若B（0，2），C（2，0），⊙T的半径为3，圆心为T（t，0）．当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）如图1，哪个点与线段BC构建等腰直角三角形，哪个点就是线段BC的“等直点”，观察图形可得；（2）①分两种情况：点A在第一象限和第四象限，作辅助线，构建三角形全等，设AE＝x，利用勾股定理列方程可得A的坐标，代入双曲线y=kx中，可得②如图3，过C作PC⊥BC，交直线y＝x+6于点P，过P作PE⊥x轴于E，证明△PEC∽△COB，得OCOB=PEEC=86=43，设CE＝3x，PE＝4x，则PC＝5x，AE＝PE＝4x，根据（3）分三种情况：①在⊙T内部，恰有三个点A，O，G是线段BC的“等直点”时，②在⊙T内部，恰有三个点F，O，G是线段BC的“等直点”时，③在⊙T内部，恰有三个点F，O，P是线段BC的“等直点”时，根据勾股定理计算OT的长，确定T的坐标，即t的值，可得结论．【解析】（1）如图1，观察图形可知：△BDC和△FBC是等腰直角三角形，所以线段BC的“等直点”是D和F，故答案为：D和F；（2）①分两种情况：i）当点A在第四象限时，如图2，∵点A为BC的“完美等直点”，∴△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，∵B（0，﹣6），C（8，0），∴OB＝6，OC＝8，∴BC＝10，∴AB＝AC＝52，过A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠CAE＝∠BAF，∵AB＝AC，∠AEC＝∠AFB＝90°，∴△AEC≌△AFB（AAS），∴AE＝AF，设AE＝x，则AF＝OE＝x，CE＝8﹣x，∴AC2＝CE2+AE2，即(52解得：x＝1（舍）或7，∴A（7，﹣7），∴k＝﹣7×7＝﹣49；ii）当点A1在第一象限时，如图2，同理可得A1（1，1），∴k＝1×1＝1，综上，k的值是﹣49或1；②如图3，过C作PC⊥BC，交直线y＝x+6于点P，过P作PE⊥x轴于E，∵∠PCB＝∠PCE+∠BCO＝∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠PCE＝∠OBC，∵∠PEC＝∠BOC＝90°，∴△PEC∽△COB，∴OCOB设CE＝3x，PE＝4x，则PC＝5x，AE＝PE＝4x，∵OA＝6，∴OE＝4x﹣6＝8﹣3x，∴x＝2，∴PC＝10＝BC，∵∠PCB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴点P为BC的“等直点”，且P（2，8）；（3）分三种情况：①在⊙T内部，恰有三个点A，O，G是线段BC的“等直点”时，如图4，△ABC，△BCG，△OBC都是等腰直角三角形，当⊙T经过点G时，连接TG，∵OG＝OC＝2，TG＝3，∴OT=3如图5，⊙T经过点F时，△BCF，△BCH，△BCP是等腰直角三角形时，连接TF，同理得TC=5∴OT=5∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围−5＜t≤2②在⊙T内部，恰有三个点F，O，G是线段BC的“等直点”时，如图6，⊙T经过点A时，OT＝AT﹣OA＝3﹣2＝1，如图7，⊙T经过点P时，连接TP，过P作PE⊥x轴于E，∴TE=5∴OT＝OE﹣TE＝4−5∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围1≤t≤4−5③在⊙T内部，恰有三个点F，O，P是线段BC的“等直点”时，如图8，⊙T经过点G时，同理得：OT=5如图9，⊙T经过点O时，此时OT＝3，∴在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围5≤t综上，在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围−5＜t≤2−5或1≤t≤4−518．（2020•江北区模拟）一般地，对于已知一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d（其中a，b，c，d为常数，且ac＜0），定义一个新函数y=y1y2，称y是y1与y2的算术中项，（1）如：一次函数y1=12x﹣4，y2=−13x+6，y是x①自变量x的取值范围是8≤x≤18，当x＝13时，y有最大值．②根据函数研究的途径与方法，请填写下表，并在图1中描点、连线，画出此函数的大致图象．x8910121314161718y01.21.622.0421.71.20③请