专题09线段上动点问题的两种考法(原卷版+解析)(北师大版)

专题09线段上动点问题的两种考法类型一、线段和差问题例1．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．例2．已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．(1)若，，求线段CD的长．(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．【变式训练1】如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．(1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长；(2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点．(3)若，是数轴上的一点，且，求的值．【变式训练2】已知点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧．(1)若，，线段在线段上移动，①当点E是线段的中点时，求的长；②当点C是线段的三等分点时，求的长；(2)若，点E在线段上移动，且满足关系式，则（直接写出结果）．【变式训练3】如图已知线段、，(1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长．②M、N分别为、的中点，求证：(2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论类型二、定值问题例．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【变式训练】已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：①是定值；②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．课后训练1．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

（1）如图1，若，，求的长；（2）若，求的值；（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．3．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=_________；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．4．【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1)线段的中点

这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝

cm；(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．5．如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度;(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.6．已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；(2)若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM-2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3)若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度(用含m的代数式表示).7．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．

专题09线段上动点问题的两种考法类型一、线段和差问题例1．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．【答案】（1）①AD的长为6.5；②AD的长为或；（2）的值为或【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，∴BC＝5，AC＝10，①∵E为BC中点，∴CE＝2.5，∵DE＝6，∴CD＝3.5，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；②如图2，当点F在点C的右侧时，∵CF＝3，AC＝10，∴AF＝AC+CF＝13，∵AF＝3AD，∴AD＝；如图3，当点F在点C的左侧时，∵AC＝10，CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AF＝3AD，∴AD＝＝；综上所述，AD的长为或；（2）①当点E在线段BC之间时，如图4，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x，∴＝＝；②当点E在点A的左侧，如图5，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵＝，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴，③点D、E都在点C的右侧时，如图6，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC-DE＝y-1.5x，∴AD＝DC+AC＝y-1.5x+2x＝y+0.5x，∵＝，BE＝EC-BC＝y-x，∴，∴y＝-4x（舍去）综上所述的值为或．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，比较难，分类讨论是解答本题的关键．例2．已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．(1)若，，求线段CD的长．(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．【答案】(1)或5(2)，理由见解析【分析】（1）根据点C在直线AB上，分两种情况：①C在点A的右侧，②C在点A的左侧，根据线段的和与差可得结论；（2）AB＝2DE，分三种情况：根据线段中点的定义可得结论．【详解】（1）解：如图1，当C在点A右侧时，∵，，∴，∵D是线段BC的中点，：∴；如图2，当C在点A左侧时，∵，，∴，∵D是线段BC的中点，∴；综上所述，或5；（2）解：．理由是：如图3，当C在点A和点B之间时，∵E是AC的中点，D是BC的中点，∴，，∴；如图4，当C在点A左侧时，同理可得：；如图5，当C在点B右侧时，同理可得：．【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．【变式训练1】如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．(1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长；(2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点．(3)若，是数轴上的一点，且，求的值．【答案】(1)(2)当时点是线段的中点(3)或1【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求；（2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解；（3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解．【详解】（1）解：∵，，又∵点表示，点表示7，∴，∴∴．（2）解：∵点，分别表示，6，所以，，，，，当是的中点时，即，∴当时点是线段的中点．（3）解：①当点在线段上时，如图∵，又∵∴，又∵∴，即②当点在线段的延长线上时，如图∵，又∵∴，即综上所述或1．【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．【变式训练2】已知点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧．(1)若，，线段在线段上移动，①当点E是线段的中点时，求的长；②当点C是线段的三等分点时，求的长；(2)若，点E在线段上移动，且满足关系式，则（直接写出结果）．【答案】(1)①4，②；(2)【分析】（1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或（舍去），则，由线段的和差即可得到结论；（2）①当点E在线段之间时，设，则，求得、、、，然后根据可得，，再代入即可解答；②当点E在线段上时，设，则，求得、、、，然后根据可得不符题意．【详解】（1）解：∵，∴，①∵E为中点，∴，∵，∴，∴；②∵点C是线段的三等分点，DE＝16，∴或（不合题意，舍去），∴，∴；（2）解：①当点E在线段上，如图，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴；如图：当点E在线段AC上时，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴不符题意，∴点E不可能在线段AC上．综上所述的值为．【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点，准确识图、分类讨论DE的位置是解题的关键．【变式训练3】如图已知线段、，(1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长．②M、N分别为、的中点，求证：(2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论【答案】(1)①10，②见解析(2)不成立，见解析【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证；（2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可．【详解】（1）解：①∵，，∴，∵M、N分别为、的中点，∴，∴；②∵M、N分别为、的中点，∴，∵，∴，∴；（2）不成立；∵M、N分别为、的中点，∴，①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图：或；②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图：或；③当点在点的左侧时，如图：或；综上：或；故结论不成立．【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论．类型二、定值问题例．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，由得，即，，，即所以点P在线段AB的处；（2）①如图，当点Q在线段AB上时，由可知，②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，，综合上述，的值为或；（3）②的值不变.由点、运动5秒可得，如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；如图，当点M、N在点P异侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；所以②的值不变正确，.【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.【变式训练】已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：①是定值；②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，∴AB＝30；（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，∴BM＝BD，DN＝NC，①D在BC之间时：BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴＝2；②D在AB之间时：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴＝2；③D在A点左侧时：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴＝2；故＝2；（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．∴AE＝EP，BF＝CF，①EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴＝2．②EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．③EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．课后训练1．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

（1）如图1，若，，求的长；（2）若，求的值；（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．【答案】（1）；（2）的值为或；（3）【分析】（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=AC=2，CE=BC=3，则可计算出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；（2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解；（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC=，CE=，则，所以，再利用的中点，得到，于是可计算出，即有．【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC=2，CE=BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，∵F为DE的中点，∴DF=DE=，∴CF=DF-DC=；（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F为DE的中点，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DC-DF=AC-4CF，∴AC=10CF，∴BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF，∴，②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F为DE的中点，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DF-DC=4CF-AC，∴AC=6CF，∴BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF，∴，综上所述，的值为或．（3）如图，

设AC=x，BC=y，即x-y=a，∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC=x，CE=BC=y，∵DC的中点为，CE的中点为，∴，∴，∵的中点为，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键．2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．【答案】(1)7；(2)3或5【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．【详解】（1），，，，如图1，为中点，，，∴，∴，（2）Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，或∵，，点是的中点，∴，∴，∴，∵，故图2（b）这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，或，，∴，∴，．∵，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：的长为3或5．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．3．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=_________；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．【答案】（1）6（2）PA+PB–2PC=0；（3）MN=9．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根据线段的和差即可得到结论；（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．【详解】（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；故答案为6；（2）由（1）得AC=AB，∴CD=AB，∵点P是线段AB延长线上任意一点，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=AC=（AB+BC）=8，DN=BD=（CD+BC）=5，∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，DN=BD=（CD﹣BC）=1，∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解本题的关键．4．【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1)线段的中点

这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝

cm；(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．【答案】(1)是(2)6或4或8c(3)t为3或或或或或6【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；（2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，故答案为：是；（2）解：①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．故答案为：6cm或4cm或8cm；（3）解：∵AB＝15cm，∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；①P为A、Q的和谐点，有三种情况：1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝3；3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；②Q为A、P的和谐点，有三种情况：1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝6；2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝；3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝．综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．5．如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度;(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.【答案】（1）45s;（2）或;(3)2【分析】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；（2）分两种情形求解即可；（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，则t+2t=90+30+15，解得t=45，所以经过45秒时间P、Q两点相遇．（2）①当P在线段AB上时，∵AB=90，PA=2PB，∴PA=60，PB=30，∴OP=OA+AP＝30+60＝90，∴点P、Q的运动时间为90秒，∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴点Q是速度为cm/秒；②点P在线段AB延长线上时，∵AB=90，PA=2PB，∴BP=90,AP=180,∴OP=OA+AP=30+180=210,∴点P、Q的运动时间为210秒，∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴点Q是速度为cm/秒；（3）如图所示：∵E、F分别是OP、AB的中点，∴OE=OP=t，∴OF=OA+AB=30+45=75，∴.【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.6．已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；(2)若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM-2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3)若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求