考点04一元二次方程实际应用分类方法总结-原卷版+解析

考点04一元二次方程实际问题分类方法总结1传播问题技巧：公式a(1+x)n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数2增长率问题技巧：b=a(1±x)n，n为增长或降低次数,b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率3形积问题技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆！4数字问题技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可！,5商品销售问题技巧：销售总额＝单件售价×数量总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量利润＝成本×利润率6动点几何问题技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程！,7相互问题（循环、握手、互赠礼品等）技巧：循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1).考点1传播问题考点2增长率问题考点3形积问题考点4数字问题考点5商品销售问题考点6动点几何问题考点7相互问题（循环、握手、互赠礼品等）考点1传播问题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（）A．12人 B．13人 C．14人 D．15人2．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考期中）新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，分钟左右呈现指数复制，小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（

）A．13 B．11 C．12 D．143．（2021秋·广东佛山·九年级统考阶段练习）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？4．（2023秋·全国·九年级专题练习）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．考点2增长率问题5．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）春天是万物萌动的开始，是一个充满诗情画意的季节．合肥非遗园在春季积极开展特色樱花节，吸引了大量的游客前来观赏游玩．据统计：在三月份该景点接待游客约为4万人，三、四、五三个月共接待游客约为13.24万人，若这三个月平均每月接待游客人数的增长率相同，设平均增长率为，则根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．6．（2023·福建泉州·统考模拟预测）年某电影上映的第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？8．（2023春·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）随着我国数字化阅读方式的接触人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2020年数字阅读市场规模为500万元，2022年为845万元．(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率．(2)若年平均增长率不变，问2023年该市数字阅读市场规模是否可以达到1000万元？考点3形积问题9．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，如图所示，若可列方程为，则★表示的是（

）

A． B． C． D．10．（2023春·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（

）

A． B．C． D．11．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm．

(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值；(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值．12．（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）“口袋公园”是面向公众开放，规模较小，形状多样，具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，类型包括小游园、小微绿地等．近年来，我市以全面推动生态文明建设、创建国家园林城市为目标，以满足市民对便捷游园的期待和要求为导向，从绿着手，以美为善，为美而行，在城区范围内兴建了30多个主题鲜明、特色突出、以小而灵、以精致胜的“口袋公园”．某“口袋公园”有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长．

考点4数字问题13．（2023春·湖南湘潭·九年级校联考开学考试）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（）A． B．C． D．14．（2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．15．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份．(1)八进制数3747换算成十进制数是______；(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．16．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数．考点5商品销售问题17．（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（

）A． B．C． D．18．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（

）A． B．C． D．19．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）某商店如果将进货价为元的商品按每件元售出，每天可销售件，现在采取降低售价，增加售货量的方法增加利润，已知这种商品每降价元，其销量增加件．(1)若降价x元，则每天的销量为_______件（用含x的代数式表示）；(2)要使每天获得元的利润，请你帮忙确定售价；(3)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得元的利润？并说明理由．20．（2023·江苏盐城·统考二模）某服装销售商用元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了元．(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？考点6动点几何问题21．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒23．（2023春·湖南湘潭·九年级校联考开学考试）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

(1)填空：运动时间t的取值范围．(2)是否存在t的值，使得的长度等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为．(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于．(3)在（1）中的面积能否等于？说明理由．考点7相互问题（循环、握手、互赠礼品等）25．（2023春·浙江·八年级专题练习）九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有名同学，那么根据题意列出的方程是（

）A． B．C． D．26．（2023春·浙江·八年级专题练习）中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（

）A．9 B．8 C．7 D．627．（2023春·全国·八年级专题练习）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，求共有多少个队参加这场足球联赛?28．（2023·全国·九年级假期作业）某班级的一个小组同学每两个都握手一次，共握手次，求该小组共有多少人？

考点04一元二次方程实际问题分类方法总结1传播问题技巧：公式a(1+x)n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数2增长率问题技巧：b=a(1±x)n，n为增长或降低次数,b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率3形积问题技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆！4数字问题技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可！,5商品销售问题技巧：销售总额＝单件售价×数量总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量利润＝成本×利润率6动点几何问题技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程！,7相互问题（循环、握手、互赠礼品等）技巧：循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1).考点1传播问题考点2增长率问题考点3形积问题考点4数字问题考点5商品销售问题考点6动点几何问题考点7相互问题（循环、握手、互赠礼品等）考点1传播问题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（）A．12人 B．13人 C．14人 D．15人【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，再根据“经过两轮传染后共有196人”列方程求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解得：或（舍去），答：每轮传染中平均一个人传染了13个人．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．2．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考期中）新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，分钟左右呈现指数复制，小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（

）A．13 B．11 C．12 D．14【答案】C【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为338人，设平均每人感染人，则列式为．即可解答．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，得．解得：或（舍去）．∴每轮传染中平均一个人传染了12个人，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2021秋·广东佛山·九年级统考阶段练习）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染头生猪(2)若疫情得不到有效控制，天后生猪发病头数会超过头【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据“第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据天后生猪发病头数=天后生猪发病头数，即可求出天后生猪发病头数，再将其与进行比较即可得出结论．【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，依题意，得，解得：，（不合题意，舍去）．答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．（2）（头），．答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．【答案】每轮每人传染的人数为7人【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染，根据题意得：，即，解得：，(不符合题意，舍去)．答：每轮每人传染的人数为7人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点2增长率问题5．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）春天是万物萌动的开始，是一个充满诗情画意的季节．合肥非遗园在春季积极开展特色樱花节，吸引了大量的游客前来观赏游玩．据统计：在三月份该景点接待游客约为4万人，三、四、五三个月共接待游客约为13.24万人，若这三个月平均每月接待游客人数的增长率相同，设平均增长率为，则根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】等量关系为：三月份产量+三月份产量×（1+增长率）+三月份产量×（1+增长率）2=13.24【详解】这三个月平均每月接待游客人数的增长率相同，设平均增长率为，则故选：B【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．6．（2023·福建泉州·统考模拟预测）年某电影上映的第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，结合三天累计票房为亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：某电影上映的第一天票房为亿元，且平均每天票房的增长率为，该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，根据题意得，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为400件，由此等量关系列出方程求出x的值即可解答；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，再利用“销量每件商品的利润4250”列出方程求解即可．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%．（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意、找到等量关系列出方程是解题的关键．8．（2023春·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）随着我国数字化阅读方式的接触人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2020年数字阅读市场规模为500万元，2022年为845万元．(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率．(2)若年平均增长率不变，问2023年该市数字阅读市场规模是否可以达到1000万元？【答案】(1)(2)可以达到【分析】（1）设两次平均增长率为x，（）；据此模型列方程即可求解；（2）可得，可预计出2023年该市数字阅读市场规模，将其与700万元比较后即可求解．【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为，根据题意得，解得，（不符合题意，舍去）．答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为．（2）解：由题意得（万元）．，预计2023年该市数字阅读市场规模能达到1000万元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，掌握典型模型是解题的关键．考点3形积问题9．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，如图所示，若可列方程为，则★表示的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】确定平行于墙的一边与的关系即可求解．【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：即为：故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意确定长方形的长和宽即可．10．（2023春·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意，得：．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．11．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm．

(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值；(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解；（2）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解．【详解】（1）解：四边形是矩形，，由题意得：，整理得：，解得：，，，不合题意舍去，．答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．（2）解：四边形是矩形，，，解得：，由题意得：，整理得：，解得：，，不合题意舍去，．答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键．12．（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）“口袋公园”是面向公众开放，规模较小，形状多样，具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，类型包括小游园、小微绿地等．近年来，我市以全面推动生态文明建设、创建国家园林城市为目标，以满足市民对便捷游园的期待和要求为导向，从绿着手，以美为善，为美而行，在城区范围内兴建了30多个主题鲜明、特色突出、以小而灵、以精致胜的“口袋公园”．某“口袋公园”有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长．

【答案】该矩形草坪BC边的长为15米【分析】可设边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．【详解】解：设边的长为x米，且，根据题意得：解得：，，∵，∴不合题意，舍去，即：，答：该矩形草坪BC边的长为15米．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．考点4数字问题13．（2023春·湖南湘潭·九年级校联考开学考试）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案．【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据题意，可得：．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程．14．（2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可．【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为，根据题意得出：，故选：B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．15．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份．(1)八进制数3747换算成十进制数是______；(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．【答案】(1)2023；(2)．【分析】（1）根据所给例子计算即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【详解】（1）故答案为：2023（2）由题意，得，解得，（舍负）【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及一元二次方程的应用，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．16．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数．【答案】【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意得：，∴，即，∴，∴解得或（舍去），∴，∴这个两位数为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点5商品销售问题17．（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，得到销售单价为时销量为：，再根据：利润（单价成本）数量，列出方程即可得出答案．【详解】解：售价为时的销量为：，月销售利润达8000时得：，故答案选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出数量关系列出方程是解题关键．18．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利即可得出方程．【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得，故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键．19．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）某商店如果将进货价为元的商品按每件元售出，每天可销售件，现在采取降低售价，增加售货量的方法增加利润，已知这种商品每降价元，其销量增加件．(1)若降价x元，则每天的销量为_______件（用含x的代数式表示）；(2)要使每天获得元的利润，请你帮忙确定售价；(3)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得元的利润？并说明理由．【答案】(1)(2)24元(3)不能，理由见解析【分析】（1）利用每天的销量，即可用含x的代数式表示出降价x元时每天的销量；（2）设每件降价y元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，利用每天销售该商品获得的利润=每件的销售利润×每天的销量，可得出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，将符合题意的值代入中，即可求出售价应定为元/件；（3）设每件降价m元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，利用每天销售该商品获得的利润一每件的销售利润×每天的销量，可得出关于m的一元二次方程，由根的判别式可得出所列一元二次方程没有实数根，即可判断．【详解】（1）解：设这种商品降价x元，∵这种商品每降价元，其销量增加件，∴每天的销量为：（件），故答案为：；（2）设这种商品降价y元，则根据题意得，，整理得，解得（舍去），，∴售价为（元），答：售价定为24元时，每天可获得720元的利润；（3）该商店不能通过降价销售的方式保证每天活得1500元的利润，理由如下：设每件降价m元，根据题意，整理得，∵，∴该一元二次方程无实数根，∴该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是∶（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价x元时每天的销量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”．20．（2023·江苏盐城·统考二模）某服装销售商用元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了元．(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？【答案】(1)第一次购进了这种服装100件，每件进价240元(2)销售价定为270元/件【分析】（1）设每件进价x元，根据第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了元，列出方程，解出方程即可；（2）设销售价为m元/件，根据使一天的利润恰好为元，列出方程，解出方程即可．【详解】（1）解：设第一次购进了这种服装x件，由题意可得：，解得，经检验：是所列方程的解，并符合题意，则，答：第一次购进了这种服装件，每件进价元；（2）解：设销售价为m元/件，则每天销售量为：（件），（元），则由题意可得：，整理，得，解得：，，让利促销，（舍去），取，答：销售价定为元/件．【点睛】本题考查一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．考点6动点几何问题21．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒【答案】A【分析】根据题意当运动时间为秒时，，则，，可用含的式子表示的面积，列方程求解即可．【详解】解：当运动时间为秒时，，则，，根据题意得：，即，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去，∴，∴运动时间为秒，故选：．【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点运动的规律，掌握几何图形面积的计算方法，解一元二次方程的方法等是解题的关键．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：当运动时间为t秒时，，，根据题意得：，即，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去，∴．∴运动时间为1秒．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（2023春·湖南湘潭·九年级校联考开学考试）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

(1)填空：运动时间t的取值范围．(2)是否存在t的值，使得的长度等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析(3)存在，【分析】（1）根据当点Q运动到点C时，两点停止运动，即可得出t的取值范围；（2）根据题意得出，，根据勾股定理可得：，列出方程，计算其判别式，即可判断；（3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果．【详解】（1）解：点Q运动到点C所需时间为：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，∴；故答案为：（2）解：根据题意可得：，∵∴，∵四边形为矩形，∴，在中，根据勾股定理可得：，即，整理得：，∵，∴该方程无实数根，∴不存在t的值，使得的长度等于；（3）解：存在．理由如下：∵长方形的面积是：，五边形的面积等于，∴的面积为，即有：，解得，．当时，，不合题意，舍去，即当时，使得五边形的面积等于．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出各条线段长度，列