深圳宝安区崛起双语实验学校初中部九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题1．如图，这是某市政道路的交通指示牌，的距离为，从点测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即的长度是（）A． B． C． D．2．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点画射线，则的值为（）A． B． C． D．3．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E．

F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75；③BE+DF=EF；④正方形对角线AC=1+，其中正确的序号是（）A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A．6m B．3m C．9m D．6m5．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（）．A．米 B．米 C．米 D．米6．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()A． B． C． D．7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（OC⊥OB，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知，，∠BCO=α．则点A到OC的距离等于（）A．asinα+bsinα B．acosα+bcosα C．asinα+bcosα D．acosα+bsinα8．如图，的三个项点均在格点上，则的值为（）A． B． C．2 D．9．如图，在中，BC=4，AC=3，则的值为（）A． B． C． D．10．如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（）A． B．C． D．11．如图，为测量瀑布的高度，测量人员在瀑布对面山上的点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点），斜坡，坡角，那么瀑布的高度约为（）．（精确到，参考数据：，，，，，，）A． B． C． D．12．如图所示，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝2，△ADE为正三角形．若半径为R的圆能够覆盖五边形ABCDE（即五边形ABCDE的每个顶点都在圆内或圆上），则R的最小值是（）A．2 B．4 C．2.8 D．2.5二、填空题13．计算：＝_____．14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC=60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM=CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为_____．15．某斜坡的坡度，则它的坡角是__________度．16．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交于两点．若，则的长度为_________，等于_____．17．________．18．已知抛物线过点，且抛物线上任意不同两点，，都满足：当时，；当时，．以原点为圆心，为半径的圆与抛物线的另两个交点为，，且在的左侧，有一个内角为，则抛物线的解析式为______．19．如图1的矩形中，有一点在上，现以为折线将点往右折，如图2所示，再过点作于点，如图3所示，若，则图3中的长度为____．20．在中，若，，，则的面积是__________.三、解答题21．如图，以的一边为直径的，交于点，连结，，已知．（1）判断是否为的切线？请说明理由．（2）①若，，求的半径．②若，，，请用含、的代数式表示．22．如图，一艘轮船以海里小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？23．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高.24．如图，在中，，，，以AC为腰，点A为顶点作等腰，且，则______．25．已知等边三角形．（1）用尺规作图找出外心．（2）设等边三角形的边长为，求外接圆的半径．26．如图，在△ABC中，，，将绕点逆时针旋转得到△A′BC′，连接，求的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，∴BD=BC=5，设AC=xm，则AB=（x+5）m，在Rt△ABD中，tan60°=，则，解得：，即AC的长度是；故选：D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．2．D解析：D【分析】由题意可以得到∠AOC的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值可以得解．【详解】解：如图，连结BC，则由题意可得OC=OB，CB=OB，∴OC=OB=BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴tan∠AOC=tan60°=，故选D．【点睛】本题考查尺规作图与三角形的综合应用，由尺规作图的作法得到所作三角形是等边三角形是解题关键．3．A解析：A【分析】根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC⊥EF，然后分别求得AG与CG的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=DC，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，AE=AF，∵BC=DC，∴BC-BE=CD-DF，∴CE=CF，故①正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；如图，连接AC，交EF于G点，∵AE=AF，CE=CF，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，故③错误；∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC⊥EF，∴EG=FG=1，∴AG=AE•sin60°，CG=，∴AC=AG+CG=；故④正确．综上，①②④正确故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．4．A解析：A【分析】根据坡比的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，∴，即，解得，AC＝3，由勾股定理得，AB6（m），故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．5．B解析：B【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点到直线距离为米，在中，，在中，，由题意得，，解得，（米，故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为，小正方形的边长为5，∴，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出．7．D解析：D【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离即可求解．【详解】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=α，∴∠EAB=α，∴∠FBA=α，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosα+b•sinα，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数的定义、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，正确做出辅助线，利用数形结合的思想解答．8．A解析：A【分析】连接格点BD,根据格点的长度求出BD、CD边的长度，根据勾股定理证明∠BDC=90°，再计算计算即可．【详解】解：如图所示，连接格点BD，根据格点的性质，可得，BC=2，∴∠BDC=90°，故ABD为在直角三角形，且，∴，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握格点三角形边长的求解办法．9．C解析：C【分析】由勾股定理求出AB的长度，即可求出的值．【详解】解：在中，BC=4，AC=3，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了求角的正弦值，以及勾股定理，解题的关键是正确求出AB的值．10．B解析：B【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．【详解】设AD交AC于N，交AC于M，当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，∵Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，，∴tan∠CAB=，∴A'M=x，其面积y==x•x=x2，故此时y为x的二次函数，排除选项D；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN，，，同理：A'M=x，，其面积y=-=x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）=x﹣1，故此时y为x的一次函数，故排除选项C．当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN，AF'=x﹣2，F'N=（x﹣2），F'B=4﹣（x﹣2）=6﹣x，BC=2，其面积y=[（x﹣2）+2]×（6﹣x）=﹣x2+x+3，故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A；综上，只有B符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．11．B解析：B【分析】如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，求出CN即可得到FN的长，由四边形DMFN是矩形可得DM的长，然后分别在Rt△ADM和Rt△DMB中，解直角三角形求出AM，BM即可解决问题．【详解】解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，CN＝CD•cos40°≈20.0×0.77＝15.4（米），∵CF＝CG＋GF＝44.6（米），∴FN＝CN＋CF＝60.0（米），易得四边形DMFN是矩形，∴DM＝FN＝60.0（米），在Rt△ADM中，AM＝DM•tan30°＝（米），在Rt△DMB中，BM＝DM•tan10°≈60.0×0.18＝10.8（米），∴AB＝AM＋BM＝45.4（米），即瀑布的高度约为45.4米，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是灵活运用三角函数解决问题，属于中考常考题型．12．C解析：C【分析】连接AC、BE、CE，取BC的中点F，连接EF，根据勾股定理可得AC，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB＝30°，∠CAD＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD＝∠EDA＝60°，AE＝AD＝DE＝2，进而推出△EAC是直角三角形，由勾股定理可得EC的长．判断△EAB≌△EDC，根据全等三角形的性质可得EB＝EC，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的圆心在线段EF上，且此圆只要覆盖住△EBC必能覆盖五边形ABCDE，从而此圆的圆心到△BCE的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F是BC中点，BF＝CF＝，EF⊥BC，由勾股定理可得EF的长，继而列出关于R的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC、BE、CE，取BC的中点F，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DAB＝∠BCD＝∠ADC＝90°,AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝2∵BC＝2，AB＝2由勾股定理可得：AC＝＝＝4∴sin∠ACB＝＝，sin∠CAD＝＝∴∠ACB＝30°，∠CAD＝30°∵△ADE是正三角形∴∠EAD＝∠EDA＝60°，AE＝AD＝DE＝2，∴∠EAC＝∠EAD＋∠CAD＝90°,∴△EAC是直角三角形，由勾股定理可得：EC＝＝＝∵∠EAB＝∠EAD＋∠BAD＝150°∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝150°∴∠EAB＝∠EDC∵EA＝ED，AB＝DC∴△EAB≌△EDC∴EB＝EC＝即△EBC是等腰三角形∵五边形ABCDE是轴对称图形，其对称轴是直线EF，∴能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的圆心在线段EF上，且此圆只要覆盖住△EBC必能覆盖五边形ABCDE．从而此圆的圆心到△BCE的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O，则OE＝OB＝OC＝R，∵F是BC中点∴BF＝CF＝，EF⊥BC在Rt△BEF中，由勾股定理可得：EF＝＝＝5∴OF＝EF－OE＝5－R在Rt△OBF中，即解得：R＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的半径为2.8．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题13．﹣1【分析】原式利用特殊角的三角函数值绝对值的代数意义以及零指数幂法则计算即可得到结果【详解】解：原式＝＝故答案为：﹣1【点睛】此题考查了实数的运算特殊角的三角函数值以及零指数幂熟练掌握运算法则是解解析：﹣1【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式＝＝故答案为：﹣1【点睛】此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值,以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．【分析】连接AMAN证明△AMB≌△ANC推出△AMN为等边三角形当AM⊥BC时AM最短即MN最短在Rt△ABM中求出AM的长在Rt△AMP中求出AP的长即可解决问题【详解】解：连接AMAN∵ABC解析：【分析】连接AM，AN，证明△AMB≌△ANC，推出△AMN为等边三角形，当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，在Rt△ABM中求出AM的长，在Rt△AMP中求出AP的长，即可解决问题．【详解】解：连接AM，AN，∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC=10，同理可证∠ACN=60°，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，∴∠MAN=60°，∴△AMN为等边三角形，∴MN=AM，∠MAN=60°，当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，∵sinB=，∴AM=sin60°×10=5．∵∠ABC=60°，∴∠BAM=30°，∴∠MAC=30°，∴∠NAC=30°，∴AP⊥MN．∵sin∠AMN=，∴AP=sin60°×5=，∴CP=10-=．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．15．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键解析：30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．【详解】解：设斜坡的坡角为，则有，∵，故答案为．【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键．16．1【分析】先根据矩形的性质推理得到OF=CF再根据Rt△BOF求得OF的长即可得到CF的长再由三角形面积公式可得结论【详解】解：∵EF⊥BD∠AEO=120°∴∠DEO=60°∠EDO=30°∵四边解析：1【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长，再由三角形面积公式可得结论．【详解】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠DEO=60°，∠EDO=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，过H点O作OH⊥BC于点H，则OH=，∴∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AO=CO∴∠EAO=∠FCO又∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴故答案为：1，．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．17．【分析】先计算特殊角的三角函数值化简绝对值零指数幂再计算实数的混合运算即可得【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值绝对值零指数幂实数的运算熟记各运算法则是解题关键解析：【分析】先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得．【详解】原式，，，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、实数的运算，熟记各运算法则是解题关键．18．【分析】由A的坐标确定出c的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y轴且开口向下求出b的值如图1所示可得三角形ABC为等边三角形确定出B的坐标代入抛物线解析式即解析：【分析】由A的坐标确定出c的值，根据已知不等式判断出y1-y2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y轴，且开口向下，求出b的值，如图1所示，可得三角形ABC为等边三角形，确定出B的坐标，代入抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线过点A（0，3），∴c=3，当x1＜x2＜0时，x1-x2＜0，由（x1-x2）（y1-y2）＞0，得到y1-y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，同理当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b=0，∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图所示，∴△ABC为等腰三角形，∵△ABC中有一个角为60°，∴△ABC为等边三角形，且OC=OA=3，设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD=CD，且∠OBD=30°，∵B在C的左侧，∴B的坐标为∵B点在抛物线上，且c=3，b=0，解得：则抛物线解析式为故答案为:．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．19．8【分析】作AH⊥BC于H则四边形AFCH是矩形AF=CHAH=CF在Rt△ABH中解直角三角形即可解决问题【详解】解：作AH⊥BC于H则四边形AFCH是矩形AF=CH在Rt△ABE中∠BAE=90解析：8【分析】作AH⊥BC于H，则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF.在Rt△ABH中，解直角三角形即可解决问题.【详解】解：作AH⊥BC于H，则四边形AFCH是矩形，AF=CH.在Rt△ABE中，∠BAE=90°，∠BEA=60°∴∠ABE=180°-∠A-∠BEA=180°-90°-60°=30°由题意得∠ABH=90°-2∠ABE=90°-30°×2=30°在Rt△ABH中，∠ABH=30°，AB=12，BC=26∴BH=ABcos30°=12×=18∴CH=BC-BH=26-18=8.即AF=8.故答案为8.【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质及解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形来解决问题.20．【分析】连接AC利用求出的面积再求出的面积【详解】解：连接AC如图：∵∴；∴故答案为：30【点睛】本题考查了解直角三角形平行四边形的性质以及求三角形的面积解题的关键是利用求出三角形的面积解析：【分析】连接AC，利用求出的面积，再求出的面积．【详解】解：连接AC，如图：∵，，，∴；∴．故答案为：30．【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，以及求三角形的面积，解题的关键是利用求出三角形的面积．三、解答题21．（1）是，见解析；（2）①；②．【分析】（1）∠ABC=∠DOC，而∠A+∠DOC=90°，即可求解；（2）在Rt△ACD中，CD=AD÷tan∠ACD=1÷=，即可求解；（3）在Rt△ABC中，tan∠ABC=，即可求解．【详解】解：（1）是，理由：∵∠ABC=∠DOC，而∠A+∠DOC=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）∵AC是圆的切线，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵BC是圆的直径，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴∠ACD=∠ABC=90°-∠A=30°，在Rt△ACD中，CD=AD÷tan∠ACD=1÷=；而∠DOC=2∠ABC=60°，∴△COD为等边三角形，∴圆的半径为OC=CD=；（3）∠ABC=∠DOC=α°，在Rt△ABC中，tan∠ABC=，即m=2r．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，涉及到解直角三角形、等边三角形的性质等，解题的关键是灵活运用判定与性质．22．有危险，理由见解析【分析】有危险，理由为：过P作PD垂直与AB，交AB延长线于点D，如图所示，由∠PBD为三角形PAB的外角，利用外角的性质得到∠PBD＝∠A＋∠APB，由∠PBD及∠A的度数求出∠BPA的度数，得到∠BPA＝∠A，利用等角对等边得到PB＝AB，由2小时走的路程为15海里/时×2，得到PB为30海里，在直角三角形PBD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到PB＝2PD，由PB的长求出PD的长，由PD的长与20比较大小，即可对轮船不改变方向仍继续向前航行，有无触礁的危险作出判断．【详解】解：有危险，理由如下：过点作，交延长线与点，如图所示：由题意可知：，，，即（海里）在中，，（海里）海里海里，则轮船不改变方向仍继续向前航行，有触礁的危险．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30°直角三角形的性质，其中轮船有没有危险由PD的长与20比较大小决定．23．AB=7米．【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC-BD=14的关系，进而可解即可求出答案．【详解】解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB．设AB=x（米），∵CD=14，∴BC=x+14．∴x+14=x∴x=7即铁塔AB的高为7米．【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．24．