人教版七年级数学下册教案-6.1-平方根(3课时)

第六章实数教材简析本章的内容包括：平方根、立方根、实数．在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算．教学指导【本章重点】平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．【本章难点】对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类．2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．3．掌握转化思想，如：学习了平方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划6．1平方根3课时6．2立方根1课时6．3实数1课时6．1平方根第1课时算术平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．3．了解算术平方根的性质．【过程与方法】加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神．【情感态度与价值观】通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】算术平方根的概念．【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P40的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为eq\r(a)，读作“根号a”，a叫做被开方数.2．规定：0的算术平方根是0.3．算术平方根具有双重非负性：(1)eq\r(a)≥0；(2)a≥0.4．求下列各数的算术平方根：(1)81；(2)0.25；(3)23.解：(1)9.(2)0.5.(3)eq\r(23).环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)0.36；(3)2eq\f(1,4)；(4)eq\r(412－402).【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？【解答】(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8.(2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6.(3)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝eq\f(9,4)＝2eq\f(1,4)，∴2eq\f(1,4)的算术平方根是eq\f(3,2).(4)∵eq\r(412－402)＝eq\r(81)，92＝81，∴eq\r(81)＝9.∵32＝9，∴eq\r(412－402)的算术平方根是3.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求eq\r(81)与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．活动2巩固练习(学生独学)1．5的算术平方根为(A)A.eq\r(5) B．25C．±25 D．±eq\r(5)2．一个数的算术平方根是eq\f(3,4)，这个数是(C)A.eq\f(3,2) B．eq\r(\f(3,4))C.eq\f(9,16) D．不能确定3．要切一块面积为0.81m2的正方形钢板，4.eq\r(4)的算术平方根是eq\r(2).5．已知3＋a的算术平方根是5，求a的值．解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】已知x、y为有理数，且eq\r(x－1)＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性，即eq\r(a)≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得出什么结论？【解答】由题意，得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性，即eq\r(a)≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)算术平方根eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(概念：非负数a的算术平方根记作\r(a),性质：双重非负性\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0,\r(a)≥0))))练习设计请完成本课时对应练习！第2课时估算算术平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识．3．会用计算器求一个数的算术平方根．【过程与方法】体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数．【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力．二、重难点目标【教学重点】夹值法及估计一个(无理)数的大小．【教学难点】夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如eq\r(,3)，eq\r(,5)，eq\r(,7))都是无限不循环小数．2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩小)到原来的100倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))，10000倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10000)))…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来的10倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))，100倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))…3．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法：大多数计算器都有eq\x(\r())键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按eq\x(ON)键开机，再按eq\x(\r())键、“被开方数”、eq\x(＝)，即可显示“算术平方根”．4．与eq\r(,37)最接近的整数是(B)A．5 B．6C．7 D．8环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】通过估算比较下列各组数的大小：(1)eq\r(5)与1.9；(2)eq\f(\r(6)＋1,2)与1.5.【互动探索】(引发学生思考)(1)估算eq\r(5)的大小，或先求1.9的平方，再比较5与1.92的大小；(2)先估算eq\r(6)的大小，再比较eq\r(6)与2的大小，从而进一步比较eq\f(\r(6)＋1,2)与1.5的大小．【解答】(1)(方法一)因为5>4，所以eq\r(5)>eq\r(4)，即eq\r(5)>2，所以eq\r(5)>1.9.(方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5，所以eq\r(5)>1.9.(2)因为6>4，所以eq\r(6)>eq\r(4)，所以eq\r(6)>2，所以eq\f(\r(6)＋1,2)>eq\f(2＋1,2)＝1.5，即eq\f(\r(6)＋1,2)>1.5.【互动总结】(学生总结，老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．活动2巩固练习(学生独学)1．估计eq\r(,5)＋1的值，应在(C)A．1和2之间 B．2和3之间C．3和4之间 D．4和5之间2．估算eq\r(19)－2的值(B)A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间 D．在4和5之间3．计算：(1)eq\r(1225)；(2)eq\r(36.42)(精确到0.001)；(3)eq\r(13)(精确到0.001)．解：(1)eq\r(1225)＝35.(2)eq\r(36.42)≈6.035.(3)eq\r(13)≈3.606.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×eq\r(t－12)(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．【解答】(1)当t＝16时，d＝7×eq\r(16－12)＝7×2＝14.即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．(2)当d＝35时，即7×eq\r(t－12)＝35，所以t－12＝25，解得t＝37.即冰川约是在37年前消失的．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．2．用计算器求一个正数的算术平方根．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．【过程与方法】通过带领学生探究一个数的平方根，使学生理解数的开方、平方根的概念．【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力．二、重难点目标【教学重点】平方根的概念．【教学难点】求一个数的平方根．教学过程环节1自学提纲、生成问题【5min阅读】阅读教材P44～P46的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．2．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．3．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算．4．下列说法不正确的是(C)A．－eq\r(2)是2的平方根B.eq\r(2)是2的平方根C．2的平方根是eq\r(2)D．2的算术平方根是eq\r(2)5．求下列各数的平方根：16,0，eq\f(4,9)，242.解：16的平方根是±4.0的平方根是0.eq\f(4,9)的平方根是±eq\f(2,3).242的平方根是±24.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】求下列各数的平方根：(1)1eq\f(24,25)；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)eq\r(81).【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．【解答】(1)∵1eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(7,5)))2＝eq\f(49,25)，∴1eq\f(24,25)的平方根是±eq\f(7,5)，即±eq\r(1\f(24,25))＝±eq\f(7,5).(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±eq\r(0.0001)＝±0.01.(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±eq\r(－42)＝±4.(4)∵(±3)2＝9＝eq\r(81)，∴eq\r(81)的平方根是±3.【互动总结】(学生总结，老师点评)正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个，它们之间有什么关系呢？【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋即3a－3＝0，解得a所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2【互动总结】(学生总结，老师点评)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．活动2巩固练习(学生独学)1．关于平方根，下列说法正确的是(B)A．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数B．负数没有平方根C．任何一个数只有一个算术平方根D．以上都不对2．如果a、b分别是16的两个平方根，那么ab＝－