河南省2021年中考数学试卷（含答案）

河南省2021年中考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．实数-2的绝对值是（）A．-2 B．2 C．12 D．2．河南人民济困最“给力！”，据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到2.94亿元数据“2.94亿”用科学记数法表示为（）A．2.94×107 B．2.94×108 C．3．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（） A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．(−a)2=−a2 B．2a2−a25．如图，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为（） A．90° B．100° C．110° D．120°6．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形7．若方程x2−2x+m=0没有实数根，则A．-1 B．0 C．1 D．38．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）

A．16 B．18 C．1109．如图，▱OABC的顶点O(0，0)，A(1，2)，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，DA．(23，0) B．(25，0) C． 第9题图 第10题图10．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA−PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题11．若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是12．请写出一个图象经过原点的函数的解析式.13．某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是.（填“甲”或“乙”） 第13题图 第14题图14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD上，∠BAC=22.5°，则BC的长为.15．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2，第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D三、解答题16．（1）计算：3−1−19+(3−3)017．2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行卷调查，并将调查结果用统计图描述如下.调查问卷1近两周你平均每天睡眠时间大约是小时.如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题2影响你睡眠时间的主要原因是.（单选）A.校内课业负担重B.校外学习任务重C.学习效率低D.其他平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①5≤x<6；②6≤x<7；③7≤x<8；④8≤x<9；⑤9≤x<10.根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组，达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为；（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.18．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=k（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积.19．开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m.参考数据：sin37.5°≈0.61，cos20．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.（1）求证：∠PAO=2∠PBO；（2）若⊙O的半径为5，AP=203，求21．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：类别价格A款玩偶B款玩偶进货价（元/个）4030销售价（元/个）5645（1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：利润率=利润22．如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM23．下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为由作图，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL.（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由；（3）如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：实数-2的绝对值2.故答案为：B.

【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为1亿=108所以2.94亿=2.94×108故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.3．【答案】A【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层靠左边两个小正方形，第三层在左边一个小正方形，故答案为：A.【分析】根据主视图的概念可得：第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形，据此判断.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、(−a)2B、2aC、a2D、(a−1)2故答案为：C.【分析】根据幂的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数幂的乘法法则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.5．【答案】D【解析】【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠3=60°，∴∠2=180°-∠3=120°，故答案为：D.【分析】首先对图形进行角标注，由平行线的性质可得∠3的度数，然后根据邻补角的性质就可求得∠2的度数.6．【答案】B【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；故答案为：B.【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.7．【答案】D【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”，∴(−2)2∴m>1，故答案为：D.【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为212故答案为：A.【分析】把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及所抽中的恰好是B和D的情况数，然后根据概率公式进行计算.9．【答案】B【解析】【解答】如图，连接A'C，因为△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD所以∠CD'∵∠DOA+∠∴∠DOA=∠∴△ADO∽△O∴∵A(1，2)∴AD=1，OD=2∴AO=12∴OC=2故答案为B.【分析】连接A′C，由旋转的性质可得∠CDO=90°，OD′=OD，然后证明△ADO∽△OD′C，接下来根据相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：由图2可知，当P点位于B点时，PA−PE=1，即AB−BE=1，当P点位于E点时，PA−PE=5，即AE−0=5，则AE=5，∵AB∴(BE+1)2即BE∵BE>0∴BE=3，∵点E为BC的中点，∴BC=6，故答案为：C.【分析】由图2可知，当P点位于B点时，AB-BE=1，当P点位于E点时，AE=5，由勾股定理可得BE的值，然后根据线段中点的概念进行求解.11．【答案】x≠1【解析】【解答】解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1.【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此求得x的取值范围.12．【答案】y=x（答案不唯一）【解析】【解答】解：因为直线y=x经过原点（0，0），故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）.【分析】设y=kx+b，将（0，0）代入可得b=0，则y=kx，任意的k就构成一个函数解析式.13．【答案】甲【解析】【解答】解：由题可知，它们的价格相同，品质也相近，测得它们的平均质量均为200克，而由图形可知，甲厂的红枣每盒质量相对乙厂更加稳定，因此甲厂产品更符合规格要求.故答案为：甲.【分析】由题意可得：甲、乙两个厂家出口的红枣的平均质量均为200克，然后由折线统计图判断出哪个厂家的比较集中即可.14．【答案】5π【解析】【解答】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为AD的圆心O，从图中可得：AD的半径为OB=5，连接OC，∵∠BAC=22.5°，∴∠BOC=2×22.5°=45°，BC的长为45×π×5180故答案为：5π【分析】连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为AD的圆心O，根据已知条件结合圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算即可.15．【答案】12或【解析】【解答】解：当D'落在AB设DD'交AB于点由折叠知：∠EAAD=A'D=A∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1∴AB=2，BC=设AD=x，则在Rt△A'在Rt△ECB中，EC=∵∴即x=2−3当D'落在BC因为折叠，∠ACD=∠∴A∴AD=A故答案为：12或【分析】当D′落在AB边上时，设DD′交AB于点E，由折叠的性质得∠EA′D=∠A=60°，AD=A′D=A′D′，A′C=AC，然后在△ABC中可得AB、BC的值，设AD=x，在Rt△A′ED中可得A′E，在Rt△ECB中，表示出EC，然后根据A′C=AC就可求得x；当D′落在BC上时，由折叠的性质得∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°，然后求出A′D′、A′C，据此可得AD.16．【答案】（1）解：3==1.（2）解：(1−==x【解析】【分析】（1）根据0次幂、负整数指数幂以及算术平方根的概念可得：原式=13-13+1，据此计算；17．【答案】（1）③；17％（2）解：该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到9小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时.建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）.【解析】【解答】解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组；∵达到9小时睡眠的人数为85人，∴其所占百分比为：85500故答案为：③；17％.【分析】（1）根据中位数的概念以及条形统计图可得中位数落在第几组，利用达到9小时睡眠的人数除以总人数可得所占的百分比；

（2）根据条形统计图可得：大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时，据此提出建议.18．【答案】（1）解：由题意，点A(1，2)在反比例函数y=kx∴k=1×2=2，∴反比例函数的解析式为y=2（2）解：点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，设B(a，a)，则有k=a×a=2，∴a=2，即B(2，2∴小正方形的边长为22∴小正方形的面积为(22大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为4，∴大正方形的面积为42∴图中阴影部分的面积为16-8=8.【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值，进而得到其解析式；

（2）设B（a，a），则有k=a×a=2，据此可得点B的坐标，进而求出小正方形的边长与面积，根据点A的坐标可得大正方形的边长，求出其面积，接下来根据面积间的和差关系进行求解.19．【答案】解：设佛像BD的高度为xm，∵∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=x，∵佛像头部BC为4m，∴CD=x-4，∵∠DAC=37.5°，∴tan∠DAC=CDAD=x−4解得：x≈17.4，经检验，该方程有意义，且符合题意，因此x≈17.4是该方程的解，∴求佛像BD的高度约为17.4m.【解析】【分析】设佛像BD的高度为xm，易得AD=BD=x，CD=x-4，然后根据∠DAC的正切函数可得x的值，最后进行检验即可.20．【答案】（1）证明：连接OP，取y轴正半轴与⊙O交点于点Q，如下图：∵OP=ON，∴∠OPN=∠PBO，∵∠POQ为△PON的外角，∴∠POQ=∠OPN+∠PBO=2∠PBO，∵∠POQ+∠POA=∠POA+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠POQ，∴∠PAO=2∠PBO.（2）解：过点Q作PO的垂线，交PO与点C，如下图：由题意：在Rt△APO中，tan∠PAO=由（1）知：∠QOC=∠OAP，∠APO=∠OCQ，Rt△APO∽Rt△OCQ，∴tan∴CO=4，CQ=3，∴PC=PO−CO=5−4=1，∴PQ=P由圆的性质，直径所对的角为直角；在Rt△QPB中，由勾股定理得：BP=B即BP=310【解析】【分析】（1）连接OP，取y轴正半轴与○O交点于点Q，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可推出∠POQ=2∠PBO，根据同角的余角相等可得∠PAO=∠POQ，据此证明；

（2）过点Q作PO的垂线，交PO与点C，根据三角函数的概念可得tan∠PAO的值，易证△APO∽△OCQ，根据相似三角形对应角相等可求出CO、CQ的值，进而求出PC、PQ的值，接下来在Rt△QPB中，利用勾股定理求解即可.21．【答案】（1）解：设A，B两款玩偶分别为x，y个，根据题意得：x+y=30解得：x=20答：两款玩偶，A款购进20个，B款购进10个.（2）解：设购进A款玩偶a个，则购进B款(30−a)个，设利润为y元则y=(56−40)a+(45−30)(30−a)=16a+15(30−a)=450+a（元）∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半∴a≤∴a≤10，又a≥0，∴0≤a≤10，且a为整数，∵−1<0∴当a=10时，y有最大值∴y∴A款10个，B款20个，最大利润是460元.（3）解：第一次利润20×(56−40)+10×(45−30)=470（元）∴第一次利润率为：470第二次利润率为：460∵42.7%<46%∴第二次的利润率大，即第二次更划算.【解析】【分析】（1）设A，B两款玩偶分别为x、y个，根据题意得：x+y=3040x+30x=1100，求解即可；

（2）设购进A款玩偶a个，利润为y元，由题意可得：y=(56-40)a+(45-30)(30-a)=450+a，根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半可求出a的范围，然后结合一次函数的性质解答；

22．【答案】（1）解：∵点A(2，0)同时在y=x2+mx∴0=22+2m解得：m=−2，b=2；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为y=x2−2x解方程x2−2x=−x+2，得：∴点B的横坐标为−1，纵坐标为y=−x+2=3，∴点B的坐标为(-1，3)，观察图形知，当x<−1或x>2时，抛物线在直线的上方，∴不等式x2+mx>−x+b的解集为x<−1或（3）解：如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，∵点A(2，0)，点B(-1，3)，∴点A1(-1，0)，点B1(-4，3)，∴AA1=BB1=3，且AA1∥BB1，即MN为AA1、BB1相互平行的线段，对于抛物线y=x∴顶点为(1，-1)，如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线y=x此时−1≤x当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线y=x此时点M1的纵坐标为-1，则−1=−xM+2综上，点M的横坐标xM的取值范围是：−1≤xM【解析】【分析】（1）分别将点A的坐标代入抛物线以及直线解析式中就可得到m、b的值；

（2）由（1