爱提分中考复习 8二轮-圆综合-第02讲 圆综合（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱圆综合（二）知识精讲圆的新定义问题“圆的新定义问题”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已学的圆的知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．三点剖析考点：圆的新定义问题．二．重难点：圆的新定义问题．三．易错点：1．圆的新定义类型题要先结合题中的例子进行理解，然后加入学过的知识点结合圆的性质来进行分析和解答，注意到一般牵涉到范围类型的题多数会考虑切线的性质和特点．圆的新定义问题例题例题1、在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是__________．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP=1时，由距离公式得，OP==1，∴x=，当OP=3时，OP==3，解得：x=；∴点P的横坐标的取值范围为：≤≤﹣，或≤x≤；（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC=，∴C（1﹣，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣；如图3，当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC==2，∴C（2，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤xC≤2；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．例题2、在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）当⊙O的半径为1时．①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，∴2x2﹣4x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2．当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；∴0＜x＜2；（2）∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（6，0），B（0，2），∴=，∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．设C（x，0）．①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，所以AC≤4，C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为C点到AB的垂线段AC长，AC最大值为2，所以C点横坐标x≤8．综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．例题3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，－1）.点是平面内任意一点，直线，与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点为理想点．（1）请判断P1（－4，0），P2（3，0）是否为理想点；（2）若直线上存在理想点，求理想点的纵坐标；（3）若动直线上存在理想点，直接写出的取值范围.【答案】见解析【解析】（1）是理想点,不是理想点（2）解法1:设与轴交于点，设理想点的纵坐标为，则.∵，∴．令，得，即.同理．∵设是的中点，∴.，.在Rt中，，∴．解得，即理想点的纵坐标为解法2:连接并延长交于点.∵∥轴，∴，，即.∵，∴，即点是的中点.设直线与x轴交于E,与轴交于点.∵，，∴,即，∴.∴，在Rt△CFG中，CF=2由勾股定理得.∵，∴.∴理想点的纵坐标为.(3)．随练随练1、定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．【答案】见解析【解析】（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=，PM=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（﹣，），（，）．随练2、我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为圆满四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有矩形，正方形．（2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ADB=∠ACB，问四边形ABCD是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明△AOD∽△BOC，得到比例式，再证明△AOB∽△DOC，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图‚，四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB与DC的延长线相交于点E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的长．【答案】见解析【解析】（1）∵矩形和正方形的四个内角都是90°，∴矩形和正方形的两组对角的和为180°，∴矩形，正方形是圆满四边形．故答案是：矩形，正方形；（2）证明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，∴∠DAO=∠CBO，∴△AOD∽△BOC，∴，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．∴四边形ABCD是圆满四边形．（3）如图‚，∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴四边形ABCD是圆满四边形，由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．又∵BE=BD，∴∠BED=∠BDC=∠BAC，∴AC=EC．又∵∠BCE+∠DCB=180°，∴∠BCE=∠DAB，又∠BEC=∠DEA，∴△BEC∽△DEA，∴，设AC=EC=x，则BC=BD==4，∴EA=5+4=9，∴，解得，x=．即：CE=．随练3、设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为4；（2）求点M（3，0）到直线y=2x+1的距离；（3）如果点N（0，a）到直线y=2x+1的距离为3，求a的值．【答案】见解析【解析】（1）OP==5，点O（0，0）到⊙P的距离为5﹣1=4；故答案为：4；（2）直线y=2x+1记为l，如图1，过点M作MH⊥l，垂足为点H，设l与x，y轴的交点分别为E，F，则E（﹣，0），∴EF=．∵△EOF∽△EHM，∴，即．∴；∴点M到直线y=2x+1的距离为．（3）N在F点的上边，如图2，过点N作NG⊥l，垂足为点G，∵△EOF∽△NGF，∴，即，∴a=1+3；N在F点的下边，同理可得a=1﹣3；故a=1±3．随练4、如图，点C是线段AB的中点，过点C作CD⊥AB，且CD=AB=8，点P是线段AB上一动点（不包括端点A，B），点Q是线段CD上的动点，CQ=2PC，过点P作PM⊥AD于M点，点N是点A关于直线PM的对称点，连结NQ，设AP=x．（1）则AD=__________，AM=__________（AM用含x的代数式表示）；（2）当点P在线段AC上时，请说明∠MPQ=90°的理由；（3）若以NQ为直径作⊙O，在点P的整个运动过程中，①当⊙O与线段CD相切时，求x的值；②连结PN交⊙O于I，若NI=1时，请直接写出所有x的值．【答案】见解析【解析】（1）在Rt△ACD中，AC=BC=AB=4，CD=AB=8，∴AD===4．∵cosA=，∴，∴．故答案为4，x；（2）如图1中，∵tan∠D==，tan∠PQC==，∴tan∠D=tan∠PQC，∴∠D=∠PQC，∴PQ∥AD，∵PM⊥AD，∴PM⊥PQ，∴∠MPQ=90°；（3）①当P在线段AC上，即0＜x≤4时，∵⊙O与BC相切，∴NQ⊥CD，∵AP=x，∴CP=4﹣x，CQ=2PC=8﹣2x，DQ=8﹣（8﹣2x）=2x，DN=AD﹣2AM=4﹣x，∵cos∠D=，∴，∴x=．当P在线段BC上，即4＜x＜8时，同理可得，∵CP=AP﹣AC=x﹣4，CQ=2CP=2x﹣8，DQ=CD﹣CQ=16﹣2x，∴，∴x=．综上所述，x=或时，⊙O与CD相切．②当P在AC上时，由题意PN=AP=x，易证△PQI≌△PQC，可得PI=PC=4﹣x，∵IN=1，∴PI+IN=PN，∴4﹣x+1=x，∴x=．当P在线段BC上，设PN与CD的交点为点E，作NF⊥AB于F，易知FN=x，PF=x，则CE=，PE=，∴EN=x﹣，EQ=（2x﹣8）﹣，EI=EN﹣IN=，在Rt△EQI中，cos∠IEQ=，∴，∴x=．随练5、有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．【答案】见解析【解析】（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BCO=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB=∠BAC=60°，∵∠DBG=∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴，∵DH=BG，BG=2HG，∴DG=3HG，∴，∴．随练6、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；（2）如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线（要求：保留作图痕迹）；（3）在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．【答案】见解析【解析】（1）∵在四边形ABCD中，对角线AC是黄金线，∴△ABC是等腰三角形，∵AB＜AC，∴AB=BC或AC=BC，①当AB=BC时，∵AB=AD=DC，∴AB=BC=AD=DC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，此种情况不符合黄金四边形定义，②AC=BC，同理，BD=BC，∴AC=BD=BC，易证得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，且∠DCA＜∠DCB，∴∠DAC＜∠CAB又由黄金四边形定义知：∠CAB=2∠DAC，设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∴∠DAB=∠ADC=3x°，而四边形的内角和为360°，∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，答：四边形ABCD各个内角的度数分别为108°，72°，108°，72°．（2）由题意作图为：（3）∵AB=BC，∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，ⅰ）当AC为黄金线时，∴△ACD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，AC＞BC，∴AD=CD或AD=AC，当AD=CD时，则AB=BC=CD=AD，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，如图3，此种情况不符合黄金四边形定义，∴AD≠CD，当AD=AC时，由黄金四边形定义知，∠ACD=∠D=15°或60°，此时∠BAD=180°（不合题意，舍去）或90°（不合题意，舍去）；ⅱ）当BD为黄金线时，∴△ABD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，①当AB=AD时，△BCD≌△BAD，此种情况不符合黄金四边形定义；②当AB=BD时，AB=BD=BC=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=60°，∴∠A=30°或120°（不合题意，舍去），∴∠ABC=180°（不合题意，舍去），此种情况也不符合黄金四边形定义；③当AD=BD时，设∠CBD=∠CDB=y°，则∠ABD=∠BAD=（2y）°或，∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，当∠ABD=2y°时，y=40，∴∠BAD=2y=80°；当时，y=80°，∴；由于∠ADB=180°﹣40°﹣40°=100°，∠BDC=80°，∴∠ADB+∠BDC=180°，∴此种情况不能构成四边形，综上所述：∠BAD的度数为80°．随练7、在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（﹣1，0）．①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为__________；②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为__________；③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为__________；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=x（x≥0）上，b的取值范围是__________；（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）．①如图1中，点A（﹣1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x=2的对称点B（3，0）．②如图2中，由题意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x=a对称，∴a=﹣2．③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），∴直线A1D的解析式为y=x﹣1，线段A1D的中垂线的解析式为y=﹣x+2，∴直线l3的解析式为y=﹣x+2．故答案分别为（3，0），a=﹣2．y=﹣x+2．（2）如图4中，由题意b=MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，∵直线OM′的解析式为y=x，∴∠MM′O=∠M′OD=30°，∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，∴b的最大值为1，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣，综上所述，满足条件的b取值范围为﹣≤b≤1．故答案为﹣≤b≤1．（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．连接E1E′交直线y=x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y=﹣x﹣t，由解得，∴K（，），∵KE1=KE′，∴E′（，），当⊙E′与y轴相切时，||=2，解得t=﹣4或+4，综上所述，满足条件的t的取值范围为﹣4≤t≤+4．拓展拓展1、阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为4；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．拓展2、在平面直角坐标系xOy中，对图形W给出如下定义：若图形W上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．（1）已知点，，在点，，中，选一点，使得以该点及点A，B为顶点的三角形的坐标角度为90°，则满足条件的点为；（2）将函数的图象在直线下方的部分沿直线向上翻折，求所得图形坐标角度m的取值范围；（3）记某个圆的半径为r，圆心到原点的距离为l，且，若该圆的坐标角度．直接写出满足条件的r的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）满足条件的点为，（2）当时，角的两边分别过点，，此时坐标角度；当时，角的两边分别过点，，此时坐标角度，所以；（3）．拓展3、在平面直角坐标系xOy中，对于点和⊙C给出如下定义：若⊙O上存在两个点，，使得，则称为⊙C的关联点.已知点，，，（1）当⊙O的半径为1时，①在点M，N，，中，⊙O的关联点是；②过点作直线l交轴正半轴于点，使，若直线l上的点是⊙O的关联点，求的取值范围；（2）若线段上的所有点都是半径为的⊙O的关联点，求半径的取值范围.[来源:xx*k.Com]【答案】见解析【解析】（1）①在点，，，中，⊙O的关联点是，；②∵过点作直线交于点，使，点∴，∴点的坐标是（0，2）设直线的表达式为，又直线过点点和点∴直线的表达式为∵直线上的点是⊙O的关联点∴直线上的点满足的所有点都是⊙O的关联点∴当时，，即∴，∴的取值范围是（2）拓展4、设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是E、F；（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°．①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】（1）由题意R=2，r=1，点O是△ABC的中心，∵OD=2，OE=2，OF=，∴点E、F是△ABC的中心关联点故答案为E，F；（2）①解：如图1中，由题意A（0，2），M（，0）．可求得直线AM的解析式为y=﹣x+2，经验证E在直线AM上．因为OE=OA=2，∠MAO=60°，所以△OAE为等边三角形，所以AE边上的高长为．当点P在AE上时，≤OP≤2．所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点．所以0≤m≤；②如图1﹣1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．当OH=2时，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，∴cos30°=，∴OG=，∴满足条件的b的值为﹣≤b≤2；（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，﹣1）．由题意当OQ=时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，，解得m=，∴t=．拓展5、在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作Dy；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=．例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==．（1）如图2，点A（1，0），①点B（2，1），E（﹣1，2），则△AOB的纵横比λ1=△AOE的纵横比λ2=1；②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；（2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）由题意△AOB的纵横比λ1=，△AOE的纵横比λ2==1，故答案为，1．②由点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，则F（1，﹣1）（在第四象限的角平分线上即可）．如图设M（xM，yM）．a、当0＜xM≤1时，点M在y=上，则yM＞0，此时△AOM的横长Dx=1，△AOM的纵长为Dy=yM，∵△AOM的纵横比为1，∴Dy=1，∴yM=1或﹣1（舍弃），∴xM=，∴M（，1）．b、当xM＞1时，点M在y=上，则yM＞0，此时△AOM的横长Dx=xM，△AOM的纵长为Dy=yM，∵△AOM的纵横比为1，∴Dy=Dx，∴xM=yM∴yM=±（舍弃），c、当xM＜0时，点M在y=上，则yM＜0，此时△AOM的横长Dx=1﹣xM，△AOM的纵长为Dy=﹣yM，∵△AOM的纵横比为1，∴1﹣xM=﹣yM，∴xM=或（舍弃），∴yM=﹣，∴M′（，﹣），综上所述，点M坐标为（，1）或（，﹣）．（2）如图3中，当N（0，1+）时，可得△AON的纵横比λ的最大值==1+，当AN′与⊙P相切时，切点在第二象限时，可得△AON的纵横比λ的最小值，∵OP=，OA=1，∴PA=2．AN′==，∴tan∠APN′=，∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．∴∠HPN′=30°，∴N′H=，PH=，此时△AON的纵横比λ=，∴≤λ≤1+．拓展6、平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接写出视角∠AOB的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）如图1中，设AB交y轴于E．∵A（﹣，1），B（，1），∴OE⊥AB，EA=EB，∴OA=OB，在Rt△OAE中，tan∠OAE=，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°．（2）如图2中，连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．∵AB=2，BC=2，∴AC=4，∴∠ACQ=60°．∴△ACQ为等边三角形，即∠AQC=60°，∵CQ=AC=4，∴Q（，﹣1）．（3）如图3中，当点Q与点O重合时，设⊙P与y轴相切于点E，OF是⊙P的切线，∵P（1，），∴PE=1，OE=，∴tan∠POE=，∴∠POE=∠POF=30°∴∠EQF=60°，此时Q（0，0），如图4，根据对称性可知，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，∴Q（2，0），∴a的取值范围是0＜a＜2．拓展7、我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（1，0）的距离跨度__________；B（﹣，）的距离跨度__________；C（﹣3，﹣2）的距离跨__________；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是__________．（2）如图2，在平面直角坐