爱提分中考复习 5一轮-图形的变换-第03讲 图形的旋转(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱图形的旋转知识精讲旋转的基本知识旋转的概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．旋转的相关计算与证明旋转过程中的角度和线段计算问题主要是利用旋转的性质：旋转前后的两个图形是全等的，且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角来求解角度和线段长度．旋转过程中扫过的路径长度一般是一段弧的长度，面积一般是一个扇形的面积，所以解决问题的关键是找到路径所在圆或面积所在扇形的圆心，半径和圆心角，然后利用弧长公式或扇形面积公式来求解．旋转与全等三角形综合“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及． 已知,；可将绕点旋转，使与重合．旋转中的最值问题解决此类问题要从分析旋转过程中相关量之间的关系入手，尝试在变换中寻求不变的关系，并借助“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”寻找线段长度取得最值时的特殊位置，最后利用勾股定理等知识求得线段的长度．旋转与相似三角形综合方法点拨1．在几何综合题中，经常会遇见求解线段长度、角的度数或者是图形的面积问题，求解的过程除了直接利用几何图形的性质及勾股定理进行求解外，有时候还需要构造旋转图形，产生新的图形进行边和角的等量代换，并最终求出结果．2．构造旋转图形求线段长度主要是让所求线段在一个特殊的三角形中或者是直接通过等量代换找到与所求线段长相等的线段，最后利用相关知识求解．3．构造旋转图形求解角的度数或者是图形的面积主要是通过等量代换或者产生特殊角或特殊图形，然后再计算相应的角的度数或者图形的面积．三点剖析一．考点：旋转的基本知识，与旋转相关的证明与计算，旋转与全等三角形综合，旋转中的最值问题，旋转与相似三角形结合．二．重难点：动态问题一定要分析清楚运动的每个阶段点的轨迹或者是运动状态，计算出每一阶段的路径长度或扫过的面积，再按照题目要求求出最终结果．三．易错点：1．研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2．每一组对应点所构成的旋转角相等．旋转的基本知识例题例题1、不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由①，得，由②，得，由①②得，原不等式组的解集是．例题2、解不等式．【答案】或【解析】当时，原不等式可化为，解得，结合，故是原不等式的解；当时，原不等式可化为，解得，结合，故是原不等式的解；当时，原不等式可化为，解得，结合，故是原不等式的解.综上可知或是原不等式的解．例题3、以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等腰梯形B.平行四边形C.矩形D.等边三角形【答案】C【解析】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；D、不是中心对称图形，是轴对称图形．故选C．例题4、如图，它可以看作“”通过连续平移3次得到的，看作“”绕中心旋转次，每次旋转度得到的．【答案】3；3；90【解析】由图可知，“”通过连续平移3次即可得出图形；∵此图形是中心对称图形，∴也可以看作是“”绕中心旋转3，每次旋转90到的．例题5、如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A.（-a，-b）B.（-a．-b-1）C.（-a，-b+1）D.（-a，-b-2）【答案】D【解析】解：把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）．因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（-a，-b-1）．∴A′（-a，-b-2）．故选D．随练随练1、如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_____________．【答案】【解析】连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，由题意：，∴，∴直线CC′为y=x+，∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，），∴直线EF为y=﹣3x+2，由得，∴P（1，﹣1）．与旋转相关的计算与证明例题例题1、试确定实数的取值范围，使不等式组恰有两个整数解．【答案】0.5＜a≤1【解析】由，两边同乘以得，解得，由，两边同乘以得，解得，∴原不等式组的解集为．又原不等式组恰有个整数解，即；则的值在（不含）到（含）之间，，．例题2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A.B.C.D.π【答案】B【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为：=π．故选：B．例题3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为______________．【答案】4+3【解析】连结CC′，A′C交BC于O点，如图，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC′为等边三角形，∴CB=CB′，而A′B=A′C′，∴A′C垂直平分B′C，∴BO=BC′=3，在Rt△A′OB中，A′O==4，在Rt△OBC中，∵tsin∠CBO=sin60°=，∴OC=6×=3，∴A′C=A′O+OC=4+3．故答案为4+3．随练随练1、解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．【答案】【解析】解不等式①，得．解不等式②，得．所以不等式组的解集是．在数轴上可表示为：．旋转与全等三角形综合例题例题1、通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据____，易证△AFG≌____，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系____时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【答案】（1）SAS（2）△AFE（3）∠B+∠D=180°（4）DE2=BD2+EC2【解析】此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；（1）∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，∴E′B2+BD2=E′D2，又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°，在△AE′D和△AED中，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE=DE′，∴DE2=BD2+EC2．随练旋转中的最值问题例题例题1、如图①，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接、．（1）试猜想线段和的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论．（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．若，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度（），当为最大值时，求的值．【答案】（1）垂直且相等（2）成立，证明见解析；【解析】（1）如图（1），∵△ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，∴，∵在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴，，延长EA到BG于一点M，∴，∴，∴线段BG和AE相等且垂直；（2）成立，如图（2），延长EA分别交DG、BG于点、两点，∵△ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，∴，且，∵，∵在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴，，∵，，∴，即BG⊥AE且；（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），若，则，．在Rt△AEF中，∴，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，随练旋转与相似三角形综合例题例题1、如图，和都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．（1）求证：；（2）若是边长可变化的等腰直角三角形，并将绕点A旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交．当为等腰直角三角形时，求出的值．AABCDEFG【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考查三角形综合．（1）∵，，∴．∴．…………………1分∵，且，∴△ADB≌△AEC，∴．…………………2分又，……………3分∴△AFC∽△GFB．………………4分（2）∵△AFC∽△GFB，∴．图①图①①当，时，如图①所示，设，则．∵△BDE为等腰直角三角形，∴．∴．∵，∴．∴．……………5分图②图②②当，时，如图②所示，同理设，则．∴．∵，∴．∴．………………6分图③图③③当，时，如图③所示，同理设，则．∴．∴四边形ADBE是正方形，∴．∴．…………7分随练随练1、如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是____A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B.把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C.把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D.把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°【答案】B【解析】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．观察图象可知，先把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可得到．根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．故选B．随练2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（）A.5cmB.πcmC.πcmD.5πcm【答案】C【解析】在Rt△ABC中，AB===5，lAB===πcm，故点B所经过的路程为πcm．故选C．随练3、如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵在矩形ABCD中，AB=，AD=1∴tan∠CAB==，AB=CD=，AD=BC=1，∴∠CAB=30°，∴∠BAB′=30°，∴S△AB′C′=×1×=，S扇形BAB′==，S阴影=S△AB′C′﹣S扇形BAB′=．随练4、在矩形ABCD中，点P在AD上，，，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．

（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：的大小是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）（2）不变【解析】该题考查的是四边形综合．（1）在矩形ABCD中，，，，

∴，．

∵，

∴，

∴△ABP∽△DPC，

∴，即．

∴．（3分）（2）大小不变．

证：过点F作于点G，

易证四边形ABFG是矩形．

．

∴，．

∵，

∴，

∴．

∴△APE∽△GFP．（5分）

∴．

在Rt△EPF中，．（6分）

即的值不变，故大小不变．（7分）随练5、如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，，．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当或60°时，_______MK（填“”，“”或“”）．②如图4，当时，_______MK（只填“”或“”）．（2）猜想：如图1，当时，_______MK，证明你所得到的结论．（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．DBDBCAFEMK图1DBCA(F,K)EM图2DBDBCAFEK图3(M)DBCAFEMK图4【答案】见解析【解析】（1）①，②（2）证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD，则，，，∵D是AB的中点，∴．∵，∴，∵，∴，．∴，∵，∴△ADM≌△GDM，∴．∵，∴．（3），．随练6、如图1，点为正方形的中心．（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连结，，，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值．图图1图2【答案】（1）见解析（2）⊥（3）【解析】（1）正确画出图形；………………1分（2）延长交于点，交于点…2分∵为正方形的中心，∴，∠＝90°……3分∵绕点逆时针旋转90°角得到∴∴∠＝∠＝90°∴∠＝∠……4分在△和△中，，，∠＝∠，∴△≌△∴.……5分∴∠＝∠∵∠+∠∴∠+∠=90°∴⊥……6分（3）的最大值为……8分随练7、在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【答案】（1）90°；（2）；（3）最小值-2；最大值7．【解析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴=，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴=()2=()2=，∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=；（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．随练8、如图，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设，（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD，如图2所示．求证：．（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示．求证：（3）在（2）的基础上，当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上．并直接写出的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），【解析】（1）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，∴，，∴△COD是等边三角形，∴；（2）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EDC，△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，∴，，，，∴，即，在△EAD和△ABO中，，∴△EAD≌△ABO，∴；（3）∵△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，∴，∴四边形ABCE是菱形．∵B、O、D、E在同一直线上，∴B、O、D、E是菱形ABCE的对角线，∴．∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，∴，，∴．∵△COD是正三角形，∴．∵点B、O、D、E在同一直线上，∴，∴，∴，∴．∴．∴，∴，同理可得：．∴．作OF⊥AB于F，设，则，∴，在Rt△BOF中，由勾股定理，得，∴，∴，即的最小值为．随练9、将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=____；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为____度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．【答案】（1）3:1（2）60（3）θ=60°（4）n=2（5）θ=72°（6）n=【解析】（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=（）2=3，∠B=∠B′，∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°；故答案为：3，60；（2）∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．在Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°，∴n==2；（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′，又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=72°．∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA，∴AB：BB′=CB：AB，∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB），∴AB=，∵AB＞0，∴n==．拓展拓展1、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将绕点B逆时针旋转60°得到．若点B的坐标为，则点C的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】作CH⊥x轴于H，如图，∴，∵绕点B逆时针旋转60°得到，∴，，∴，在中，，，，∴．拓展2、有一种几何图形，它绕某一定点旋转，不论旋转多少角度，所得到的图形都与原来的图形完全重合，这种几何图形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.圆【答案】D【解析】A、正三角形只有绕旋转中心---内心至少旋转120°，才能与原来的图形重合，故本选项错误；B、正方形只有绕旋转中心---对角线交点至少旋转90°，才能与原来的图形重合，故本选项错误；C、正六边形只有绕旋转中心---对角线交点至少旋转60°，才能与原来的图形重合，故本选项错误；D、圆绕圆心旋转，不论旋转多少角度，所得到的图形都与原来的图形完全重合，故本选项正确．拓展3、下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】①正方形旋转的最小的能与自身重合的度数是90度，正确；②长方形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误；③等边三角形旋转的最小的能与自身重合的度数是120度，错误；④线段旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误；⑤角旋转的最小的能与自身重合的度数是360度，错误；⑥平行四边形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误．拓展4、解不等式．【答案】或【解析】从里往外的去绝对值符号，将数轴分为，，三段来讨论，可以转化为三个不等式组，最后得到或．拓展5、如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A.πB.13πC.25πD.25【答案】A【解析】连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴==，∵==6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=，故选：A．拓展6、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为____；（2）点A1的坐标为____；（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为____．【答案】（1）（-3，-2）（2）（-2，3）（3）π【解析】（1）∵A（3，2），∴点A关于点O中心对称的点的坐标为（-3，-2）；（2）（-2，3）；（3）根据勾股定理，OB==，所以，弧BB1的长==π．故答案为：（1）（-3，-2）；（2）（-2，3）；（3）π．拓展7、(2013初二下期末清华大学附属中学)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝2，连接EP，当θ=_________°时，EP长度最大，最大值为___________．【答案】120；3【解析】该题考查的是旋转的性质．如图，联结CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，此时∵，∴∵AC中点为E，中点为P，∴，∴拓展8、如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，则点B′的坐标为____A.（3，）B.（3，-）C.（，）D.（，-）【答案】D【解析】过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，∴∠BE0=∠B′FO=90°，∵四边形OABC是菱形，∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，∴∠AOC+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，∴∠B′OF=45°，在Rt△B′OF中，OF=OB′•cos45°=2×=，∴B′F=，∴点B′的坐标为：（，-）．故选D．拓展9、已知：等边中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且．（1）如图1，当时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．【答案】见解析【解析】（1）．（2）．理由如下：过点O作OD⊥AC，OE⊥BC，易得，在边AC上截得，连结，∵，，∴△≌△EON，∴，．∵，∴，∴．易证△≌△MON，∴．∴，，，∴，∴．（3）拓展10、如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．①求证：BD⊥CF；②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．【答案】（1）成立BD=CF（2）①见解析②DH=【解析】（1）BD=CF．理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=θ，在△CAF和△BAD中，，∴△CAF≌△BAD，∴BD=CF；（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，∴∠CFA=∠BDA，∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，∴∠CFA+∠FNH=90°，∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；②连接DF，延长AB交DF于M，∵四边形ADEF是正方形，AD=3，AB=2，∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，∵△ABC绕点A逆时针旋转45°，∴∠BAD=45°，∴AM⊥DF，∴DB==，∵∠MAD=∠MDA=45°，∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，∴△DMB∽△DHF，∴，即，解得，DH=．拓展11、已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．【答案】（1）a=b=4；（2）a=8，b=4；（3）ab=32【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45°，∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠CEA，∴CE=AC=4，即：a=b=4；（2）当△AEF是直角三角形时，①当∠AEF=90°时，∵∠EAF=45°，∴∠AFE=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF2=2FE2=2（CE2+CF2），AF2=2（AD2+BE2），∴2（CE2+CF2）=2（AD2+BE2），∴CE2+CF2=AD2+BE2，∴CE2+CF2=16+（4+CE）2，∴CF2=8（CE+4）①∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BEF=∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴，∴，∴4CF=CE（CE+4）②，联立①②得，CE=4，CF=8∴a=4，b=8，②当∠AFE=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=8，b=4．（3）ab=32，理由：如图，∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，∴∠BAG=∠AFC，∵∠BAC=45°，∴∠BAG+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴，∴EC×CF=AC2=2AB2=32∴ab=32．拓展12、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？【答案】（1）（2）或【解析】（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，∴OC=0B=OA=5．∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．∵∠DOE=∠B，∴∠FOC=∠OCF．∴FC=FO．∴△C