爱提分中考复习 5一轮-图形的变换-第02讲 图形的对称(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱图形的对称知识精讲一．轴对称1．轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．3．轴对称图形、图形成轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等．轴对称图形沿对称轴分成的两个图形全等．（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．4．垂直平分线：定义：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．判定：在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．作法：如图（1）分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，CD为所求直线．二．最短路径问题（1）将军饮马问题如图所示，将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于点C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到营地B，所走的路程就是最短的．（2）造桥选址问题如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行，桥与河岸垂直．）三、对称类综合问题对称类综合问题在题目中经常以图形翻折的形式出现，在解题的过程中首先判断确定该类问题考察的是轴对称的知识点，然后结合轴对称的性质注意对称轴左右两侧图形是全等的，进而得到对应的线段和角度相等，最后结合题目中的条件利用勾股定理、相似三角形或者是三角函数来解题．方法点拨：一．常见的将军饮马问题模型1．如图，直线和的异侧两点、，在直线上求作一点，使最小．2．如图，直线和的同侧两点、，在直线上求作一点，使最小．3．如图，直线和同侧两点、，在直线上求作一点，使最大．4．如图，直线和异侧两点、，在直线上求作一点，使最大．5．如图，点是内的一点，分别在，上作点、，使的周长最小．6．如图，点，为内的两点，分别在，上作点、，使四边形的周长最小．7．如图，点是外的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小．8．如图，点是内的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小．三点剖析一．考点：1．轴对称；2．最短路径问题；3．对称类综合问题．二．重难点：最短路径问题；对称类综合问题三．易错点：1．把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称．2．无论是将军饮马问题还是造桥选址问题给定的都是两个定点，很多学生可以直接套模型，但是如果两个点中只有一个定点，另外一个点是动点就要结合其它与最值有关的知识点，比如最常见的就是“垂线段最短”．轴对称例题例题1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、平行四边形为中心对称图形，所以A选项错误；B、图形为中心对称图形，所以B选项错误；C、图形为轴对称图形，所以C选项错误；D、图形是中心对称图形也是轴对称图形，所以D选项正确例题2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为____A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm【答案】C【解析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，∴AB==2cm=AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm同理CF=cm，∴BM==2cm，同理CN=2cm，∴MN=BC-BM-CN=2cm，故选C．例题3、两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，测得∠CMN=30°，∠CNM=45°，求点C到公路ME的距离．【答案】（1）见解析；（2）2km．【解析】（1）答图如图1所示：点C即为所求；（2）作CD⊥MN于点D．如图2所示：∵在Rt△CMD中，∠CMN=30°，∴=tan∠CMN，∴MD===CD，∵在Rt△CND中，∠CNM=45°，=tan∠CNM，∴DN==CD，∵MN=2（+1）km，∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km．解得：CD=2km．答：点C到公路ME的距离为2km．随练随练1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】C【解析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误．故选C．随练2、如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A【解析】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，在△BCD中，由勾股定理得：CB=，在△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=2，故选A．随练3、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为___．【答案】6【解析】∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE=12，∴BE+BD﹣DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①﹣②得，DE=6随练4、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE=____．【答案】6或16【解析】①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB，∵AE=5，tan∠AED=，∴sin∠AED=，∴AD=AE•sin∠AED=3，∴AB=6，∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE=16．故答案为：6或16．随练5、联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．【答案】（1）∠APB=90°；（2）PA=2或．【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．应用：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；探究：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，则PA=2，③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．故PA=2或．对称类综合问题例题例题1、在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）25°（3）EF2+FD2=2AB2，证明见解析【解析】（1）如图1所示：（2）如图2，连接AE，则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAP=∠BAP=20°，∴∠EAD=130°，∴∠ADF==25°；（3）如图3，连接AE、BF、BD，由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，∴∠BFD=∠BAD=90°，∴BF2+FD2=BD2，∴EF2+FD2=2AB2．例题2、如图，在△ABC中，，，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处．连结，设，△ADE的边DE上的高为．（1）求出与的函数关系式；（2）若以点、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；（3）当取何值时，△是直角三角形．第第24题图ABCDEABC第24题备用图【答案】（1）（2）（3）或【解析】（1）过A点作，垂足为M，交DE于N点，则，∵DE//BC，∴.在Rt△ABM中,，∵DE//BC，∴△ADE∽△∴，∴∴（2）∵由折叠得到，∴，，∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，∴，∴四边形是菱形，∴//，∴.又∵，∴只有当时，∽.∴当，即时，∴∴当时，∽.（3）第一种情况：当,∵,而，∴不成立第二种情况：当，∵四边形是菱形，∴点必在DE垂直平分线上，即直线AM上，∵，，∴，在Rt△中，在Rt△中，∴，解得，（舍去）第三种情况：当，∵Rt△～Rt△ABM∴，∴在Rt△中，，解得:.例题3、如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=____用含k的代数式表示）．【答案】【解析】∵点E是边CD的中点，∴DE=CE，∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴CE=EF，连接EG，在Rt△ECG和Rt△EFG中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG=FG，设CG=a，∵=，∴GB=ka，∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1），∴AF=a（k+1），AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2），在Rt△ABG中，AB===2a，∴==．故答案为：．随练最短路径问题例题例题1、如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．【答案】4【解析】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．例题2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是．【答案】2．【解析】如图，过点作CO⊥AB于O，延长BO到C'，使OC'=OC，连接MC'，交AB于P，此时PC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，连接AC'，∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACO=×90°=45°，∵CO=OC'，CO⊥AB，∴AC'=CA=AM+MC=8，∴∠OC'A=∠OCA=45°，∴∠C'AC=90°，∴C'A⊥AC，∴MC′===2，∴PC+PM的最小值为2．故答案为：2．例题3、小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点．②连结，交直线l于点P．则点P为所求．AAPBl请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在中，点D、E分别是AB、AC边的中点，，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得的周长最小．①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出周长的最小值__________．EEDACB图1（2）如图2在矩形ABCD中，，，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值_____．AADGCB图2【答案】（1）①见解析②8（2）【解析】该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D关于BC的对称点，由轴对称的性质可知， ∴当、P、E共线时最小，即P为与BC的交点， …………………1分此时，由D、E分别为AB、AC中点，∴DE//BC且，且D到BC距离为A到BC距离一半，即为2，由轴对称的性质可知，，∴即为D到BC距离两倍，所以，∵DE//BC，∴，在Rt△中，，由勾股定理，∴； ……………2分（2）如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取，则CH和EF平行且相等，∴四边形CHEF为平行四边形，∴，由轴对称的性质可知， ∴当M、E、H共线时最小，连接HM与AB的交点即为E，在EB上截取即得F， ……………4分此时，，∴，在Rt△DHM和Rt△DGC中由勾股定理：，∴． ……………5分图图1随练随练1、如图，在矩形ABCD中，，，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：_____．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，△BMN沿MN折叠得到△EMN∴△BMN≌△EMN∴，过点M作交AD于点H，则四边形ABMH为矩形∴，，Rt△EHM中，∴（2）（提示：N点和A点重合取得最大值，M点和C点重合时取得最小值）随练2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.2C.3D.【答案】A【解析】设BE与AC交于点F（P'），连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故答案选A．随练3、如图，在五边形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分别找一点M、N，若要使△AMN的周长最小时，则△AMN的最小周长为．【答案】．【解析】作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线的垂线，垂足为H，∵AB=BC=2，AE=DE=4，∴AA′=2BA=4，AA″=2AE=8，则Rt△A′HA中，∵∠EAB=120°，∴∠HAA′=60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA′H=30°，∴AH=AA′=2，∴A′H=，A″H=2+8=10，∴A′A″=．故答案为：．随练4、阅读材料：例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：+=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式+的最小值为____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1）∵原式化为+的形式，∴代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为+的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B===10，故答案为：10．拓展拓展1、在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】线段、矩形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形不是中心对称图形，拓展2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，根据勾股定理得：AB=5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE=90°，∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：（BC+CE），又BC=3，AC=4，AB=5，∴3：2.5=5：（3+CE），从而得到CE=．故选B．拓展3、如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A.=B.AD，AE将∠BAC三等分C.△ABE≌△ACDD.S△ADH=S△CEG【答案】A【解析】∵∠B=∠C=36°，∴AB=AC，∠BAC=108°，∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DB=DA，EA=EC，∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，∴△BDA∽△BAC，∴=，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，∴∠ADC=∠DAC，∴CD=CA=BA，∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，则=，即==，故A错误；∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，∵，∴△BAE≌△CAD，故C正确；由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD，即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE，∴S△BAD=S△CAE，又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴S△ADH=S△ABD，S△CEG=S△CAE，∴S△ADH=S△CEG，故D正确．拓展4、如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A.150°B.210°C.105°D.75°【答案】A【解析】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．故选A．拓展5、阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点；（2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是____________________【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定走一条直线．【解析】本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，连接CD，根据线段垂直平分线的性质和线的性质可得线段AB的垂直平分线．拓展6、如图，点A、B、C的坐标为、、，则△ABC的外心坐标是_________．OOyxABC【答案】【解析】该题考查的是三角形的外心．分别作AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，两线交于E，则E为△ABC的外接圆的圆心，根据图形和A、B、C的坐标即可求出E的坐标为．故答案为．拓展7、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于____．【答案】70°或20°【解析】根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：①当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A=40°，∴∠B===70°；②当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1=40°，∴∠BAC=140°，∴∠B=∠C==20°．故答案为：70°或20°．拓展8、阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若,，．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若，，，求BD和AB的长．图①图①图②【答案】（1）（2）；【解析】该题考察的是三角形综合．（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC，∴，，，∵，，∴，，∴．∵，∴，∴，在△BAD和△EAD中∵∴△BAD≌△EAD（ASA）∴．（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC．∴，，．∵，∴，．∴△CDE为等边三角形．∴．在AE上截取，连接DF，∴△ABD≌△AFD．∴．在△ABD中，，∴，．∴．∴．∴∴．∴．作于点G，∴在Rt△BDG中，．∴在Rt△ABG中，．拓展9、(2013中考西城区一模)在Rt△ABC中，，，点P在△ABC的内部．（1）如图1，，，点M、N分别在AB、BC边上，则_______，△PMN周长的最小值为_______；（2）如图2，若条件不变，而，，，求△ABC的面积；（3）若，，，且，直接写出的度数．BBB【答案】（1）；3（2）（3）【解析】该题考查的是三角形的综合．（1），△PMN周长的最小值为3；（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．∴，，．∵由（1）知，，，∴，，．∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线．∴，．∵△ADF中，，，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）．说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N．（如图7）由（2）知，．∵，，∴，．∴∠1=，．∴，．∴．∴．∴．图图6图7拓展10、如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，BF平分交AD于F，P是BF上任意一点，°，，则的最小值为________