爱提分中考复习 3一轮-函数-第03讲 二次函数（二）(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱二次函数（2）知识精讲一．二次函数与三角形等腰三角形存在性问题：题型说明：本类题型考察的方向有两个；①考查“分类讨论”的基本思想；②考查“方程的思想”．分类讨论主要讨论谁为腰，然后利用两腰相等或勾股定理建立方程．解决此类问题的基本思路：①分类讨论看是否存在多种可能；②将各边用参数表示出来；③建立方程；④检验是否符合题意．直角三角形的存在性问题：题型说明：本类题型考察的方向有两个；①考查“分类讨论”的基本思想；②考查“勾股定理”．解决此类问题的基本思路：①分类讨论看是否存在多种可能，哪个顶点为直角顶点．②利用勾股定理和相似构造方程．等腰直角三角形存在性问题：题型说明：本类题型主要考查等腰直角三角形的特殊性，如45°，斜边上的高等于斜边的一半等，往往这些条件都是解决本类问题的关键条件．相似三角形存在性问题题型说明：本类题型主要考察相似三角形的对应关系，保证对应顶点对应在起来，这样就涉及到分类讨论的思想，分类的标准就是点与点之间的对应．二．二次函数与四边形平行四边形存在性问题题型说明：在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点．如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验；如果有两个动点，则常用的方法有两个，①引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最后要检验；②从已知条件直接进行分析动点与平行四边形存在性问题常见模型：两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形=1\*romani考虑分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况．=2\*romanii设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系式．②三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形=1\*romani考虑分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点大三角：（见图1）连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点．=2\*romanii利用中点公式法，求出点坐标．中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标．其他四边形存在性问题题型说明：除了经常考察平行四边形的存在性以及梯形之外，像菱形，矩形，正方形也经常出现在二次函数的动点问题中，充分应用相关图形的性质是解决问题的关键．三．二次函数与面积问题题型说明：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在不在二次函数的图像上，这些都是在考试中容易失分的地方．根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运用．这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求．掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了．而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标．解决此类问题的基本思路：①直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来；②组合法，通过简单的重新组合就能求出面积；③变换，同底等高或等底等高的转换．方法点拨复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合．三点剖析一．考点：二次函数与三角形，二次函数与四边形，二次函数与面积问题，二次函数与圆，函数新定义问题．二．重难点：二次函数与三角形，二次函数与四边形，二次函数与面积问题，二次函数与圆，函数新定义问题．三．易错点：1．事件的判断；2．客观规律的判断；3．抛硬币时，正正反和正反正属于两种不同的情况；4．两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值．二次函数与三角形综合例题例题1、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．例题2、如图，在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线y=﹣x2+4mx（m＞0）与x轴的另一个交点为点A，过点P（1，m）作直线PB⊥x轴，交抛物线于点B，作点B关于抛物线对称轴的对称点C（点B、C不重合），连结BC，当点P、B不重合时，以BP、BC为边作矩形PBCQ，设矩形PBCQ的周长为l．（1）当m=1时，求点A的坐标．（2）当BC=时，求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）当点P在点B下方时，求l与m之间的函数关系．（4）连结CP，以CP为直角边作等腰直角三角形PCM，直接写出点M落在坐标轴上时m的值．例题3、如图，抛物线y=﹣（x﹣2）2+4交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），其顶点为C，将抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，点B、C平移后的对应点为D、E，且两抛物线在x轴的上方交于点P，连接PA、PD．（1）判断△PAD能否为直角三角形？若能，求m的值；若不能，说明理由；（2）若点F在射线CE上，当以A、C、F为顶点的三角形与△PAD相似时，求m的值．例题4、如图，已知经过点D（2，﹣）的抛物线y=（x+1）（x﹣3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．（1）填空：m的值为_________，点A的坐标为_________________．（2）连接AD，射线AF在x轴的上方且满足∠BAF=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AF于点E．动点M，N分别在射线AB，AF上，求ME+MN的最小值．（3）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G．请探究：是否存在点P，使得以P，G，A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．随练随练1、如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．随练2、如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．（1）求抛物线的解析式；（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．二次函数与四边形综合例题例题1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、点B（0，﹣8），直线AC与y轴交于点C（0，﹣4）．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E．（l）求抛物线所对应的函数表达式．（2）若四边形PBCD为平行四边形，求点P的坐标．（3）求点E横坐标的最大值．随练随练1、如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，且点E为AD中点，AD=BE=4，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线AD方向运动．设点P的运动时间为t秒，点P出发后，过点P作AD的垂线，交折线AB﹣BC于点Q，以PQ为边向左作正方形PQMN．设正方形PQMN与▱ABCD重叠部分的面积为S．（1）求点N与点D重合时，t的值．（2）用含t的代数式表示线段EN的长．（3）当正方形PQMN与▱ABCD重叠部分不是正方形时，求S与t之间的关系式．（4）如图②，设点O为BE的中点，请直接写出点P的运动过程中，△OQM为等腰三角形时，t的值．随练2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．（1）求抛物线的解析式；（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．随练3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．随练4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．二次函数与面积综合例题例题1、如图1，平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，，以BE为腰作等腰，使它与在直线AB的同侧，°，沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．随练随练1、已知是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点在直线上”为事件Qn（，n为整数），则当的概率最大时，n的所有可能的值为____或____（从小到大依次填写）．随练2、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与圆综合例题例题1、在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．（1）①点的限变点的坐标是___________；②在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，这个点是_______________；（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，求关于的函数解析式及的取值范围．随练随练1、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．随练2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点A（O，4），与x轴相交于点B（3，O）、C（1，O），顶点为M．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与x轴相交于点H，与直线AB相交于点N，求证：四边形MBNC是菱形；（3）如图2，若P是以D（﹣1，O）为圆心，以1为半径的⊙D上一动点，连结PA、PB，求使△PAB面积取得最大值时的点P的坐标．拓展拓展1、已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展2、在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．拓展3、如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．拓展4、如图，抛物线y=﹣x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）求抛物线y=﹣x﹣4的对称轴和顶点坐标；（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．拓展5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．拓展6、如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点