初中++数学求二次函数的表达式++课件+华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.3求二次函数的表达式1.

二次函数的三种形式一般

式

（a、b、c为常数，且

a≠0）顶点

式

（a≠0），其

中

为顶点坐标，对称轴为直线

⁠交点

式

（a≠0），其中

x1、x2是抛物线与x轴的交点的

⁠y＝ax2＋bx＋c

y＝a（x－h）2＋k

（h，k）

x＝h

y＝a（x－x1）（x－x2）

横坐标

注意：求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根

据不同条件，设出恰当的解析式：（1）若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝

ax2＋bx＋c（a≠0）；（2）若给出抛物线的顶点坐标、对称轴或最值，通常

可设顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）；（3）若给出抛物线与x轴的交点、对称轴与x轴的交点

间的距离，通常可设交点式y＝a（x－x1）（x－x2）

（a≠0）.2.

用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤（1）设出二次函数解析式；（2）代入条件得出关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组求出待定系数的值；（4）把求出的待定系数的值代回设出的解析式.题型一

用待定系数法求二次函数的表达式

根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式.（1）已知二次函数的图象经过点A（0，－1）、B

（1，0）、C（－1，2）；

（2）已知抛物线的顶点坐标为（1，－3），且与y轴交

于点（0，1）；解：（2）∵抛物线的顶点坐标为（1，－3），∴设此二次函数的表达式为y＝a（x－1）2－3.将点（0，1）代入上式，得1＝a－3，解得a＝4.∴所求二次函数的表达式为y＝4（x－1）2－3＝4x2－8x＋1.（3）已知抛物线与x轴交于点M（－3，0）、N（5，0），且与y轴交于点P（0，－3）.

[分析]

（1）设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，

将三个点的坐标代入表达式中，联立成方程组，解方程

组即可求得函数表达式；（2）设二次函数的表达式为y

＝a（x－1）2－3，再将（0，1）代入即可求得函数表

达式；（3）设二次函数的表达式为y＝a（x＋3）（x

－5），再将（0，－3）代入即可求得函数表达式.

1.

根据下列条件，求二次函数的解析式.（1）图象经过A（3，0）、B（2，－3）、C（0，－3）三点；

（2）图象经过（0，－2）、（－1，0）和（3，0）

三点；

（3）已知抛物线的顶点坐标为（2，3）且经过点（1，4）.解：（3）由于已知顶点坐标，可设顶点式y＝a（x－2）2＋3.将点（1，4）代入并解得a＝1，∴该二次函数的解析式为y＝（x－2）2＋3＝x2－4x＋7.2.

如图，二次函数y＝（x－1）（x－a）（a为常

数）的图象的对称轴为直线x＝2.（1）求a的值；

（第2题）（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.解：（2）由（1）可知该二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.则当x＝0时，y＝3，∴原二次函数与y轴的交点坐标为（0，

3），要使其平移后经过原点，则应向下

平移3个单位.∴平移后图象所对应的二次函数的表达

式为y＝x2－4x.

（第2题）题型二

用二次函数解决简单实际问题

如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB

与桥长CD均为24

m，在距离点D

6

m的点E处，测得

桥面到桥拱的距离EF为1.5

m，以桥拱顶点O为原点、

桥面为x轴建立平面直角坐标系.图1（1）求桥拱顶部O离水面AB的距离；

图1（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4

m的支柱CG、

OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛

物线，其最低点到桥面距离为1

m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩

带，求彩带长度的最小值.图2

AA.

y＝－

x2＋

x＋1B.

y＝－

x2＋

x－1C.

y＝－

x2－

x＋1D.

y＝－

x2－

x－1（第3题）4.

（2024·浙江）一次足球训练中，小明从球门正前方8

m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的

水平距离为6

m时，球达到最高点，此时球离地面3

m.

已知球门高OB为2.44

m，现以O为原点建立如图所示

的平面直角坐标系.

（第4题）（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；

（第4题）（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大

高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少

米射门，才能让足球经过点O正上方2.25

m处？（第4题）（第4题）

题型三

二次函数与几何综合

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上

取一点R，使以AC为一边且以点A、C、Q、R为顶点

的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标.

5.

如图，在平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx

＋c的图象经过点A（－2