沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第19讲 勾股定理及两点间的距离公式(解析版)

勾股定理及两点间的距离公式

噫起内容分析

本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾

股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间

的距离公式.难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系

的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛.

知识结构

模块一：勾股定理的证明及应用

知识精讲

1、勾股定理：

(1)直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方.利用勾股定理往往构

造方程，已达到解决问题的目的；

(2)应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角

三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问

题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻

求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有

关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想.

例题解析

【例1](1)在直角△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=1,则A8=

(2)在直角△ABC中，ZC=90°,ZA=45°,AB=3,贝!1AC=,

【答案】⑴2；(2)-V2.

2

【解析】(1)由直角三角形性质推论即可得结论；

(2)设AC=3C=x,则由勾股定理可得：X2+X2=32,解得：x=3血，

2

，AC=-42.

2

【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用.

【例2】(1)等边三角形的边长是3,则此三角形的面积是；

(2)等腰二角形底边上的长为2,腰长为4,则它底边上的高为

【答案】(1)-V3；(2)V15.

4

【解析】(1)作出等边三角形的高，则可得高为士3右r-，则三角形的面积为9r-

24

(2)作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为小

【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用.

【例3】(1)直角三角形两边长为3和4,则此三角形第三边长为；

(2)直角三角形两直角边长为3和4,则此三角形斜边上的高为；

(3)等腰三角形两边长是2、4,则它腰上的高是.

【答案】⑴5或行；(2)—；(3)—.

52

【解析】(1)3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边；

(2)由勾股定理可得：斜边长为5,则由等面积法可知：三角形斜边上的高为吆=乜;

55

(3)：2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2,

作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：

底边上的高为A，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为拉叵=叵.

42

【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论.

【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+l,N+2,N+3则N的值是；

（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数,则此三角形的周长为.

【答案】（1）2；（2）24.

【解析】（1）由题意有：（N+l）2+（N+2）2=（N+3）2,解：N=2（负值舍去）；

（2）可设直角三角形的三边长分别为N-2,N,N+2

（N—2p+N2=（N+2）2,:.N=8

.•.三角形的周长为3N=24

【总结】考察勾股定理的应用.

【例5】如图，在直角△ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,。是斜边AB的中点，BC=2,

求△AOC的周长.

【答案】4+23

【解析】VZACB=90°,。是斜边AB的中点，

BD=CD=AD=-AB.

2

VZB=60",...△BOC是等边三角形，:.CD=BC.

VZACB=90°,ZB=60a,：.ZA=30°,/.AB=4.

VBD^CD^AD=-AB,：.CD=2.'：ZACB=9Q°,BC=2,AB=4,

2

22

AC=V4-2=2V3,/.CAADC=AD+CZ)+AC=2+2+2V3=4+273

【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用.

【例6】如图，已知：△[△ABC中，NACB是直角，BC=15,48比AC大9,CZ）_LA8于

点、D,求CO的长.

【答案】—.

17

【解析】设AC=x,AB=x+9,

VAB-^AC2+CB-,/.(x+9)2=X2+152,解得：x

120

AC=8,AB=17由等面积法可知：CD=AC-BC^AB=8xl5<17=—

17

【总结】考察勾股定理和等面积法的应用.

【例7】已知已直角三角形的周长为4+而，斜边上的中线为2,求这个直角三角形的面积.

【答案】--

2

【解析】•••斜边上的中线为2,所以斜边长为4.

:直角三角形的周长为4+后，，两直角边之和为后.

•••斜边长为4,则两直角边的平方和为16,

•••设两直角边分别为X,.则有解得：孙=31仔+=5,

直角三角形的面积为

2

【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用.

【例8】如图，直线是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30。

的方向上有一栋别墅C,朝正北方向走了400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75。

的方向上，如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路，M

请你求出这条小路的长（结果保留根号）.

【答案】100+100方.\/'B

【解析】根据垂线段最短，过C作垂线的垂线段是最短的.\

过C作CD_LMN,垂足为。，过8作BE_LAC,垂足为E.\

由题意可知：ZCAB=3O°,/CW=75。，NBC4=45。.A

在放△ABE中，ZC4B=3O°,AB=400,ABE^-AB=200."

2

，由勾股定理可得：AE=20073

在放△CBE中，4C4=45°,BE=200,：.CE=200

：.AC=AE+CE=200V2+200

在R/VXACZ）中，ZCAB=30°,AC=200+200V3,

CD=100+10073.

【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用.

【例9】如图，公路MN和公里P。在点P处交汇，且NQPN=30°,点A处有一所中学，

AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN

上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖

拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒？

【答案】24秒.

【解析】过A做垂足为艮D

PA

M

在放ZXAB尸中，/QPN=30。,AP=160,

：.AB=-AP=SO

2

V80<100,所以学校会受到噪音的影响.

假设在C处开始受到噪音影响，在D处开始不受影响，

/.C4=100,AD=100

由勾股定理可得：CB=BD=60

受影响的路程为120米=0.12千米

学校受影响的时间为些x3600=24秒.

18

【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析.

【例10]如图，矩形A3C。中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC进行翻折，点D落在E处,

求出重叠部分△AFC的面积.

【答案】10.

【解析】VDC//AB,ZDCA^ZACF,

：.ZACF=ZCAF,，AF=FC

T^AF=FC=X,贝UFB=8—X

VBC2+BF2=CF2,：.42+（8-x）2=x2,解得:

•••SAAfC=1-AF-CB=lx5x4=10

【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用.

【例11]如图，AB两个村子在河边的同侧，A、8两村到河边的距离分别为AC=1千

米，8。=3千米，CO=3千米.现在河边建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向

A、8两村送水，也可以将水送一村再转送另一村.铺设水管费用为每千米2万元，试

在河边8选择水厂位置尸确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用

（精确到0.01万元）.

【答案】10万元.//

✓

【解析】延长AC至点E,使得CE=AC,连接防交于一点，/

则此时铺设水管费用最低.

过E作EF〃C。，交8。延长线于尸

,四边形CEFD是长方形，CE=D尸=1

、匕-^x-----------二」F

•/EF=3,BF=4,，由勾股定理可得：BE=5

此时AP+PB=¥+3P=BE=5

...总费用为5x2=10万元.

【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用.

【例12]如图，在直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,E、尸是BC上的两点，且

ZEAF=45°,求证：BE2+CF2=EF2.

【答案】见解析

【解析】过C作CGL8C,使CG=CE,连接AG、FG.

VZBAC=90°,AB=AC,

ZB=ZBCA=45.

VCGLBC,：.ZACG=ZBCA=45,

：.ZACG=ZB.B

：AB=AC,BE=CG,

：.AAEB^^AGC

：.AE^AG,NBAE=NCAG.

,：ZEAF=45°,

：.ZBAE+ZCAF=45°,

：.Z.CAF+ZCAG=45°,即ZFAG=45°,

ZGAF=ZEAF

'：AF=AF,AE=AG,

：.AAFG丝ZV1FE,

/.EF=GF.

在血ACFG中，由勾股定理，可得：GF2=CG2+CF2,

又EF=GF,CG=CE,

BE2+CF2=EF2.

【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题.

模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用

知识精讲

2、逆定理：

(1)如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角

形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形.

(2)在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大

边的平方和等于较小两边的平方和.

例题解析

【例13】下列命题中是假命题的是()

A.在△ABC中，若则△ABC是直角三角形

B.在AABC中，若/=3+c)S-c),则AABC是直角三角形

C.在△ABC中，若/B：ZC：ZA=3:4:5,则△ABC是直角三角形

D.△ABC中，若a:6:c=5:4:3,则AABC是直角三角形

【答案】C

【解析】A答案中：ZB+NA=NC,且N3+NA=180。—NC,，NC=90。，所以是直

角三角形；B答案中：a2=b2-c2,a~+c2=b~,所以是直角三角形；

C答案中：N3=3x,NC=4x,ZA=5x,3x+4x+5x=180°,x=15°,/C=75°,

不是直角三角形；

D答案中：设a=5相，b=4m,c=3m,a2=b2+c2,所以是直角三角形.

【总结】考察判断直角三角形的方法.

【例14】（1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；

（2）若AABC的三边A、B、C满足（。-6）（/+62-02）=0则—BC是________三角形.

【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形.

【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三

角形是直角三角形；

（2）由题意有：。=6或/+匕2=°2,，三角形为等腰三角形或直角三角形.

【总结】考察勾股定理的应用.

【例15］（1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆

折断之前有多少米？

（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是

__________米.

【答案】（1）24米；（2）15米.

【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为J92+12?=15,

则旗杆长为9+15=24米；

（2）由题意可得：可达到建筑物的高度为而7=F=15.

【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用.

【例16】AABC的三边分别为A、B、C,+b2+c2+50=6tz+8Z?+10c,

判断AABC的形状.

【解析】Va2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

：.（a-3）2+（Z?-4）2+（C-5）2=0,：.a=3,b=4,c=5.

：/+62=02,...△ABC是直角三角形.

【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用.

【例17】如图，公路上A、8两点相距25千米，C、。为两村庄，于点A,CB±

A8于点8,已知D4=15千米，CB=10千米，现要在公路A8上建一车站E.

（1）若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处？

（2）若使得C、。两村到E站的距离和最小，E站建在离A站多少千米处?

【答案】(1)AE=10；(2)AE=15.

【解析】(1)设AE=元，贝i]5E=25—x,

：.ED2=x2+152,EC?=（25-尤J+1（）2,

;ED=EC,：.x2+152=（25-x）2+102,

/.x=10,即AE=10.

（2）找出C点关于AB的对称点F,联结DF交AB于点E',

则此时的E'满足C、D两村到E站的距离和最小，

设=BE=25—x,

：.E£>2=x2+152,EF2=（25-X）2+102,

'•*DF=A/252+252=25Vl，six2+152+7（25-x）2+102=2572，

解得：x=15,A£=15

【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法.

【例18]如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且/B=90°,求ND4B

的度数.

【答案】135°.

【解析】连接AC

'：AB=BC=2,ZB=90°,：.AC=722+22=272,NWC=45。.

•.*AC=2&,AD=1,CD=3,：.AD2+AC2=CD~,

，ZDAC=90°,ZDAB=ZDAC+ZBAC=135°.

【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用.

【例19]如图，已知在△ABC中，ZB=90°,AB=BC,AD是8C边上的中线，EF是A。

的垂直平分线，交A8于点E,交AC于点尸，求AE：8E的值.

【答案】5：3.

【解析】连接即，

：EF是AD的垂直平分线，AE=ED

T^AB=BC=2,AE=ED=X,贝!15E=2—X

•?BE2+BD-=ED2,/.(2-x)2+12=x2,解得：x.

53

贝！j5E=2—%=2——=-,

44

53

，AE:BE=—:―=5:3.

44

【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用.

【例20]如图，AA8C是等边三角形，P是三角形内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求

NAPB的度数.

VDP=4,DC=3,PC=5,：.DP2+DC~=PC~,：.ZPDC=90°

：.NBDC=NBDP+Z.PDC=150°

AABP^ACBD,

：.ZAPB=NBDC=150P

【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用.

【例21]如图，尸是凸四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、D4的垂线，垂足分别为

E、F、G、H,已知AH=3,DH=4,DG=1,GC=5,CF=6,BF=4,S.BE-AE=1,

求四边形ABC。的周长.

【答案】34.

【解析】由勾股定理可得：

AP-=AH2+PH2=AE2+PE2,

BP?=BE2+PE2=BF2+PF2,

CP-=PF-+CF~=CG2+PG2,

DP?=DG2+G产=DH2+PH2,

等式相加后代入数据可得：32+J5E2+62+1=A£2+42+52+42,

整理得：BE2-AE2=11,即(2E+AE)(BE-AE)=11,"：BE-AE=\,

解得：BE=6,AE=5.所以周长为：3+4+1+5+6+4+6+5=34.

【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择.

【例22】已知，如图，在AABC中，ZACB=9Q°,CZ）_LAB于点。，设AC=6,BC=a,

AB=c,CD=h.

求证：

（1）c+h>a+b；\

（2）以a+b、c+h、力为三边可构成一个直角三角形.\

DA

【解析】(1)由等面积可知：ab^ch,-：a2+b2=c2,

(a+bf=a~+2ab+b~=c~+2ch,(c+lif=c2+h1+2ch.

'/c2+2ch<c~+h2+2ch,(a+b)2<(c+/z)2,/.c+h>a+b.

(2)(c+/?)2=c~+h2+2ch；h2+(a+b)2=h2+a~+b~+lab,a2+b2=c2,ab=ch

，(c+〃)2=〃2+(a+b)2,.•.以a+以c+〃、〃为三边可构成一个直角三角形.

【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用.

模块三：两点间的距离公式

知识精讲

3、距离公式：如果平面内有两点，%）、3（%,为），则A、8两点间的距离为：

"（占一%2）~+（%-％）2'

（1）当4（%，/）、2（%,%）两点同在x轴上或平行于x轴的直线上，则有％=%，

AB=\xx-x2\；

（2）当4项，%）、5（%，%）两点同在y轴上或平行于y轴的直线上，则有%=%，

AB=\yr-y2\.

例题解析

【例23】已知点A(2,2)、B(5,1).

(1)求A、8两点间的距离；

(2)在x轴上找一点C,使AC=BC.

【答案】(1)屈;(2)C(3,0).

【解析】(1)AB=7(2-5)2+(2-l)2=710；

(2)设C(x,O),

'：AC=BC,：.7(2-X)2+22=7(5-X)2+12,x=3,

C(3,0).

【总结】考察两点之间距离公式的应用.

【例24](1)已知A(x,3)、B(3,x+1)之间的距离为5,则x的值是；

(2)已知点P在第二、四象限的平分线上，且到。(2,-3)的距离为5,则

点P的坐标为.

【答案】(1)x=6或一1；(2)尸(6,-6)或尸(1,-1).

【解析】(1)由题意有：小_3)2+(3-犬_1)2=5,；.x=6或—1；

(2)设尸(m-a),/.7(a-2)2+(-a+3)2=5,；.a=6或一1,尸(6,-6)或P(1,-1).

【总结】考察两点之间距离公式的应用.

【例25](1)以点A(1,2)、B(-2,-1),C(4,-1)为顶点的三角形是；

(2)已知点4(0,3)、8(0,-1),△ABC是等边三角形，则点C的坐标是

【答案】(1)等腰直角三角形；(2)CQG，1)或。卜2石,1).

【解析】⑴,/AB=A/32+32=3V2,BC=A/62+02=6,AC=^32+32=3y/2,

：.AB2+AC2=BC2,AB=AC,

...该三角形为等腰直角三角形;

(2)C(a,b),

(3)VAB=4,AC=7a2+(3-&)2=4,BC=^a2+(b+lf=4,

解得：a=±2A/3,b=1,

：.c(24,［或

【总结】考察两点之间距离公式的应用.

【例26】已知直角坐标平面内的点A(4,1)、B(6,3),在坐标轴上求点P,使朋=P8.

【答案】P(7,0)或尸(0,7).

【解析】①当点P在x轴上时，

设尸(x,0),'：PA=PB,：.7(4-X)2+12=7(6-X)2+32,x=7,：.P(7,0)

②当点P在〉轴上时，

设尸(0,y),'：PA=PB,J(1-y)2+42=J(3_yj+6?,y=7,AP(0,7)

满足条件的P点的坐标为尸(7,0)或尸(0,7).

【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点尸在坐标轴上，注意分类讨论.

【例27】已知直角坐标平面内的点P(4,m),且点尸到点A(-2,3)、B(-1,-2)的距

离相等，求点P的坐标.

【答案】尸(4,|1.

【解析】由题意可知：7(^-3)2+62=7(^+2)2+52,解得：m=|,

【总结】考察两点之间距离公式的应用.

【例28】已知点A(2,3)B(4,5),在无轴上是否存在点P,使得R4+PB的值最小?若

存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.

【答案】存在，最小值为2历.

【解析】找出A(2,3)关于x轴对称的点为C(2,-3),连接BC,

则PA+PB的值最小值为BC=722+82=2V17.

【总结】考察两点之间距离公式的应用.

3

【例29】已知直角坐标平面内的点A（4,―）、B（6,3）,在龙轴上求一点C,使得

2

△A8C是等腰三角形.

【答案】?，o］或C（6,0）或C（2,0）

【解析】设C（x,O）,

2

当CA=CB时,；.卜4-%）+Gj='E-------7107.J107小

（6-x）+3，x=—,,0j；

当C4=®寸，.••小一才+电.g1+22,x=2或6,，。⑹。）或C（2,o）；

当CB=AB时，J（6-X）2+32=jQJ+22,方程无解，所以不存在.

与，。］或C（6,0）或C（2,0）.

综上，满足条件的点C的坐标为：C

【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论.

【例30】已知点A（4,0）、B（2,-1）,点C的坐标是（x,2-x）,若AABC是等腰三角

形，求C的坐标.

或C。，-1）或C（4,一2）.

【解析】由两点间距离公式，可得：

AB=7（4-2）2+l2=A/5,AC=7（^-4）2+（2-%）25C=7(-1-2-X)2+(2-X)2.

当CA=CB时，即7(4-X)2+(^-2)2=7(2-X)2+(-1-2+X)2，

当C4=A8时，即J(4T)2+(X_2)2=正2+12,

当CB=A8时，即J(2-X)2+(-1-2+X)2=4俨+2?，

解得：x=l或x=4,所以C。，-1）或C（4,一2）.

综上，满足条件的c点的坐标为：［^，一|［或［吟&，一柠&］或'丁

或（1，T）或（4,一2）.

【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是

哪条边，因此要分类讨论.

随堂检测

【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三

根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）.

A.2、4、8B.4、8、10C.6、8、10D.8、10、12

【答案】C

【解析】只有c答案满足勾股定理逆定理.

【总结】考察勾股定理逆定理的应用.

【习题2】已知点A（2,4）B（-1,-3）C（-3,-2）,那么△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.以上都不是

【答案】D

【解析】IAB=S”=底,ic=也+俨=q,AC=A/52+62=V61,

AB2+AC2N3C2,.•.该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形.

【总结】考察两点之间的距离公式的应用.

【习题3］（1）如果等腰直角三角形一边长为2,另外两边长为；

（2）如果直角三角形两边长为5和12,第三边长度为

【答案】（1）2,2后或忘，忘；（2）13或"1?.

【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边.

【总结】考察勾股定理的应用.

【习题4】如图，将长方形ABCD沿AE折叠,使得点D落在上的点/处,AB=8，AD=IO.求

EC的长.A

【答案】CE=3.

【解析】由翻折性质，可知：AD=AF^10,

：.BF=y/AF2-AB2=6,CF=BC-BF=10-6=4.

设EC=x,EF=DE=8-x

VCE-+CF2=EF~,：.X2+42=（8-X）2,解得：x=%

CE=3.

【总结】考察勾股定理的应用.

【习题5】如图，在四边形ABC。中，ABLBC,AB=9,BC=n,CD=15,DA=15yf2.求四

边形ABC。的面积.

【答案】—.

2

【解析】联结AC,过C作

BC

'：AB±BC,AB=9,BC=12,：.AC=15.

222

VCZ)=15,AC=15,15A/2,?.CD+AC=AD,

，AACD为直角三角形.

S四边形钻CD=SBC+SAAOC=^ABBC+-ADEC

1c1右1572333

二—x9x12H—x15yl2x------=.

2222

【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用.

【习题6］如图，在△ABC中，为BC边上的中线，AB=5,AC=3,AD=2.求：AABC

的面积.

A

【答案】6.

［解析】延长AD至E,使得DF=AD,联结

•；BD=CD,ZADB=NCDE,DF=AD

：.AABD名△CDE,AB=CE=5B/c

/——

VAC=3,AE=4,CE=5,：.AC2+7IE2=CE2,/

3Z＞一

AZZMC=90°,SAADC=^-AD-AC-

E

BD=CD,S^ABC=2s△△0c=6.

【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用.

【习题7】若A、B、C是三角形的边长且关于x的方程r-2（。+6）无+<?+24=0有两个相

等的实数根，试判断这个三角形的形状.

【答案】直角三角形.

【解析】由题意可知：［―2（a+b）\~—4（c2+2abj=0,a1+b~=c2,

这个三角形为直角三角形.

【总结】考察勾股定理逆定理的应用.

【习题8】如图，在一条公路上有P、。两个车站，相距27初z,A、8是两个村庄，API

PQ,BQ±PQ,且AP=15Am,BQ=24km,现在要在公路上建立一个商场M使得A、

8两个村庄到商场M的距离相等，求PM的长.B

【答案】PM=20.

【解析】设尸河=x,MQ=27-x,

VMA=MB,：.VX2+152=7（27-X）2+242,——q----------------------

解得：x=20,APM=20.A

【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用.

【习题9】已知点A（-2,8）2（1,4）,点C在y轴上，使AABC为直角直角三角形，求满足条

件的点C的坐标.

【答案】*,6+#）或*,6-街）或或c（o，,J.

【解析】设C（0,y）,则AC="4+（y-8）2,BC=^+{y-^,AB=A/32+42=5.

当AC2+BC2=AB2时，贝1J（8-才+22+（4-y）2+l2=32+42,

解得：y=6+A/6y=6—A/6,C（°，6+5/^）或C（0，6-；

19

当AC?+AB?=202时，则（87）2+22+32+42=（4-才+12,解得:

cfo,y

13

当Ry+AB?=472时，则（4-y）2+12+32+42=（8-yy+22,解得:一

/.cfo,y

,综上所述，满足条件的c点的坐标为：C（0,6+n）或C（0,6-网或c/q）

或

【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论.

【习题10]如图，在AABC中，ZACB=90,AC=BC,M是AABC内一点，且

AM=3,BM=1,CM=2,求NBMC的度数.，?

/'；

【答案】135。.c/\

【解析】在过点C作CD,CM于点C,在CD上截取一点。，\

使得CD=CM,连接80/V\\

VZACM+ZDCA=90°,ZACM+ZBCM=900/

/.ZDCA=ZBCMA/----------------B

'：AC=BC,ZDCA=ZBCM,CD=CM

：.AACD冬LBCM,

：.BM=AD=1

VZMCD=90°,CD=CM,

：.DM=242,ZCDM=45°

:DA=1,DM=20,AM=3,

：.DA2+DM2=AM2,

=90°

ZADC=ZADM+Z.CDM=135。

•/AACD咨ABCM,

：.ZBMC=ZADC^135°

【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用.

【习题11】若在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,/ACB=90°,贝！I/+〃=试用两种方

法证明.

【解析】方法一：如图，XCDE沿MNDE,且8、C、。在一条直线上，联结AE

△CDE出AADE,：.ZACB=NCED

,：ZECD+NCED=90°,：,ZACB+NCED=90°,；.ZACE=90°

/.梯形ABDE的面积为g(a+b^a+匕)=2x

整理得：a2+b2=c2,即得证.

方法二、如图，由四个AABC拼成以下图形，

则四边形BCEG和四边形ADFH都为正方形

1/四边形BCEG的面积为c2,

四边形ADFH的面积为4x]ab+c2=(0+6)2,

整理得：a2+b2=c2,即得证.

【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性.

课后作业

【作业1】下列命题中，正确的有()个

(1)腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等

(2)有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等

(3)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】(1)(2)正确，(3)错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况.故选C.

【总结】考察三角形全等的判定.

【作业2】如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则4=

【答案】22.

【解析】根据勾股定理得A的面积等于另外两正方形面积之差.

【总结】考察勾股定理的应用.

［作业3］如图，RtMBC中，斜边Afi=1,则AB?+比2+AC2的值是

【答案】2.

【解析】AB2+BC2+AC2=1+1=2.

【总结】考察勾股定理的应用.

【作业4】已知点A(3，-5),点B的横坐标为-3,且A、8两点之间的距离为10,那么点B

的坐标是.

【答案】3(-3,3)或3(-3,-13).

【解析】设3(-3,间，：54=70,7(^+5)2+62=10,解得：根=3或-13,

8(-3,3)或8(-3,-13).

【总结】考察两点之间的距离公式的应用.

【作业5】现将直角三角形ABC的直角边AC沿直线AO折叠，使它落在斜边AB上，点C

与点E重合，已知AC=3,BC=4,则CD等于

【答案】cr>=-.

2

【解析】由翻折性质，可得：AC=AE=3,：.BE=2.设CZ)=r>E=x,则O8=4-x,

•/DE2+BE-=BD2,：.X2+22=(4-X)2,解得：x=1,CD=1.

【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用.

【作业6】如果AABC的周长为12,而AB+BC=2AC,AB-BC=2,那么AABC的形状是

【答案】直角三角形.

【解析】VAB+BC+AC^12,AB+BC^2AC,AB-BC^2,

联立方程，解得:AB=5,BC=3,AC=4.

VAB-=AC-+CB2,•••AABC为直角三角形.

【总结】考察勾股定理逆定理的应用.

【作业7】已知等腰直角三角形TWC斜边BC的长为2,AD3C为等边三角形，那么A、。

两点的距离为.

【答案】4£)=百-1或6+1.

【解析】VAB=AC,BD=CD,，DA垂直平分3c.

设D4交BC于E,

:等腰直角三角形A5C斜边BC的长为2,AE=1

：ADBC为等边三角形，，根据勾股定理和直角三角形的性质可得：DE=y/3

当A点在AD3C内部时，AD=73-1；

当A点在ADBC外部时，A£>=V3+1.

【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论.

【作业8】已知：如图，已知在RrAABC中，48=90,ZC=30,将AABC绕点A逆时针

旋转30后得到AAPQ,若AB=1,则两个三角形重叠部分的面积为_________.

【答案】哈.A-

【解析】设AC与P。相交于。

由题意可得：NS4O=30。，ZPAD=30°,AP=AB=1

VZP=90°,ZPAD=30°,：.^PD=x,