初中数学 求线段最值问题分类讲解全书解析版

最新精编初中数学求线段最值问题专题分类讲解全书（共计66页）

线段最值问题（一）

两点之间线段最短

两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线

段或者线段和的最大最小值问题。解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临

界位置，求出最值.

1.两点之间，线段最短：A和B两点之间，线段AB最短.

2.AB=a,BC=b(a>b),则当点C在。点时，ACmin=AB-AC=a-b,当点C在点E

时，ACg*=AB+BC=a+b

垂线段最短

垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段/W外一点C

与线段上各点的连线中，垂线段C。最短.

考点：两点之间线段最短，垂线段最短

二.重难点：两点之间线段最短，垂线段最短

三.易错点：

1.利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解;

2.利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线.

题模一：两点之间线段最短

例1.1.1在RtABC中，ZACB=90°,BAC=30°,BC=6.

（I）如图①，将线段CA绕点C顺时针旋转30°,所得到与AB交于点M,则CM的长=_；

（II）如图②，点D是边AC上一点D且AD=2X/5,将线段AD绕点A旋转，得线段AD，，点F

始终为BD，的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转—度时，线段CF的长最大，最大值为_.

D'

【答案】（1）6

（2）150；6+收

【解析】（I）如下图①所示:

:将线段CA绕点C顺时针旋转30°,

AAMC为等腰三角形，AM=MC

VZBAC=30°,

/.AMBC为等边三角形，

；.AM=MB=CM

又：BC=6,

；.AB=2BC=12,

；.CM=6

故答案为：6

(2):在RtABC中，ZACB=90°,BAC=30°,BC=6,

；.AB=12

取AB的中点E,连接EF、EC,EF是中位线，所以=

2

*.*EC+EF>CF,

；.CF的最大值为EC+E/=6+G，

即：当将线段AD绕点A逆时针旋转150度时，线段CF的长最大，最大值为6+若

例1.1.2如图，在直角坐标系xOy中，己知正三角形ABC的边长为2,点A从点O开始沿着x

轴的正方向移动，点B在/xOy的平分线上移动.则点C到原点的最大距离是（）

B.V2+V6

D.1+2>/2

【答案】A

【解析】如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长.

设OC与AB的交点为F,在OF上取一点E,使得OE=EA,

:△ABC为等边三角形，边长为2,OC1AB

；.CF=@AC=6

,AF=BF=1,

2

VZBOC=ZAOC=22.5°,

.•.ZEOA=ZEAO=22.5°,

.'.ZFEA=ZFAE=45°,

AAF=EF=1,AE=A/2,

OC=OE+EF+CF=1+V2+V3.

例1.1.3如图，AABC,AEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、

FC相交于点M.当AEFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）

【答案】D

【解析】AC的中点0,连接AD、DG、BO、0M,如图.

「△ABC,ZiEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点,

；.AD_LBC,GD1EF,DA=DG,DC=DF,

ZADG=90°-ZCDG=ZFDC,—=—,

DCDF

/.△DAG^ADCF,

ZDAG=ZDCF.

:.A、D、C、M四点共圆.

根据两点之间线段最短可得：B0<BM+0M,即BM>B0-0M,

当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小,

此时，BO=4BC?-"C、=-a=G,OM」AC=L

2

则BM=BO-OM=V3-1.

例1.1.4如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上

任意一点，连结AM、CM.

(1)当M点在何处时，AM+CM的值最小；

(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

(3)当AM+BM+CM的最小值为有+1时，求正方形的边长.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)夜

【解析】该题考查的是四边形综合.

(1)当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小........................1分

(2)如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时AM+8M+CM的值最小.

理由如下：

VM是正方形ABCD对角线上一点

AM=CM

又AB=BC,BM=BM

Z.N8AM=NBCM.............................................3分

又BE=BA=BC

：.NBEC=4BCM

・・・NBEC=ZBAM在EC上取一点N使得EN=AM,连结BN

又：EB=AB

.'.△BNE^AABM.................................3分

・・・NEBN=ZABM,BN=BM

XV/EBN+/NBA=60。

：.NABM+NM5A=60°

即ZNBM=60°

**•ABMN是等边三角形.

ABM=MN.............................................4分

AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

.••当M点位于BD与CE的交点处时，AM+3M+CM的值最小，即等于EC的长.

......................................5分

(3)过E点作交CB的延长线于F

...Z^BF=90o-60o-30°

设正方形的边长为X,则EF=2......................6分

22

在RtAEFC中，

VEF2+FC2=EC2,

••,(5+号x+x=(>/3+1)".

解得x=&(舍去负值).

.•.正方形的边长为7分

例1.1.5正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动，且DE=DF.连接BF,

作EH_LBF所在直线于点H,连接CH.

(1)如图1,若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；

(2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明;

若不成立，说明理由；

(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时，连接DH,过点D作直线DH的垂线，交

直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.

【答案】(1)CH=AB；

(2)成立，见解析

(3)3应+3

【解析】(1)如图1,连接BE,

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD,ZA=ZBCD=ZABC=90°,

•・•点E是DC的中点，DE=DF,

・••点F是AD的中点，

JAF=CE,

SAABF和ZkCBE中，

AB=CB

,NA=/BCE

AF=CE

.".△ABF^ACBE,

AZ1=Z2,

VEH1BF,ZBCE=90°,

・・・C、H两点都在以BE为直径的圆上，

AZ3=Z2,

AZ1=Z3,

VZ3+Z4=90°,Zl+ZHBC=90°,

・•・Z4=ZHBC,

ACH=BC,

又TAB=BC,

ACH=AB.

（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立.

如图2,连接BE,

图2

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD,ZA=ZBCD=ZABC=90°,

TAD二CD,DE=DF,

AAF=CE,

在ZkABF和ZkCBE中，

AB=CB

<N4=NBCE

AF=CE

AAABF^ACBE,

Z.Z1=Z2,

VEH1BF,ZBCE=90°,

・・・C、H两点都在以BE为直径的圆上，

AZ3=Z2,

.\Z1=Z3,

VZ3+Z4=90°,Zl+ZHBC=90°,

JZ4=ZHBC,

ACH=BC,

又TAB=BC,

.\CH=AB.

(3)如图3,

VCK<AC+AK,

，当C、A、K三点共线时，CK的长最大，

VZKDF+ZADH=90°,ZHDE+ZADH=90°,

AZKDF=ZHDE,

*.•ZDEH+ZDFH=360°-ZADC-ZEHF=360°-90°-90°=180°,

ZDFK+ZDFH=180°,

・•・ZDFK=ZDEH,

在ADFKfllADEH中，

Z.KDF=NHDE

DF=DE

ZDFK=NDEH

AADFK^ADEH,

ADK=DH,

在ADAK和ZkDCH中,

DA=DC

<乙KDA=ZHDC

DK=DH

.,.△DAK丝△DCH,

；.AK=CH

又；CH=AB,

；.AK=CH=AB,

VAB=3,

；.AK=3,AC=372,

CK=AC+AK=AC+AB=3夜+3,

即线段CK长的最大值是3&+3

例1.1.6在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M为AB的中点.D是射线BC上一个动点，连

接AD,将线段AD绕点、A逆时针旋转90。得到线段AE,连接ED,N为ED的中点，连接AN,

MN.

(1)如图1,当BD=2时，AN=—,NM与AB的位置关系是—；

(2)当4VBDV8时，

①依题意补全图2；

②判断(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

(2)连接ME,在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直

接写出结果.

【答案】(1)Vio,垂直

(2)见解析

【解析】(1)VZACB=90°,AC=BC=4,BD=2,；.CD=2,

Z.AD=7AC2+CD2=2后,

•••将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到线段AE,

.'.△ADE是等腰直角三角形，

.".DE=>/2AD=27i0,

：N为ED的中点，；.AN=LDE=J16,

2

；M为AB的中点，AAM=-AB=2V2,

2

..ANV10_>/2AM_2>/2_y/2.AMAM

•----7==--，---=----=---，••---=----，

AD2V52AC42ADAC

VZCAB=ZDAN=45°,

AZCAD=ZMAN,

.,.△ACD^AAMN,

AZAMN=ZC=90°,

AMN±AB,

故答案为：Vio,垂直；

(2)①补全图形如图2所示，

②(1)中NM与AB的位置关系不发生变化，

理由：VZACB=90°,AC=BC,

.\ZCAB=ZB=45°,

ZCAN+ZNAM=45°,

;线段AD绕点A逆时针旋转90。得到线段AE,

；.AD=AE,ZDAE=90°,

；N为ED的中点，

/.ZDAN=-ZDAE=45,AN1DE,

2

ZCAN+ZDAC=45°,

；.NNAM=NDAC,在RtAAND中，—=cosZDAN=cos450=—,同理=立，

AD22

ACAM

...代=££,・.・NDAC=45。-ZCAN=ZMAN,

ABAN

/.△ANM^AADC,

AZAMN=ZACD,

・・・D在BC的延长线上，

.\ZACD=180°-ZACB=90°,

.\ZAMN=90o,

AMN±AB；

(2)连接ME,EB,过M作MG_LEB于G,过A作AK_1_AB交BD的延长线于K,

则AAKB等腰直角三角形，

在ZkADK与ZkABE中，

AK=AB

<NKAD=ZBAE,AADK^AABE,ZABE=ZK=45°,

AD=AE

AABMG是等腰直角三角形,

VBC=4,・・・AB=4后，MB=2夜，AMG=2,

VZG=90°,/.ME>MG,.•.当ME=MG时,ME的值最小，，ME=BE=2,

；.DK=BE=2,VCK=BC=4,：.CD=2,

；.BD=6,；.BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2.

例1.1.7如图1,己知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-

x?+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C.

(1)求b、c的值；

(2)如图1,点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点

M,求点M的坐标；

(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15。后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为AACG内

一点，连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边4APR,等边ZkAGQ,连接

QR

①求证：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.

/、、、,，1251、

(2)M(-—，—)

525

(3)①见解析

②PA+PC+PG的最小值为，此时点P的坐标(-2,呸叵)

1919

【解析】分析：(1)把A(-3,0),B(0,3)代入抛物线y=-x?+bx+c即可解决问题.

(2)首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED,求出点E坐标，求出直线CE,利用方程组求交点

坐标M.

(3)①欲证明PG=QR,只要证明AQAR丝4GAP即可.②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC

最小，作QN±OA于N,AM±QC于M,PK±OA于K,由sinNACM=d^=强求出AM,

ACQC

CM,利用等边三角形性质求出AP、PM、PC,由此即可解决问题.

(1)•••一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,

AA(-3,0),B(0,3),

,/抛物线y=-x，bx+c过A、B两点,

c=3b=-2

解得

一9一3b+c=0c=3

.,.b=-2,c=3.

(2),对于抛物线y=-x2-2x+3,令y=0,则-x2-2x+3=0,解得x=-3或1,

・••点C坐标(1,0),

VAD=DC=2,

・••点D坐标(-1,0),

VBE=2ED,

2

/.点E坐标(-一，1),

3

,3

k=——

设直线CE为y=kx+b,把E、C代入得到""1解得，5

k+h=0

5

33

J直线CE为y=--x+-,

x=-

y=----X--口

,55解得

y=-x2-2x+3

1251

・••点M坐标（-上，—）.

(3)®VAAGQ,z\APR是等边三角形，

Z.AP=AR,AQ=AG,ZQAC=ZRAP=60°,

AZQAR=ZGAP,

在^QAR和ZkGAP中，

AQ=AG

<ZQAR=ZGAP,

AR=AP

.•.△QAR^AGAP,

.'.QR=PG.

②如图3中，:PA+PB+POQR+PR+PC=QC,

，当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，

作QN_LOA于N,AM_LQC于M,PK_LOA于K.

VZGAO=60°,AO=3,

AAG=QG=AQ=6,ZAGO=30°,

*.•ZQGA=60°,

JZQGO=90°,

工点Q坐标(-6,3月)，

在RT/xQCN中，QN=3^,CN=7,ZQNC=90°,

・•・QC=y]QN2+NC2=2M，

VsinZACM=—=^,

ACQC

.•.AM=£豆,

19

•「△APR是等边三角形,

AZAPM=60°,・.・PM=PR,cos30°=—,

AP

.•.AP=MI,PM=RM=£@

1919

匹=它工，=嚅

・・・PC=CM-PM二回”

19

..PKCPCK

•QN~~CQ~~CN

♦CK-28PK.M

••V^IX-f1IV—,

1919

9

.\OK=CK-CO=—，

19

.•.点p坐标（一看臀）.

...PA+PC+PG的最小值为2m，此时点P的坐标（-2,呸叵）.

1919

题模二：垂线段最短

例1.2.1如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC,将线

段EC绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是.

【答案】2.5

【解析】取AC的中点G,连接EG,

;旋转角为60。,

.1.ZECD+ZDCF=60°,

又•:ZECD+ZGCE=ZACB=60°,

ZDCF=ZGCE,

VAD是等边△ABC的对称轴,

；.CD=—BC,

2

ACD=CG,

又；CE旋转到CF,

ACE=CF,

在ZkDCF和Z^GCE中，

CG=CD

<NGCE=/DCF,

CE=CF

・・・DF=EG,

根据垂线段最短，EGLAD时，EG最短，即DF最短,

此时・・・NCAD=-x60°=30°,AG=-AC=-xlO=5,

222

AEG=-AG=-x5=2.5,

22

，DF=2.5.

例1.2.2如图，。。是以原点为圆心，及为半径的圆，点P是直线y=-x+6上的一点，过点P作

。。的一条切线PQ,Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）

A.3B.4C.6-V2D.3及-1

【答案】B

【解析】；P在直线y=-x+6上，

.,.设P坐标为(m,6-m),

连接OQ,OP,由PQ为圆O的切线，得到PQLOQ,

在Rt^OPQ中，根据勾股定理得：Op2=PQ2+OQ2,

.•.PQ2=m2+(6-m)2-2=2m2-12m+34=2(m-3)2+16,

则当m=3时，切线长PQ的最小值为4.

例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，定义点P(X,y)的变换点为P(x+y,x-y).

(1)如图1,如果。O的半径为2夜，

①请你判断M(2,0),N(-2,-1)两个点的变换点与。O的位置关系；

②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P在。O的内，求点P横坐标的取值范围.

(2)如图2,如果。。的半径为1,且P的变换点P在直线y=-2x+6上，求点P与。O上任意一

点距离的最小值.

【答案】(1)①变换点在。。上；变换点在。O外；P横坐标的取值范围为-2<x<0；

0-2<x<0

⑵题7

5

【解析】(1)①M(2,0)的变换点M，的坐标为(2,2),则OM，=J?涯=2应，所以点M

(2,0)的变换点在。O上；

N(-2,-1)的变换点N，的坐标为(-3,-1),则ON，=,32+12=回>2点，所以点N(-

2,-1)的变换点在。O外；

②设P点坐标为(x,x+2),则P点的变换点为P，的坐标为(2x+2,-2),则OP，=

7(2X+2)2+(-2)2,

•点F在。O的内，

7(2X+2)2+(-2)2<2册,

(2x+2)2<4,即(x+1)2c1,

A-l<x+l<l,解得-2<x<0,

即点P横坐标的取值范围为-2Vx<0；

(2)设点？的坐标为(x,-2x+6),P(m,n),

根据题意得m+n=x,m-n=-2x+6,

，3m+n=6,

即n=-3m+6,

，P点坐标为(m,-3m+6),

，点P在直线y=-3x+6上，

设直线y=-3x+6与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,过O点作OHLAB于H,交。O于C,

如图2,

则A(2,0),B(0,6),

；.AB=M+G[=2屈,

V-OH.AB=-OA.OB,

22

.•心=竿=亚,

2M5

2磬7

即点P与。O上任意一点距离的最小值为半-1.

图2

例1.2.4已知梯形ABCD,AD〃BC,AB1BC,AD=1,AB=2,BC=3,

问题1：如图1,P为AB边上的一点，以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC

的长能否相等，为什么？

问题2：如图2,若P为AB边上一点，以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ的长

是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.

问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E,使DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形

PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说

明理由.

问题4：如图3,若P为直线DC上任意一点，延长PA到E,使AE=nPA(n为常数)，以PE、

PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值,

如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)对角线PQ与DC不可能相等；(2)PQ的长最小为4；(3)PQ的长最小为5；

(4)PQ的长最小为4(n+4).

【解析】

问题1：过点D作DE1BC于点E,

•.•梯形ABCD,AD//BC,AB1BC

四边形ABED是矩形，

；.DE=AB=2,BE=AD=1,

；.CE=BC-BE=2,

；.DC=2女，

,/四边形PCQD是平行四边形，

若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形,

设PB=x,则AP=2-x,

在RSDPC中,PD2+PC2=DC2,即X2+32+(2-x)2+1=8,

化简得X2-2X+3=0,

•/△=(-2)2-4xlx3=-8<0,

方程无解，

对角线PQ与DC不可能相等.

问题2：如图2,在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G,

则G是DC的中点，

过点Q作QHLBC,交BC的延长线于H,

；AD〃BC,

NADC=NDCH,即NADP+NPDG=NDCQ+/QCH,

：PD〃CQ,

；./PDC=/DCQ,

；.NADP=/QCH,

又：PD=CQ,

RIAADP^RIAHCQ,

AAD=HC,

VAD=1,BC=3,

ABH=4,

.,.当PQ_LAB时,PQ的长最小，即为4.

问题3：如图2，，设PQ与DC相交于点G,

：PE〃CQ,PD=DE,

.DG_PD

>•---------——

GCCQ2

・・・G是DC上一定点,

作QH_LBC,交BC的延长线于H,

同理可证NADP=NQCH,

.,.RtAADP^RtAHCQ,

即四二空」

CHCQ2

ACH=2,

.\BH=BC+CH=3+2=5,

・••当PQ_LAB时，PQ的长最小，即为5.

问题4：如图3,设PQ与AB相交于点G,

VPE/7BQ,AE=nPA,

.PA_AG_1

••----------------,

BQBGn+\

・・・G是AB上一定点，

作QH〃CD,交CB的延长线于H,过点C作CK_LCD,交QH的延长线于K,

VAD/7BC,AB1BC,

.\ZD=ZQHC,ZDAP+ZPAG=ZQBH+ZQBG=90°,ZPAG=ZQBG,

JZQBH=ZPAD,

.'.△ADP^ABHQ,

.AD_PA_1

••,—-,

BHBQn+\

VAD=1,

・・・BH=n+l,

CH=BH+BC=3+n+l=n+4,

过点D作DM_LBC于M,

则四边形ABMD是矩形，

ABM=AD=1,DM=AB=2

・•・CM=BC-BM=3-1=2=DM,

，NDCM二45。，

AZKCH=45°,

.\CK=CH-cos45°=—(n+4),

2

・••当PQ_LCD时，PQ的长最小，最小值为1（n+4）.

随练1.1如图，RtAABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,P是4ABC内部的一个动点，且满足N

PAB=ZPBC,则线段CP长的最小值为（）

8匹12V13

B.2

1313

【答案】B

【解析】•*,ZABC=90°,

.-.ZABP+ZPBC=90°,

VZPAB=ZPBC,

.,.ZBAP+ZABP=90°,

ZAPB=90°,

.•.OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），

...点P在以AB为直径的。0上，连接OC交。0于点P,此时PC最小,

在RTABCO中，VZOBC=90°,BC=4,0B=3,

:.OC=>JBO2+BC2=5,

；.PC=OC-0P=5-3=2.

PC最小值为2.

随练1.2如图，ZkABC和AADE是有公共顶点的等腰直角三角形，NBAC=/DAE=90。，点P为

射线BD,CE的交点.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AB=2,AD=1,把ZkADE绕点A旋转，

①当/EAC=90。时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.

②PB长的最小值是6-1，最大值是G+I

【解析】(1)欲证明BD=CE,只要证明4ABD也ZXACE即可.

(2)①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=1.由APEBSAAEC,得

—.由此即可解决问题.b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3.解法类似.

ACCE

②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PB的值最小.b、

如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在(DA上方与OA相切时，PB的值最大.分别求

出PB即可.

(1)证明：如图1中,

图1

「△ABC和AADE是等腰直角三角形，NBAC=/DAE=90。,

；.AB=AC,AD=AE,ZDAB=ZCAE,

在AADB和AAEC中,

AB=AC

/BAD=ZCAE

AD=AE

.'.△ADB^AAEC,

/.BD=CE.

(2)①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=1.

ZEAC=90°,

:.CE=ylAE2+AC2=石,

同(1)可证△ADBZ/XAEC.

.\ZDBA=ZECA.

VZPEB=ZAEC,

AAPEB^AAEC.

.PBBE

••-----=-----,

ACCE

.PB1

••——=,,

275

.•.PB"

5

b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3.

E

图3

ZEAC=90°,

:.CE=\lAE2+AC2=y/5，

同（1）可证^ADB0ZXAEC.

AZDBA=ZECA.

VZBEP=ZCEA,

AAPEB^AAEC,

.PBBE

••=1f

ACCE

.PB3

>•------=~~F=，

2出

；.PB考.

综上,PB=苧或噪

②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在G)A下方与。A相切时，PB的值最小.

图4

理由：此时/BCE最小，因此PB最小，（APBC是直角三角形，斜边BC为定值，/BCE最小,

因此PB最小）

VAE1EC,

，EC=\IAC2-AE2=V22-l2=75,

由（1）可知，△ABDWZ\ACE,

ZADB=ZAEC=90°,BD=CE=抠,

ZADP=ZDAE=ZAEP=90°,

四边形AEPD是矩形，

；.PD=AE=1,

APB=BD-PD=A/3-1.

b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在。A上方与。A相切时，PB的值最大.

BC

图5

理由：此时NBCE最大，因此PB最大，(APBC是直角三角形，斜边BC为定值，NBCE最大,

因此PB最大)

VAE1EC,

EC=ylAC2-AE2=初一尸=G,

由（1）可知，AABDgaACE,

ZADB=ZAEC=90°,BD=CE=上,

ZADP=ZDAE=ZAEP=90°,

四边形AEPD是矩形，

；.PD=AE=1,

.•.PB=BD+PD=>/3+l.

综上所述，PB长的最小值是6-1,最大值是指+1.

随练1.3如图，平面直角坐标系中，将含30。的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端

点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm

(1)若OB=6cm.

①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

(2)点C与点O的距离的最大值=cm.

【答案】⑴①(-3白，9)；②6(g-1)

(2)12

【解析】(1)①过点C作y轴的垂线，垂足为D,如图1：

在RtZkAOB中，AB=12,OB=6,贝I]BC=6,

.•.ZBAO=30°,ZABO=60°,

又；NCBA=60。，

/.ZCBD=60°,/BCD=30°,

；.BD=3,CD=3G

所以点C的坐标为(-369)；

②设点A向右滑动的距离为x,根据题意得点B向上滑动的距离也为X,如图2：

AO=12xcosZBAO=12xcos300=6>/3.

；.A'0=6道-x,B'0=6+x,A'B'=AB=12

在AAgB，中，由勾股定理得，

(673-x)2+(6+x)2=122,

解得：x=6(5/3-I),

•••滑动的距离为6（有-的；

（2）设点C的坐标为（x,y）,过C作CE_Lx轴，CD，y轴，垂足分别为E,D,如图3：

则OE=-x,OD=y,

ZACE+ZBCE=90°,ZDCB+ZBCE=90°,

NACE=NDCB,

又,.•/AEC=NBDC=90°,

.'.△ACE^ABCD,

.CEAC0nCE6石R

CDBCCD6

y=-V5x,

OC2=x2+y2=x2+（-V3x）2=4X2,

，取AB中点D,连接CD,OD,则CD与OD之和大于或等于CO,当且仅当C,D,O三点共线

时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12,

第二问方法二：因角C与角O和为180度，所以角CAO与角CBO和为180度，故A,O,B,C

四点共圆，且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为12.

随练1.4如图，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），

分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是则B8+CC+Z）。♦的最大值为，

最小值为。

【答案】2,1

【解析】如图所示，连接AC、DP,

5ABCD=1X1=1,由勾股定理可得AC=Jp+f=收，

AB=1,

}<AP<>/2,

1

SGDPC=^MPC=2XAPXCC，

1=SABCD=S1Mp+5凶8+SM,C=；x4PX(BB'+CC+DD)

..2

BB+CC+DD=—,

AP

\<AP<y[2,

+CC+DD<2,

因此，本题正确答案为2,应

随练1.5如图1,已知AABC是等腰直角三角形，NBAC=90。，点M是BC的中点，作正方形

MNPQ,使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ.

（1）直接写出线段AN和BQ的数量关系是.

（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转0（0。＜把360。）

①判断（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC=MN=6,当0（0。＜把360。）为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出

AQ的值.

p

【答案】(1)BQ=AN(2)3后

【解析】(1)BQ=AN.

理由：如图1,「△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，点M是BC的中点,

.,.AMXBC,BM=AM,

.•,ZAMB=ZAMC=90°.

,/四边形PQMN是正方形,

AQM=NM.

在AQMB和ANMA中，

BM=AM

"NQMB=NAMN,

QM=NM

：.AQMB^ANMA(SAS),

；.BQ=AN.

故答案为：BQ=AN；

(2)®BQ=AN成立.

理由：如图2,连接AM,

在RtABAC中，M为斜边BC中点,

，AM=BM,AM1BC,

.".ZAMQ+ZQMB=90°.

:四边形PQMN为正方形,

，MQ=NM,且NQMN=90。,

...NAMQ+NNMA=90。，

ZBMQ=ZAMN.

在ABMQ和AAMN中，

MQ=MN

<Z.BMQ=NAMN,

BM=AM

AABMQ^AAMN(SAS),

，BQ=AN；

②由①得，BQ=AN,

...当BQ取得最大值时，AN取得最大值.

如图3,当旋转角0=270。时，BQ=AN(最大)，此时/AMQ=90。.

：BC=MN=6,M是BC的中点，

；.MQ=6,AM=；BC=3,

...在RSAMQ中，由勾股定理得

AQ=yjAM^MQ2=732+62=3下.

N图3

Q

随练1.6在RSABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,E分别是AB,AC的中点.若等腰RsADE

绕点A逆时针旋转，得到等腰RsADiEi，设旋转角为a(0〈仁180。)，记直线BD|与CEI的交

点为P.

(1)如图1,当a=90。时，线段BD|的长等于,线段CE1的长等于；(直

接填写结果)

(2)如图2,当a=135°时，求证：BDi=CEj,且BDJCE”

(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为；②点P到AB所在直线的距离的最大

值为.(直接填写结果)

【答案】(1)2x/5；2斯;

(2)见解析

(3)①PM=2近

②PG=1+而.

【解析】(1)VZA=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点，

；.AE=AD=2,

•.•等腰RSADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RsADiE”设旋转角为a(0〈证180。)，

.,.当a=90°时，AE|=2,ZE,AE=90°,

.-.BD|=V42+22=275,E,C=742+22=275；

(2)证明：当a=135°时，如图2,

,.,RtAAD,E是由RtAADE绕点A逆时针旋转135。得到，

.-.AD|=AE|,ZD|AB=ZE,AC=135°,

在ADiAB和AEjAC中

M=AE1

；＜ND|AB=NE|AC,

AB=AC

.•.△D,AB^AE|AC(SAS),

，BD尸CE|,且ND|BA=NEiCA,

记直线BD1与AC交于点F,

ZBFA=ZCFP,

ZCPF=ZFAB=90°,

.•.BD,±CE|；

(3)解：①如图2,VZCPB=ZCAB=90°,BC的中点为M,

,-.PM=1BC,

2

：.PM=-“2+42=2及，

2

故答案为：2投；

②如图3,作PG_LAB,交AB所在直线于点G,

：Di，Ei在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当BD）所在直线与。A相切时，直线BD（与CEi的交点P到直线AB的距离最大,

此时四边形AD|PE|是正方形，PD|=2,则BD|=j4?-22=26,

故NABP=30°,

则PB=2+26,

故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=l+6.

故答案为：1+囱.

随练1.7已知，点0是等边AABC内的任一点，连接OA,OB,0C.

(1)如图1,已知NAOB=150。，ZBOC=120°,将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得AADC.

①NDAO的度数是；

②用等式表示线段OA,OB,0C之间的数量关系，并证明；

(2)设NAOB=a,NBOC邛.

①当a,P满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由;

②若等边AABC的边长为1,直接写出OA+OB+OC的最小值.

［答案］（1）@90°；②OA2+OB2=OC2；证明见解析

（2）①a=B=120。，OA+OB+OC有最小值；图形见解析

②G

【解析】（1）①NAOB=150°,NBOC=120°,

ZAOC=360°-120°-150°=90°,

:将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得AADC,

.,.ZOCD=60o,ZD=ZBOC=120°,

ZDAO=360°-ZAOC-ZOCD-ZD=90°,

故答案为：90°；

②线段OA,OB,OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2,

如图1,连接OD,

VABOC绕点C按顺时针方向旋转60°WAADC,

.,.△ADC丝△BOC,ZOCD=60°,

，CD=OC,ZADC=ZBOC=120°,AD=OB,

AAOCD是等边三角形，

.e.OC=OD=CD,ZCOD=ZCDO=60°,

VZAOB=150°,ZBOC=120°,

ZAOC=90°,

AZAOD=30°,ZADO=60°,

・・・ZDAO=90°,

在RtZkADO中，ZDAO=90°,

.*.OA2+OB2=OD2,

.*.OA2+OB2=OC2；

(2)①当a=B=120。时，OA+OB+OC有最小值.

如图2,将AAOC绕点C按顺时针方向旋转60。得20(2,连接00、

•••△AOCdAOC,NOCCT=NACA，=60。，

.\OrC=OC,OA，=OA,ArC=BC,

NAOC=NAOC.

AAOCCT是等边三角形，

・・・oc=o'c=o(y,NCOO，=NCOQ=60。，

VZAOB=ZBOC=120°,

.*.ZAOC=ZA,O'C=120°,

.•.ZBOOZ=ZOOW=180°,

，四点B,O,0\A，共线，

JOA+OB+OC=O'A'+OB+OO'=BA'时值最小；

②・・,ZAOB=ZBOC=120°,

.".ZAOC=120°,

/.O^JAABC的中心,

•.•四点B,O,O',A，共线，

.,.BD±AC,

•.•将AAOC绕点C按顺时针方向旋转60。得△AX)C,

.,.A,C=AC=BC,

.,.A,B=2BD,

J7J7

在RtABCD中，BD=—BC=—,

22

当等边aABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值AB=G.

随练1.8以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AAOB和ACOD,其中

ZABO=ZDCO=30°.

(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM.

①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，—=；

EM

②如图2,将图1中的AAOB绕点。沿顺时针方向旋转口角(0。<£<60°),其他条件不变，判

断上的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

EM

（2）如图3,若80=34，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将

△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为，最大值为.

A

【解析】该题考查旋转与相似.

(1)①连接EF,

・・,点E、F、M分别是AC、CD、DB的中位线,

JEF、FM分另I」是AACD^UADBC的中位线，

.e.EF//AD,FM//CB,

丁Z.ABO=ZD