2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 列分式方程解决实际问题教学设计

第2课时列分式方程解决实际问题教学目标课题15.3第2课时列分式方程解决实际问题授课人素养目标1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.2.运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程. 3.通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力. 教学重点根据实际问题列出分式方程并正确解分式方程．教学难点提炼等量关系并将其转化为方程的过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：复习旧知，导入新课设计意图通过复习分式方程的解法唤醒旧知，引出新课.【复习导入】1.回顾一下上节课学习的解分式方程的一般步骤.(1)去分母(2)解整式方程(3)检验2.接下来我们来解方程eq\f(2,x＋3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(4,2x＋6).解：方程两边乘2(x＋3)，得4＋3(x＋3)＝4.解得x＝－3.检验：当x＝－3时，2(x＋3)＝0，所以x＝－3不是原分式方程的解．所以原分式方程无解.其实，在解决生活实际问题中，有时需要列、解分式方程，那我们就一起来学习如何用分式方程解决实际问题吧！【教学建议】教师提出问题，学生回答，回忆分式方程的基本解法，学生对所出示方程进行演算．教师使用课件展示解分式方程的过程．通过例题演示，让学生对比正确解法，检查自身问题.活动二：实践探究，获取新知设计意图通过回顾已学的与本探究相关的知识，为探究新问题做知识铺垫.探究点1列分式方程解决工程问题问题1请大家回忆一下一元一次方程中列方程解应用题的步骤有哪些？审、找、设、列、解、验、答.问题2请大家填一填工程问题的等量关系：工作总量＝工作效率×工作时间.问题3借助这个等量关系回答下面问题：一件工作，甲单独做需ah完成，乙单独做需bh完成，则甲的工作效率为eq\f(1,a)，乙的工作效率为eq\f(1,b)，则甲、乙合作需1÷(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))h完成.类比一元一次方程中的列方程解应用题的方法，我们一起来看教材P152例3吧！例(教材P152例3)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的eq\f(1,3)，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的eq\f(1,3)，设乙队单独施工1个月能完成总工程的eq\f(1,x)，【教学建议】对于问题1，教师可先让学生进行回答，再进行启发和补充.【教学建议】例题是以筑路工程为背景的问题．对于这类问题，通常设工程总量为1.教学中，可以引导学生进行如下分析：从题中已知条件可知甲队单独施工1个月完成总工程量的eq\f(1,3)，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两队的施工速度．因此，可以设乙队单独施工1个月.教学步骤师生活动那么甲队半个月完成总工程的eq\f(1,6)，乙队半个月完成总工程的eq\f(1,2x)，两队半个月完成总工程的eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程.完成总工程量的eq\f(1,x)，进而列出方程设计意图通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能．并规范其解题书写格式.思考：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？eq\f(1,3)＋两队共同工作半个月完成的总工程量＝1.也可用表格梳理数量关系：工作效率工作时间工作量甲队eq\f(1,3)1＋eq\f(1,2)eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)乙队eq\f(1,x)eq\f(1,2)eq\f(1,2x)解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的eq\f(1,x).记总工程量为1，根据工程的实际进度，得eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)＝1.方程两边乘6x，得2x＋x＋3＝6x.解得x＝1.检验：当x＝1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的eq\f(1,3)，可知乙队的施工速度快．【对应训练】教材P154练习第2题．教师总结列分式方程解决工程问题的解题策略：1．题中有“单独”字眼通常可知工作效率．2．通常间接设元，如××单独完成需x(单位时间)，则可表示出其工作效率．3．弄清基本的数量关系．如本题中的“合作的工效＝甲乙两队工作效率的和”．4．解题方法：可概括为“321”，“3”指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率、工作时间、工作量；“2”指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队；“1”指该问题中的一个等量关系．如工程问题中等量关系是：“两个主人公”工作总量之和＝全部工作总量．设计意图通过例题补充含字母系数的分式方程的应用，完善学生的知识体系．引导学生把文字语言转化为数学语言，从中找出等量关系，培养学生的数学应用意识．．探究点2列分式方程解决行程问题我们一起再来回忆一下行程问题的等量关系吧！行程问题：路程＝速度×时间接下来我们看这个例题！例(教材P153例4)某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为xkm/h，那么提速前列车行驶skm所用时间为eq\f(s,x)h，提速后列车的平均速度为(x＋v)km/h，提速后列车运行(s＋50)km所用时间为eq\f(s＋50,x＋v)h.根据行驶时间的等量关系“提速前列车行驶skm的时间＝提速后列车行驶(s＋50)km的时间”，可以列出方程eq\f(s,x)＝eq\f(s＋50,x＋v).也可用表格梳理数量关系：【教学建议】教材例4是以列车提速为背景的问题．对于这类问题，速度、时间、路程三者之间的基本关系是分析问题的依据．教学中，可以引导学生进行如下的分析：设所求的提速前速度为xkm/h，抓住题目中“用相同的时间”这个条件，就能列出方程．教师总结列分式方程解决行程问题的解题策略：1．注意关键词“教学步骤师生活动路程速度时间提速前sxeq\f(s,x)提速后s＋50x＋veq\f(s＋50,v＋x)解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据行驶时间的等量关系，得eq\f(s,x)＝eq\f(s＋50,x＋v).方程两边乘x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50)．解得x＝eq\f(sv,50).检验：由v，s都是正数，得x＝eq\f(sv,50)时x(x＋v)≠0.所以，原分式方程的解为x＝eq\f(sv,50).答：提速前列车的平均速度为eq\f(sv,50)km/h.【对应训练】教材P154练习第1题.归纳总结：分式方程的应用主要是列分式方程解应用题，这与学习一元一次方程时列方程解应用题的思路和方法是一样的.提速”与“提速到”的区别．2．同上也是“321”，即三量关系——路程、速度、时间；“两主人公”——本题是“提速前”和“提速后”；“一等量关系”——本题是时间相同．3．行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程．【教学建议】教师可对检验作解释：例4的检验中利用了问题的实际意义，根据字母的含义确定其取值范围中不含负数和0，从而确定分式方程解的情形.活动三：延伸拓展，巩固升华设计意图此例题补充了教材上没有的销售问题，为的是拓展学生的视野，完善列分式方程解应用题的种类，并让学生例为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．求第一批面粉的采购量.分析：根据“第二批面粉的每千克面粉价格－第一批面粉的每千克面粉价格＝0.4”列方程即可.解：设第一批面粉的采购量为xkg.由题意，得eq\f(9600,1.5x)－eq\f(6000,x)＝0.4.方程两边乘15x，得96000－6000×15＝0.4×15x.【教学建议】本例是为巩固“三角形两边的和大于第三边”而设，可根据条件列方程求解，注意提醒学生用“三角形两边的和大于第三边”判断所得的结果是否合理．在第(2)教学步骤师生活动意识到生活中处处都跟数学息息相关.解得x＝1000.检验：当x＝1000时，15x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1000.答：第一批面粉的采购量为1000kg.【对应训练】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．则A，B两种型号充电桩的单价各是多少？解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为(x＋0.3)万元.根据题意，得eq\f(15,x)＝eq\f(20,x＋0.3).解得x＝0.9.检验：当x＝0.9时，x(x＋0.3)≠0，所以原方程的解为x＝0.9.所以x＋0.3＝1.2.答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元.【教学建议】教学中建议让学生先思考，教师引导学生列出关系式之后，由学生先自行解答，教师再集体讲解，让学生意识到自己在解题时有什么错漏，这样印象深刻，在之后的练习中可避免犯同样的错.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么？2.列分式方程解应用题检验时需要注意什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P154习题15.3第3，4，5，6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时列分式方程解决实际问题列分式方程解决实际问题的一般步骤： 审、找、设、列、解、验、答教学反思在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学理念，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程.解题大招一由实际问题抽象出分式方程的方法首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．还要注意看清题干中是设哪个量为未知数．例1(2023·鞍山中考)甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（A）A.eq\f(500,x)＝eq\f(800,x＋60)B.eq\f(500,x)＝eq\f(800,x－60)C.eq\f(500,x＋60)＝eq\f(800,x)D.eq\f(500,x－60)＝eq\f(800,x)解析：甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输(x＋60)kg货物，由题意得eq\f(500,x)＝eq\f(800,x＋60).故选A.解题大招二图文信息类问题的解法图文信息这类试题往往以图文形式提供一定的数学情景，需通过对图画中的情景(或对话等)的分析和理解，厘清数量关系，抽象出数学本质，建立合理的数学模型解决问题．例2某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元．分析：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据“总价÷单价＝数量”的关系建立方程．解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元．根据题意，列方程得eq\f(2000,x)＝eq\f(3200,x＋60).解得x＝100.检验：当x＝100时，x(x＋60)≠0，所以原方程的解为x＝100.所以x＋60＝160.答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．解题大招三表格法分析数量关系解决应用题的关键是正确分析问题中各数量间的关系．用表格法分析数量关系，有助于理解题意，理顺数量关系．用表格法分析数量关系的步骤：首先通过读题确定问题中的关键量及描述对象或发生的阶段、方式，然后设计表格，在表格中先填上已知量，然后确定未知量，最后表示其他相关量，从已知条件中找出表示相等关系的语句，结合表格中的各数量，列出方程，进而解决问题．类型一工程问题解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．例3抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3h才能完成．现甲、乙两队合作2h后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？分析：设甲队单独完成需要xh，则乙队需要(x＋3)h.解：设甲队单独完成需要xh，则乙队需要(x＋3)h．由题意，得eq\f(2,x)＋eq\f(x,x＋3)＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0，所以原方程的解为x＝6.所以x＋3＝9.答：甲队单独完成全部工程需6h，乙队单独完成全部工程需9h.类型二行程问题例4从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400km，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(km/h)是普通列车平均速度(km/h)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3h，求高铁的平均速度．分析：设普通列车的平均速度是xkm/h，则高铁的平均速度是2.5xkm/h.解：(1)根据题意得400×1.3＝520(km)．答：普通列车的行驶路程是520km.(2)设普通列车的平均速度是xkm/h，则高铁的平均速度是2.5xkm/h.根据题意，得eq\f(520,x)－eq\f(400,2.5x)＝3.解得x＝120.检验：当x＝120时，2.5x≠0，所以原方程的解为x＝120.则高铁的平均速度是120×2.5＝300(km/h)．答：高铁的平均速度是300km/h.培优点销售盈亏问题例1佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20kg，以每千克9元售出100kg后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)第一次购买水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？分析：(1)根据第二次购买水果数多20kg，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．解：(1)设第一次购买水果的进价是每千克x元，则第二次购买水果的进价是每千克(1＋10%)x元，即1.1x元．根据题意，得eq\f(1452,1.1x)－eq\f(1200,x)＝20.解得x＝6.检验：当x＝6时，1.1x≠0，所以原方程的解为x＝6.答：第一次购买水果的进价是每千克6元．(2)第一次购买水果1200÷6＝200(kg)．第二次购买水果的进价是1.1×6＝6.6(元)，第二次购买水果200＋20＝220(kg)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(