2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 分式的通分教学设计

第2课时分式的通分教学目标课题15.1.2第2课时分式的通分授课人素养目标1.由分数通分到分式的通分，激发学生学习数学的兴趣，感受数学知识间的内在联系.2.学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.3.理解最简公分母的含义，能灵活利用分式的基本性质进行通分，强化运算能力.教学重点运用分式的基本性质进行分式的通分．教学难点准确确定分式的最简公分母，熟练进行分式的通分.教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图让学生通过回忆分数的通分，唤醒知识储备，并利用它解决问题，然后借此引入新课.【回顾导入】请大家完成下面练习：把分数eq\f(7,8)和eq\f(5,12)通分：eq\f(7,8)＝eq\f(21,24)，eq\f(5,12)＝eq\f(10,24)问题大家借此练习回忆一下，什么是分数的通分？其依据和关键是什么？答：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分.依据的是分数的基本性质，关键是找公分母.【教学建议】教师可在提出问题后让学生小组讨论得出结果，再总结归纳，充分调动学生自主学习的兴趣.活动二：问题引入，类比探究设计意图通过分数公分母的确定，类比探究出分式的最简公分母的确定，渗透类比思想．让学生意识到新旧知识间的联系，并感知到数式的通性.探究点1最简公分母问题1大家在做上面的通分练习时，是如何确定eq\f(7,8)和eq\f(5,12)的公分母的？答：取8和12的最小公倍数，即公分母为24.问题2你能确定分数eq\f(1,23×32×5)，eq\f(1,2×33×52)的公分母吗？答：公分母为：23×33×52.问题3若把问题2中分数分母中的3，5用x，y来代替，则分式eq\f(1,23x2y)，eq\f(1,2x3y2)的公分母如何确定呢？答：类比分数确定公分母的方法，我们可以确定这两个分式的公分母：23x2y的因式有23，x2，y，2x3y2的因式有2，x3，y2，两式中所有因式的最高次幂的积是23x3y2，即公分母为：23x3y2.概念引入：确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.举个例子：【教学建议】教师可待概念引入后总结确定最简公分母的一般步骤：(1)找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.(2)找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取.(3)找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式的最高次数.简称为“小、全、高”.这样取出的因式的积，就是最简公分母.教学步骤师生活动【对应训练】(1)分式eq\f(1,a2b)与eq\f(1,ab2)的最简公分母是a2b2；(2)eq\f(1,x－y)与eq\f(x＋2,x2－y2)的最简公分母为x2－y2;(3)分式eq\f(c,ab)，eq\f(a,bc)，eq\f(b,ac)的最简公分母为abc.设计意图将分式的通分与活动一、二的探究以及前面学习的分式的基本性质联系起来，让学生了解到前后知识是一体的而不是割裂的.探究点2分式的通分问题1如何将活动二中问题3的两个分式eq\f(1,23x2y)，eq\f(1,2x3y2)化成分母都是23x3y2的分式？答：eq\f(1,23x2y)＝eq\f(1·（xy）,23x2y·（xy）)＝eq\f(xy,23x3y2)，eq\f(1,2x3y2)＝eq\f(1·（22）,2x3y2·（22）)＝eq\f(4,23x3y2).问题2类比活动一中分数的通分和探究2的问题1，以及我们上节课学习的教材P130例2(2)，大家能想出如何对分式进行通分吗？与分数的通分类似，我们利用分式的基本性质，将分子和分母乘同一个适当的整式，不改变分式的值，把各分式化成分母相同的分式.概念引入：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.例(教材P132例4)通分：(1)eq\f(3,2a2b)与eq\f(a－b,ab2c)；(2)eq\f(2x,x－5)与eq\f(3x,x＋5)解：(1)最简公分母是2a2b2c.eq\f(3,2a2b)＝eq\f(3·bc,2a2b·bc)＝eq\f(3bc,2a2b2c)，eq\f(a－b,ab2c)＝eq\f(（a－b）·2a,ab2c·2a)＝eq\f(2a2－2ab,2a2b2c).(2)最简公分母是(x－5)(x＋5).eq\f(2x,x－5)＝eq\f(2x（x＋5）,（x－5）（x＋5）)＝eq\f(2x2＋10x,x2－25)，eq\f(3x,x＋5)＝eq\f(3x（x－5）,（x＋5）（x－5）)＝eq\f(3x2－15x,x2－25).问题3分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？【对应训练】教材P132练习第2题．【教学建议】教师需强调分式的通分与约分一样都是根据分式的基本性质进行的恒等变形，即变形前后不改变原分式的值．所以通分时分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生改变．【教学建议】教师可在完成例题后进行归纳总结：通分的步骤：(1)确定各分式的最简公分母．(2)用这个最简公分母除以各分式的分母．(3)用所得的商去乘原各分式的分子、分母．【教学建议】教师需根据数式通性的原则进行小结，使知识融会贯通．教学步骤师生活动活动三：延伸拓展，升华提高设计意图在活动二两个分式通分的基础上拓展为三个分式的通分，进一步巩固升华提高，并强化运算能力.例通分：(1)eq\f(b,3a2c2)，eq\f(c,－2ab)，eq\f(a,5cb3)；(2)eq\f(1,a2－2a)，eq\f(a,a＋2)，eq\f(1,a2－4).解：(1)最简公分母是30a2b3c2.eq\f(b,3a2c2)＝eq\f(10b4,30a2b3c2)，eq\f(c,－2ab)＝－eq\f(15ab2c3,30a2b3c2)，eq\f(a,5cb3)＝eq\f(6a3c,30a2b3c2)(2)最简公分母是a(a＋2)(a－2).eq\f(1,a2－2a)＝eq\f(a＋2,a（a＋2）（a－2）)，eq\f(a,a＋2)＝eq\f(a3－2a2,a（a＋2）（a－2）)，eq\f(1,a2－4)＝eq\f(a,a（a＋2）（a－2）)【对应训练】通分：(1)eq\f(y,2x)，eq\f(x,3y2)，eq\f(1,4xy)；(2)eq\f(x,x－y)，eq\f(y,x2＋2xy＋y2)，eq\f(2,y2－x2)解：(1)最简公分母是12xy2.eq\f(y,2x)＝eq\f(6y3,12xy2)，eq\f(x,3y2)＝eq\f(4x2,12xy2)，eq\f(1,4xy)＝eq\f(3y,12xy2)；(2)∵x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2，y2－x2＝－(x＋y)(x－y)，∴最简公分母是(x＋y)2(x－y).eq\f(x,x－y)＝eq\f(x（x＋y）2,（x＋y）2（x－y）)＝eq\f(x3＋2x2y＋xy2,（x＋y）2（x－y）)，eq\f(y,x2＋2xy＋y2)＝eq\f(xy－y2,（x＋y）2（x－y）)，eq\f(2,y2－x2)＝－eq\f(2x＋2y,（x＋y）2（x－y）).【教学建议】教师可提醒学生当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.最简公分母是什么？如何找最简公分母？2.什么是分式的通分？如何对分式进行通分？分式通分的依据是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P133习题15.1第7题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时分式的通分1.最简公分母：确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 2.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．教学反思分式的通分其实是分式基本性质的一种应用，是在学生已经掌握了分式的基本性质和约分的基础上进行教学的，它为后面学习异分母分式的加减法奠定基础．通分的方法其实不难，关键是让学生理解为什么要通分和通分的方法，所以，在教学中以一个组织者、引导者和参与者的身份进行教学活动，注重调动学生的学习兴趣，创设了良好的探究交流的平台．不把自己的意愿强加给学生，让学生多练，领悟通分的意义及方法，使本节课达到预期效果.解题大招分式通分的过程纠错题的解法解这类题需熟知分式通分的要点，结合常见的差错类型解题.分式通分的过程纠错题主要有以下几类差错：（1）没有理解分式通分的含义，运算不是通分运算，而是去分母计算.（2）所找公分母不是最简公分母，一般没有取所有分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，或没有取分母中所有字母因式的最高次幂的积作为最简公分母的字母部分.(3)符号漏乘.例【过程纠错】在学习完“约分和通分”后，在解决“通分和这道题目时，小丽和小亮的解法如下所示：请你判断上面哪位学生的解法不正确，并说明解法出错的原因.解：小丽的解法不正确.理由如下：分式的通分是把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，小丽的做法是去分母计算不是通分.培优点实际问题中根据题意列分式并进行通分例甲工程队单独完成一项工程需要(2a-6)天，乙工程队单独完成这项工程要比甲工程队多8天，写出表示甲、乙两队每天完成的工作量的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分.分析：分析：解：因为甲工程队单独完成一项工程需要(2a－6)天，乙工程队单独完成这项工程要比甲工程队多8天，所以乙工