2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 完全平方公式教学设计

14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式教学目标课题14.2.2第1课时完全平方公式授课人素养目标1.理解完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2.2.经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景.3.能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．进一步培养学生观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.教学重点完全平方公式的推导和应用．教学难点理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新课设计意图用实际问题激发学生的求知欲，并借此引出新课.【情境导入】一块边长为am的正方形试验田，因其边长增加bm，形成四块试验田，以种植不同的新品种．那么增加后的试验田的总面积是多少呢？大家都知道了总面积为(a＋b)2，那如何将这个式子展开呢？这就是我们今天这节课要探讨的问题！【教学建议】教师展示课件后让学生思考一下，然后小组讨论，待讨论完成后教师鼓励学生发言回答问题.活动二：实践探究，获取新知设计意图根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到完全平方公式，再用语言把这两个公式表述出来，培养学生的类比、归纳能力和语言表达能力，然后通过探究完全平方公式的几何解释，渗透数形结合思想，培养学生的几何直观和推理能力.探究点完全平方公式探究根据乘方的意义，我们知道：a2＝a·a，据此计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋2p＋1；(2)(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋4m＋4；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2－2p＋1；(4)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2－4m＋4.上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，那么(a±b)2应该写成什么样的形式呢？(a±b)2的运算结果有什么规律？根据乘方的意义和多项式乘多项式的法则可得(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2，所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.我们怎么用文字叙述呢？两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.【教学建议】教师在教学中还要引导学生理解这两个公式的结构特征(公式的语言表述也是对公式结构特征的说明)：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同.(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项的积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同，这一点可以给学生教学步骤师生活动设计意图适时、恰当地安排例题教学，能起到巩固所学知识(公式等)的目的，使学生掌握解题的步骤.思考你能根据图①和图②中图形的面积说明完全平方公式吗？分析：(1)对于图①你能用两种方法表示出大正方形的面积吗？方法一：图①大正方形的边长为a＋b，面积就是(a＋b)2.方法二：大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为a2，ab，ab，b2.因此，整个面积为a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.由方法一、方法二可得：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(2)对于图②你能用两种方法表示出正方形①的面积吗？方法一：图②中正方形①的边长为a－b，面积为(a－b)2.方法二：把正方形①的面积看成大正方形的面积a2减去右边和上边两个长为a，宽为b的长方形面积之和，即2ab，此时重复减了④的面积，即b2，应将其补上，也就是a2－2ab＋b2.由方法一、方法二可得：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.这样，我们便借助几何图形对完全平方公式作了直观的解释！问题接下来请同学们思考一下：(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？(－a－b)2＝(－a)2－2·(－a)·b＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，(b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，(a－b)2与a2－b2不一定相等．只有当b＝0或a＝b时，(a－b)2＝a2－b2.例(教材P110例3)运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)2；(2)(y－eq\f(1,2))2.解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；(2)(y－eq\f(1,2))2＝y2－2·y·eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＝y2－y＋eq\f(1,4).【对应训练】教材P110练习第1，2题．学习这两个公式带来方便，也可能使两者容易混淆，在教学中应注意这一点．由于这两个公式是继平方差公式之后学习的，所以学生除理解、掌握并运用它们进行计算外，还要与平方差公式一起综合使用，因而学习难度增加了，这是在教学中应注意的第二点．【教学建议】对于公式的几何解释，让学生独立完成推导是不太可能的，所以教师要注意引导启发，让学生说出关键点．【教学建议】将(a－b)2与a2－b2作差，得(a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab..若两式相等，则有2b2－2ab＝0，即b2＝ab.因此，只有在a＝b或b＝0的情况下，两式才相等．学生答对即可，无需给出上述的严格推导过程．活动三：典例精析，知识延伸设计意图这类数字计算题，容易使学生体会到完全平方公式的用途，激发学生的好奇心和学习积极性．例(教材P110例4)运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.解：(1)1022＝(100＋2)2(2)992＝(100－1)2＝1002＋2×100×2＋22＝1002－2×100×1＋12＝10000＋400＋4＝10000－200＋1＝10404；＝9801.【对应训练】利用完全平方公式进行简便计算：(1)10.12；(2)1982＋2022.解：(1)10.12＝(10＋0.1)2(2)1982＋2022＝(200－2)2＋(200＋2)2＝102＋2×10×0.1＋0.12＝2002－2×200×2＋22＋2002＋2×200×2＋22＝100＋2＋0.01＝80008.＝102.01;【教学建议】教师总结：计算一些数的平方时，可根据数的特点，把已知数拆成两数和或差的形式，运用完全平方公式计算．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是完全平方公式(用式子和文字分别表述)？【知识结构】【作业布置】1.教材P112习题14.2第2，4，7题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.,（a－b）2＝a2－2ab＋b2.))→首平方，尾平方，2倍乘积在中央教学反思本节课的探究方式和上节课类似，把乘法公式作为研究一般多项式乘法基础上的“特例”来处理．在教学过程中，让学生习得乘法公式的同时，充分体会从一般到特殊的数学思想方法．遵循这一研究线索，把特例作为沟通新知识与旧知识的桥梁，训练了学生的逻辑思维能力，很容易把新知识纳入已有的知识体系，形成完整的知识结构.解题大招一运用完全平方公式进行简便运算例1利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20262－2026×4050＋20252.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20262－2×2026×2025＋20252＝(2026－2025)2＝1.解题大招二含完全平方公式的化简求值按照混合运算的法则进行计算，将结果化成最简，再将已知值代入计算．有时不能直接代入可考虑将已知式变形，利用整体思想整体代入．例2(1)先化简，再求值：(2a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2，其中a＝1，b＝2.解：(2a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2＝2a2－2ab－b2－(a2－2ab＋b2)＝2a2－2ab